广东省清远三中2016-2017学年高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 广东省清远三中2016-2017学年高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 249.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-31 21:38:09 | ||
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文档简介
2016-2017学年广东省清远三中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
一、选择题（60分，每题5分）
1．若a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＜a＜c＜b
B．a＜c＜b＜d
C．a＜d＜b＜c
D．a＜d＜c＜b
2．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
( http: / / www.21cnjy.com )B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
3．设b＞a＞0，且a+b=1，则此四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是（ ）
A．b
B．a2+b2
C．2ab
D．
4．若方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
5．已知f（x）=x2+2x f′（1），则
f′（0）等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣4
6．设p：x＜﹣1或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（ ）
A．1
B．﹣
C．2
D．﹣5
8．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．9
D．6
9．已知an=（）n，把数列{an}的各项排成如图的三角形，记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=（ ）
A．（）67
B．（）68
C．（）112
D．（）113
10．在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，则A为（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不存在
11．在等差数列{an}中，若a4+a6=12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为（ ）
A．48
B．54
C．60
D．66
12．△ABC的三边长分别为2m+3，m2+2m，m2+3m+3（m＞0），则最大内角的度数为（ ）
A．150°
B．120°
C．90°
D．135°
二、填空题（20分，每题5分）
13．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为
．
14．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ．
15．若x，y满足约束条件，且z=kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k= ．
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为 ．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）的极值点．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+
( http: / / www.21cnjy.com )12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
19．小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．
（1）求x+y能被3整除的概率；
（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
20．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
（1）根据2～5月份的统计数据，求出y关于x的回归直线方程=x+；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
（参考公式：
=）=，
=﹣b．
21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两
( http: / / www.21cnjy.com )点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）求h（x）的单调区间．
2016-2017学年广东省清远三中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（60分，每题5分）
1．若a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＜a＜c＜b
B．a＜c＜b＜d
C．a＜d＜b＜c
D．a＜d＜c＜b
【考点】不等式比较大小．
【分析】由已知中a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，结合同号两数积为正，异号两数积为负，可得答案．
【解答】解：∵a＜b，（c﹣a）（c﹣b）＜0，
∴a＜c＜b，
∵（d﹣a）（d﹣b）＞0，
∴d＜a＜b，或a＜b＜d，
又∵d＜c，
∴d＜a＜b，
综上可得：d＜a＜c＜b，
故选：A
2．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（
( http: / / www.21cnjy.com )b）g（b）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
【考点】导数的乘法与除法法则．
【分析】根据f′（x）g（x）﹣f（x
( http: / / www.21cnjy.com )）g′（x）＞0知故函数在R上为单调增函数，则当a＜x＜b，有在根据f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数即可得到f（x）g（a）＞f（a）g（x）
【解答】解：∵f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0
∴
∴函数在R上为单调增函数
∵a＜x＜b
∴
∵f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数
∴f（x）g（a）＞f（a）g（x）
故选B
3．设b＞a＞0，且a+b=1，则此四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是（ ）
A．b
B．a2+b2
C．2ab
D．
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据基本不等式知a2+b2
( http: / / www.21cnjy.com )≥2ab，在根据b＞a＞0，且a+b=1得b，故四个数，2ab，a2+b2，b中可以通过比较a2+b2与b的大小确定之间的大小关系，通过作差法b﹣a2+b2=b（a+b）﹣a2+b2=a（b﹣a）＞0，故而b最大
【解答】解：根据基本不等式知：a2+b2≥2ab，
∵b＞a＞0，且a+b=1
∴b
∵b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2﹣b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0，
∴b＞a2+b2，
∴四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是b
故选A
4．若方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把方程﹣=1化为方程+=1，根据焦点在y轴上的条件可判断答案．
【解答】解：方程﹣=1化为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则a＞0，﹣b＞0，且﹣b＞a，∴＞＞0，
故选A．
5．已知f（x）=x2+2x f′（1），则
f′（0）等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣4
【考点】导数的运算．
【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．
【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），
令x=1，可得
f′（1）=2+2f′（1），
∴f′（1）=﹣2，
∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，
当x=0，f′（0）=﹣4．
故选D．
6．设p：x＜﹣1或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】可先判p是q的什么条件，也可先写出 p和 q，直接判断 p是 q的什么条件．
【解答】解：由题意q p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件，所以 p是 q的充分不必要条件．
故选A
7．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（ ）
A．1
B．﹣
C．2
D．﹣5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面
( http: / / www.21cnjy.com )区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣2x+y对应的直线进行平移，可得当x=﹣1，y=1时，z=﹣2x+y取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（，）
设z=F（x，y）=﹣2x+y，将直线l：z=﹣2x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（﹣1，1）=1
故选：A
8．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．9
D．6
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．
【分析】根据抛物线的标准方程
求出焦点坐标和
( http: / / www.21cnjy.com )准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．
【解答】解：抛物线的标准方程为
x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．
设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），
故选C．
9．已知an=（）n，把数列{an}的各项排成如图的三角形，记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=（ ）
A．（）67
B．（）68
C．（）112
D．（）113
【考点】归纳推理．
【分析】观察发现：数阵由连
( http: / / www.21cnjy.com )续的项的排列构成，且第m行有2m﹣1个数，根据等差数列求和公式，得出A（11，12）是数阵中第几个数字，即时数列{an}中的相序，再利用通项公式求出答案．
【解答】解：由数阵可知，A（11，12）是数阵当中第1+3+5+…+17+19+12=112个数据，
也是数列{an}中的第112项，
而a112=（）112，
所以A（11，12）对应于数阵中的数是（）112．
故选C．
10．在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，则A为（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不存在
【考点】函数的零点与方程根的关系；三角形的形状判断．
【分析】△ABC中，由一元二次方程的判别式大于零以及正弦定理求得
b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得
cosA＞0，从而得到A为锐角．
【解答】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，
即（sinA﹣sinC）
( http: / / www.21cnjy.com )x2+2sinB
x+（sinA+sinC）=0
有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4
（sin2A﹣sin2C）＞0，
由正弦定理可得
b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得
cosA=＞0，
故A为锐角，
故选A．
11．在等差数列{an}中，若a4+a6=12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为（ ）
A．48
B．54
C．60
D．66
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】等差数列的等差中项的特点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a4+a6=12，
则a5=6，Sn是数列的{an}的前n项和，
∴
=9a5
=54
故选B．
12．△ABC的三边长分别为2m+3，m2+2m，m2+3m+3（m＞0），则最大内角的度数为（ ）
A．150°
B．120°
C．90°
D．135°
【考点】余弦定理．
【分析】由已知比较可得m2+3m+3为三角形的最大边长，设其所对的角为α，由余弦定理计算可得：cosα=﹣，由0＜α＜π
即可求得最大内角的度数．
【解答】解：∵m＞0，且m2+2m﹣（2m+3）＞0，m2+3m+3﹣（m2+2m）＞0
∴m2+3m+3为三角形的最大边长，设其所对的角为α
∴由余弦定理可得：cosα===﹣
∵0＜α＜π
∴
故选：B．
二、填空题（20分，每题5分）
13．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为
3 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点
( http: / / www.21cnjy.com )的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k
的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．
【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），
∴…①
又∵y=x3+ax+b，
∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②
∴由①②得：b=3．
故答案为：3．
14．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ．
【考点】抛物线的定义．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，
( http: / / www.21cnjy.com )利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．
【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点
F（，0）准线方程x=﹣
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3
解得x1+x2=
∴线段AB的中点横坐标为
∴线段AB的中点到y轴的距离为
故答案为：．
15．若x，y满足约束条件，且z=kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k= ﹣2或1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，
( http: / / www.21cnjy.com )由z=kx+y，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=kx+y与可行域的边界AC，BC平行时，从而得到k值即可．
【解答】解：∵z=kx+y则y=﹣kx+z，z为直线y=﹣x+在y轴上的截距，
要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，
则截距最小时的最优解有无数个．
把z=kx+y平移，使之与可行域中的边界AC，或BC重合即可，
∵A（2，2），B（﹣1，2），C（1，0），
∴﹣k==2或﹣k=
解得k=2或k=﹣1，
故答案为：2或﹣1．
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为 ．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC与（a+b）2﹣c2=4可得：ab=，由基本不等式即可求得a+b的最小值．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=a2+b2+2ab﹣4①
∵△ABC中，C=60°，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab②
由①②得：3ab=4，ab=．
∴a+b≥2=2=（当且仅当a=b=时取“=”）．
∴a+b的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）的极值点．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（
( http: / / www.21cnjy.com )1），f（1）的值，求出切线方程即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣x2﹣3x+1，
知f′（x）=x2﹣2x﹣3，
∴f′（1）=﹣4，所以函数在x=1处的切线的斜率为﹣4，
又∵f（1）=﹣，
故切线方程为y+=﹣4（x﹣1），即y=﹣4x+；
（2）令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，
x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，3）
3
（3，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表知，y=f（x）的极大值点为x=﹣1，极小值点为x=3．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7
( http: / / www.21cnjy.com )ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可
【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则，
即，解得1＜m＜，
因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，
则，
解得≤a≤，
故实数a的取值范围为：[，]．
19．小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．
（1）求x+y能被3整除的概率；
（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，列举出（x，y）为坐标的点和x+y能被3整除的点，由此能求出x+y能被3整除的概率．
（2）列举出满足x+y≥10的点和满足x+y≤4的点，从而求出小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，则以（x，y）为坐标的点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），
（6，6），共有36个，即以（x，y）为坐标的点共有36个…
x+y能被3整除的点是：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），
（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）共12个，…
所以x+y能被3整除的概率是p=．…
（2）满足x+y≥10的点有：
（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6个，
所以小王赢的概率是p==，…
满足x+y≤4的点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个，
所以小李赢的概率是p=，…
则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平…
20．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
（1）根据2～5月份的统计数据，求出y关于x的回归直线方程=x+；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
（参考公式：
=）=，
=﹣b．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）求出，，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到y关于x的线性回归方程，
（2）由（1）能求出该小组所得线性回归方程是理想的．
【解答】解：（1）∵=11，
=24，
∴=，
故=﹣=﹣，
故y关于x的方程是：
=x﹣；
（2）∵x=10时，
=，
误差是|﹣22|=＜1，
x=6时，
=，误差是|﹣12|=＜1，
故该小组所得线性回归方程是理想的．
21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，
( http: / / www.21cnjy.com )Q两点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）设出F，由直线AF的斜率为求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
( http: / / www.21cnjy.com )当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程化简，由判别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，求出，即，得到k2=4，符合△＞0，进一步求出k值，则直线方程可求．
【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，，解得c=，又，
∴a=2，b2=a2﹣c2=1，
∴E的方程为：；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
把y=kx﹣2代入，化简得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．
由△=16（4k2﹣3）＞0，得，即k＜﹣或k＞．
，，
∴．
若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，则，
即，即，
∴k2=4，符合△＞0，
∴存在k=±2，符合题意，
此时l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．
22．已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）求h（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算h′
( http: / / www.21cnjy.com )（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可．
【解答】解：∵h（x）=f（x）+g（x）=mx2﹣（2m+1）x+2lnx，
∴h′（x）=mx﹣（2m+1）+，（x＞0），
（1）h′（1）=m﹣（2m+1）+2=1﹣m，
∴h′（3）=3m﹣（2m+1）+=m﹣，
由h′（1）=h′（3）得：m=；
（2）∵h′（x）=，（x＞0），
当m≤0时，x＞0，mx﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f′（x）＞0，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，
当0＜m＜时，＞2，
在区间（0，2）和（，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（2，）上，f′（x）＜0，
当m=时，f′（x）=，
在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，
④当m＞时，0＜＜2，
在区间（0，）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（，2）上，f′（x）＜0，
综上： 当m≤0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
当0＜m＜时，
f（x）在（0，2）和（，+∞）递增，在（2，）递减，
m=时，f（x）在（0，+∞）递增 ；
④当m＞时，f（x）在（0，）和（2，+∞）递增，在（，2）递减．
2017年3月31日
一、选择题（60分，每题5分）
1．若a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＜a＜c＜b
B．a＜c＜b＜d
C．a＜d＜b＜c
D．a＜d＜c＜b
2．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
( http: / / www.21cnjy.com )B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
3．设b＞a＞0，且a+b=1，则此四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是（ ）
A．b
B．a2+b2
C．2ab
D．
4．若方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
5．已知f（x）=x2+2x f′（1），则
f′（0）等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣4
6．设p：x＜﹣1或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（ ）
A．1
B．﹣
C．2
D．﹣5
8．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．9
D．6
9．已知an=（）n，把数列{an}的各项排成如图的三角形，记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=（ ）
A．（）67
B．（）68
C．（）112
D．（）113
10．在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，则A为（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不存在
11．在等差数列{an}中，若a4+a6=12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为（ ）
A．48
B．54
C．60
D．66
12．△ABC的三边长分别为2m+3，m2+2m，m2+3m+3（m＞0），则最大内角的度数为（ ）
A．150°
B．120°
C．90°
D．135°
二、填空题（20分，每题5分）
13．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为
．
14．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ．
15．若x，y满足约束条件，且z=kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k= ．
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为 ．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）的极值点．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+
( http: / / www.21cnjy.com )12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
19．小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．
（1）求x+y能被3整除的概率；
（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
20．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
（1）根据2～5月份的统计数据，求出y关于x的回归直线方程=x+；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
（参考公式：
=）=，
=﹣b．
21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两
( http: / / www.21cnjy.com )点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）求h（x）的单调区间．
2016-2017学年广东省清远三中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（60分，每题5分）
1．若a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＜a＜c＜b
B．a＜c＜b＜d
C．a＜d＜b＜c
D．a＜d＜c＜b
【考点】不等式比较大小．
【分析】由已知中a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，结合同号两数积为正，异号两数积为负，可得答案．
【解答】解：∵a＜b，（c﹣a）（c﹣b）＜0，
∴a＜c＜b，
∵（d﹣a）（d﹣b）＞0，
∴d＜a＜b，或a＜b＜d，
又∵d＜c，
∴d＜a＜b，
综上可得：d＜a＜c＜b，
故选：A
2．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（
( http: / / www.21cnjy.com )b）g（b）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
【考点】导数的乘法与除法法则．
【分析】根据f′（x）g（x）﹣f（x
( http: / / www.21cnjy.com )）g′（x）＞0知故函数在R上为单调增函数，则当a＜x＜b，有在根据f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数即可得到f（x）g（a）＞f（a）g（x）
【解答】解：∵f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0
∴
∴函数在R上为单调增函数
∵a＜x＜b
∴
∵f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数
∴f（x）g（a）＞f（a）g（x）
故选B
3．设b＞a＞0，且a+b=1，则此四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是（ ）
A．b
B．a2+b2
C．2ab
D．
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据基本不等式知a2+b2
( http: / / www.21cnjy.com )≥2ab，在根据b＞a＞0，且a+b=1得b，故四个数，2ab，a2+b2，b中可以通过比较a2+b2与b的大小确定之间的大小关系，通过作差法b﹣a2+b2=b（a+b）﹣a2+b2=a（b﹣a）＞0，故而b最大
【解答】解：根据基本不等式知：a2+b2≥2ab，
∵b＞a＞0，且a+b=1
∴b
∵b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2﹣b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0，
∴b＞a2+b2，
∴四个数，2ab，a2+b2，b中最大的是b
故选A
4．若方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把方程﹣=1化为方程+=1，根据焦点在y轴上的条件可判断答案．
【解答】解：方程﹣=1化为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则a＞0，﹣b＞0，且﹣b＞a，∴＞＞0，
故选A．
5．已知f（x）=x2+2x f′（1），则
f′（0）等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣4
【考点】导数的运算．
【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．
【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），
令x=1，可得
f′（1）=2+2f′（1），
∴f′（1）=﹣2，
∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，
当x=0，f′（0）=﹣4．
故选D．
6．设p：x＜﹣1或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】可先判p是q的什么条件，也可先写出 p和 q，直接判断 p是 q的什么条件．
【解答】解：由题意q p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件，所以 p是 q的充分不必要条件．
故选A
7．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（ ）
A．1
B．﹣
C．2
D．﹣5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面
( http: / / www.21cnjy.com )区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣2x+y对应的直线进行平移，可得当x=﹣1，y=1时，z=﹣2x+y取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（，）
设z=F（x，y）=﹣2x+y，将直线l：z=﹣2x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（﹣1，1）=1
故选：A
8．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．9
D．6
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．
【分析】根据抛物线的标准方程
求出焦点坐标和
( http: / / www.21cnjy.com )准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．
【解答】解：抛物线的标准方程为
x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．
设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），
故选C．
9．已知an=（）n，把数列{an}的各项排成如图的三角形，记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=（ ）
A．（）67
B．（）68
C．（）112
D．（）113
【考点】归纳推理．
【分析】观察发现：数阵由连
( http: / / www.21cnjy.com )续的项的排列构成，且第m行有2m﹣1个数，根据等差数列求和公式，得出A（11，12）是数阵中第几个数字，即时数列{an}中的相序，再利用通项公式求出答案．
【解答】解：由数阵可知，A（11，12）是数阵当中第1+3+5+…+17+19+12=112个数据，
也是数列{an}中的第112项，
而a112=（）112，
所以A（11，12）对应于数阵中的数是（）112．
故选C．
10．在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，则A为（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不存在
【考点】函数的零点与方程根的关系；三角形的形状判断．
【分析】△ABC中，由一元二次方程的判别式大于零以及正弦定理求得
b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得
cosA＞0，从而得到A为锐角．
【解答】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，
即（sinA﹣sinC）
( http: / / www.21cnjy.com )x2+2sinB
x+（sinA+sinC）=0
有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4
（sin2A﹣sin2C）＞0，
由正弦定理可得
b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得
cosA=＞0，
故A为锐角，
故选A．
11．在等差数列{an}中，若a4+a6=12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为（ ）
A．48
B．54
C．60
D．66
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】等差数列的等差中项的特点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a4+a6=12，
则a5=6，Sn是数列的{an}的前n项和，
∴
=9a5
=54
故选B．
12．△ABC的三边长分别为2m+3，m2+2m，m2+3m+3（m＞0），则最大内角的度数为（ ）
A．150°
B．120°
C．90°
D．135°
【考点】余弦定理．
【分析】由已知比较可得m2+3m+3为三角形的最大边长，设其所对的角为α，由余弦定理计算可得：cosα=﹣，由0＜α＜π
即可求得最大内角的度数．
【解答】解：∵m＞0，且m2+2m﹣（2m+3）＞0，m2+3m+3﹣（m2+2m）＞0
∴m2+3m+3为三角形的最大边长，设其所对的角为α
∴由余弦定理可得：cosα===﹣
∵0＜α＜π
∴
故选：B．
二、填空题（20分，每题5分）
13．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为
3 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点
( http: / / www.21cnjy.com )的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k
的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．
【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），
∴…①
又∵y=x3+ax+b，
∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②
∴由①②得：b=3．
故答案为：3．
14．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ．
【考点】抛物线的定义．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，
( http: / / www.21cnjy.com )利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．
【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点
F（，0）准线方程x=﹣
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3
解得x1+x2=
∴线段AB的中点横坐标为
∴线段AB的中点到y轴的距离为
故答案为：．
15．若x，y满足约束条件，且z=kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k= ﹣2或1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，
( http: / / www.21cnjy.com )由z=kx+y，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=kx+y与可行域的边界AC，BC平行时，从而得到k值即可．
【解答】解：∵z=kx+y则y=﹣kx+z，z为直线y=﹣x+在y轴上的截距，
要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，
则截距最小时的最优解有无数个．
把z=kx+y平移，使之与可行域中的边界AC，或BC重合即可，
∵A（2，2），B（﹣1，2），C（1，0），
∴﹣k==2或﹣k=
解得k=2或k=﹣1，
故答案为：2或﹣1．
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为 ．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC与（a+b）2﹣c2=4可得：ab=，由基本不等式即可求得a+b的最小值．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=a2+b2+2ab﹣4①
∵△ABC中，C=60°，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab②
由①②得：3ab=4，ab=．
∴a+b≥2=2=（当且仅当a=b=时取“=”）．
∴a+b的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）的极值点．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（
( http: / / www.21cnjy.com )1），f（1）的值，求出切线方程即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣x2﹣3x+1，
知f′（x）=x2﹣2x﹣3，
∴f′（1）=﹣4，所以函数在x=1处的切线的斜率为﹣4，
又∵f（1）=﹣，
故切线方程为y+=﹣4（x﹣1），即y=﹣4x+；
（2）令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，
x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，3）
3
（3，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表知，y=f（x）的极大值点为x=﹣1，极小值点为x=3．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7
( http: / / www.21cnjy.com )ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可
【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则，
即，解得1＜m＜，
因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，
则，
解得≤a≤，
故实数a的取值范围为：[，]．
19．小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．
（1）求x+y能被3整除的概率；
（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，列举出（x，y）为坐标的点和x+y能被3整除的点，由此能求出x+y能被3整除的概率．
（2）列举出满足x+y≥10的点和满足x+y≤4的点，从而求出小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，则以（x，y）为坐标的点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），
（6，6），共有36个，即以（x，y）为坐标的点共有36个…
x+y能被3整除的点是：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），
（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）共12个，…
所以x+y能被3整除的概率是p=．…
（2）满足x+y≥10的点有：
（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6个，
所以小王赢的概率是p==，…
满足x+y≤4的点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个，
所以小李赢的概率是p=，…
则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平…
20．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
（1）根据2～5月份的统计数据，求出y关于x的回归直线方程=x+；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
（参考公式：
=）=，
=﹣b．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）求出，，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到y关于x的线性回归方程，
（2）由（1）能求出该小组所得线性回归方程是理想的．
【解答】解：（1）∵=11，
=24，
∴=，
故=﹣=﹣，
故y关于x的方程是：
=x﹣；
（2）∵x=10时，
=，
误差是|﹣22|=＜1，
x=6时，
=，误差是|﹣12|=＜1，
故该小组所得线性回归方程是理想的．
21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，
( http: / / www.21cnjy.com )Q两点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）设出F，由直线AF的斜率为求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
( http: / / www.21cnjy.com )当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程化简，由判别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，求出，即，得到k2=4，符合△＞0，进一步求出k值，则直线方程可求．
【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，，解得c=，又，
∴a=2，b2=a2﹣c2=1，
∴E的方程为：；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
把y=kx﹣2代入，化简得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．
由△=16（4k2﹣3）＞0，得，即k＜﹣或k＞．
，，
∴．
若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，则，
即，即，
∴k2=4，符合△＞0，
∴存在k=±2，符合题意，
此时l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．
22．已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）求h（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算h′
( http: / / www.21cnjy.com )（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可．
【解答】解：∵h（x）=f（x）+g（x）=mx2﹣（2m+1）x+2lnx，
∴h′（x）=mx﹣（2m+1）+，（x＞0），
（1）h′（1）=m﹣（2m+1）+2=1﹣m，
∴h′（3）=3m﹣（2m+1）+=m﹣，
由h′（1）=h′（3）得：m=；
（2）∵h′（x）=，（x＞0），
当m≤0时，x＞0，mx﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f′（x）＞0，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，
当0＜m＜时，＞2，
在区间（0，2）和（，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（2，）上，f′（x）＜0，
当m=时，f′（x）=，
在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，
④当m＞时，0＜＜2，
在区间（0，）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（，2）上，f′（x）＜0，
综上： 当m≤0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
当0＜m＜时，
f（x）在（0，2）和（，+∞）递增，在（2，）递减，
m=时，f（x）在（0，+∞）递增 ；
④当m＞时，f（x）在（0，）和（2，+∞）递增，在（，2）递减．
2017年3月31日