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1．本专题复习高中数学必修5中解三角形的实际应用，在实际生活中很多长度、角度不好测量，这时我们能够利用解三角形的知识来解决．
2．分析实际问题中的背景，利用解三角形解决长度、角度的相关问题．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
利用正弦定理、余弦定理解决实际问题
1．方位角、方向角
(1)方位角：从指北方向________时针转到目标方向的水平角．如图（1）所示
(2)方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．
①北偏东α°，即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向，如图（2）所示．
②北偏西α°，即是由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\FS26.TIF"
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2．仰、俯角：目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线上方时，称为______，在水平线下方时，称为______，如图．
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\FS43.TIF"
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{例题}要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100
m的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．
{解析}如图所示，在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝100．
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"../../../S14.TIF"
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在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°．
由正弦定理，得BC＝＝200sin75°．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝(100)2＋(200sin75°)2－2×100×200sin75°·cos75°
＝1002(3＋4×－2××sin150°)＝1002×5，
∴AB＝100．
{答案}
A、B两地间的距离为100m．
3．如图所示，海中小岛A周围38
n
mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30
n
mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\FS28.TIF"
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{例题}如图所示，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝20
m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h．
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\AA3.TIF"
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\AA3.TIF"
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MERGEFORMATINET
{解析}
AO＝＝h，
OB＝OP＝h．
在△ABO中，由余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB．
∴400＝3h2＋h2－2h2·cos60°，
即400＝4h2－h2，∴h＝≈13(m)．
{答案}旗杆的高大约为13
m．
4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\15HBLS02.TIF"
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MERGEFORMAT
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"E:\\小样\\人教B版数学必修五教师书\\15HBLS02.TIF"
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MERGEFORMATINET
{例题}在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)
n
mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2
n
mile的C处的缉私船奉命以10n
mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10
n
mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
{解析}设缉私船用t
h在D处追上走私船．在△ABC，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，
∴BC＝．
在△ABC中，由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直
∴∠CBD＝120°．在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
∴＝，
∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30°．
{答案}缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船．
5．我缉私巡逻艇在一小岛A南50°西的方向，距小岛A
12
n
mile的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北10°西方向行驶，测得其速度为每小时10
n
mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38°≈0.62)
1．顺
2．仰角，俯角
3．解：在△ABC中，BC＝30，∠ABC＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，
由正弦定理，得＝即：＝，
∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(＋)，
∴A到BC的距离为d＝ACsin45°＝15(＋1)≈40.98
n
mile>38
n
mile，
答：继续向南航行，没有触礁危险．
4．100．由题意可知，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°．故由正弦定理，得＝，即有＝，解得BC＝300．又由题意可知，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，所以由tan∠CBD＝可得＝，解得CD＝100．
5．解：如右图所示，AC所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时x
n
mile，则BC＝2x，AC＝20．
依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°
＝122＋202－2×12×20×(－)＝784，
∴BC＝28，∵BC＝2x，∴x＝14．
又由正弦定理得，sin∠ABC＝＝≈0.62．
∴∠ABC＝38°．
而如图所示的Rt△ADB中，∠ABD＝40°．
∴∠EBC＝90°－38°－40°＝12°．
答：我巡逻艇用每小时14
n
mile的速度向北12°东的方向航行．
专题三：距离、角度相关问题
方位角
仰、俯角正弦定理
利用正、余弦定理求距离
求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是△BCD和△ABC．
利用正、余弦定理求高度
欲求旗杆的高度h，只要注意到OB＝OP＝h，便可在△BPO、△APO、△AOB中找出OP(h)、OA、OB的关系，用正弦定理或余弦定理去解决．
利用正、余弦定理求角度
把实际问题抽象为几何问题，再利用正、余弦定理求相关角度．
专题三：距离、角度相关问题
答案姓名:
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1．本专题复习高中数学必修5中不等式的内容，不等关系在现实生活中普遍存在，是数学研究的重要内容，也是高中数学的基础．
2．理解不等关系，会比较两个数或代数式的大小，掌握不等式性质及其应用．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解不等关系，会比较两个数或代数式的大小，掌握不等式性质及其应用．
1．不等关系与不等式
(1)用数学符号“______”、“______”、“______”、“______”、“______”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．
(2)含有________的式子，叫做不等式．
(3)a≥b即为_____________；
a≤b即为_____________．
2．实数的大小比较
(1)数轴上的两点A、B的位置关系与其对应实数a、b的大小比较
①数轴上的任意两点中，________点对应的实数比________点对应的实数大．
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)
点A、B的位置关系
点A和点B重合
点A在点B右侧
点A在点B左侧
实数a、b的大小关系
____________
____________
____________
(2)用推出符号表示实数的差与它们大小之间的关系
①a－b>0 ________；
②a－b<0 ________；
③a－b＝0 ________．
3．不等式的性质
(1)性质1(对称性)
a>b ________；
(2)性质2(传递性)
a>b，b>c ________；
(3)性质3 a>b ____________．
①推论1(移项法则) a＋b>c ____________．
②推论2 a>b，c>d ____________．
③推论2的推广a>b，c>d，…，m>n a＋c＋…＋m>b＋d＋…＋n．
(4)性质4
a>b，c>0 __________；a>b，c<0 __________．
①推论1 a>b>0，c>d>0 __________．
②推论1的推广a>b>0，c>d>0，…，m>n>0 ac…m>bd…n．
③推论2 a>b>0 ________(n∈N＋，n>1)．
④推论3 a>b>0 ____________(n∈N＋，n>1)．
{例题}试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．
{解析}由于(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2＝(x2＋6x＋5)－(x2＋6x＋9)＝－4<0，
故(x＋1)(x＋5)<(x＋3)2．
{答案}(x＋1)(x＋5)<(x＋3)2．
4．比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R．
{例题}判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若>，则a>b；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd．
{解析}(1)错误．当c＝0时不成立．
(2)正确．c2≠0且c2>0，在>两边同乘以c2，不等式方向不变，得a>b．
(3)错误．例如：当a＝1，b＝－1时不成立．
(4)错误．例如：a＝c＝1，b＝d＝－2时不成立．
5．对于实数a、b、c，有下列命题
①若a>b，则ac
②若a>b，c>b，则a>c；
③若a>b，则lg>0；
④若>，则ad>bc；
⑤若a>b，c>d，则a－d>b－c．
其中错误命题的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
{例题}已知－6{解析}∵－6又∵2∵2∴－9∵2∵－6{答案}－10<2a＋b<19，－96．已知－<α<，－<β<，求2α－β的取值范围．
1．≠，>，<，≥，≤，不等号，a>b或a＝b，a2．右边，左边，a＝b，a>b，ab，a3．bc，a＋c>b＋c，a>c－b，a＋c>b＋d，ac>bc，acbd，an>bn，>．
4．(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋()2]－()2＋3＝(x－)2＋≥>0．
∴x2＋3>3x．
5．C．要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系．
①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故①错误．
②若a>b，c>b，则a>c，不符合不等式的传递性，故②错误．
③若a>0>b，则<0，lg无意义，故③错误．
④当>且cd<0时，则ad⑤若c>d，则－d>－c，
又a>b，∴a＋(－d)>b＋(－c)，即a－d>b－c，故⑤正确．
综上可知，①、②、③、④错误，⑤正确，故选C．
6．解：∵－<α<，－<β<，
∴－π<2α<π，－<－β<，
∴－<2α－β<．
专题七：不等式与不等关系
不等式与不等关系
不等式的性质
作差比较法
实数比较大小的依据是：①a－b>0 a>b；②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a不等式的性质
一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中，灵活、准确的加以应用．若是假命题，只需举一反例即可．
递推公式
欲求a－b的取值范围，应先求－b的取值范围，欲求eq
\f(a,b)的取值范围，应先求eq
\f(1,b)的取值范围．
专题七：不等式与不等关系
答案姓名:
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1．本专题复习高中数学必修5中数列的概念与表示，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，也是高考数学中的一个热点．
2．理解数列的概念，掌握数列的几种表示法．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解数列的概念，掌握数列的几种表示法．
1．数列的概念
______________________________叫做数列．
数列中的__________叫做这个数列的项．数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做__________，排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an，数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
2．通项公式
数列的第n项an与n之间的关系用一个函数式__________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列{an}的项数n和项an的对应关系，实际上是序号集合与另一个数集的映射．因此，数列可以看作是一个定义域为__________________________________________的函数．数列的通项公式也就是相应函数的________．
3．数列的分类
(1)项数有限的数列叫做__________，项数无限的数列叫做__________．
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：
从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做____________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做__________；各项都相等的数列叫做__________．
4．数列的表示方法
用函数观点认识数列是重要的思想方法．一般情况下，数列同函数类似，通常有三种表示方法：①_________；②________；③________．其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列(将在下节讲述)．
数列an＝f(n)的图象是由一系列孤立的点(________)所组成的图形，它们都落在函数y＝f(x)的图象上．
5．递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的__________与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________，如a1＝1，an＋1＝an＋2就是一个递推公式．
{例题}下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
{解析}
D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．
{答案}
C．
6．数列{an}的通项公式an＝－58＋16n－n2，则( )
A．{an}是递增数列
B．{an}是递减数列
C．{an}先增后减，有最大值
D．{an}是减后增，有最小值
{例题}写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)1，0，1，0，1…；
(2)0.9，0.99，0.999，…，，…
{解析}(1)这个数列是一个摆动数列，奇数项为1，偶数项为0，可通过来实现，
∴an＝．
(2)0.9＝1－0.1，0.99＝1－0.01，0.999＝1－0.001，…
．
7．已知数列an的通项公式为an＝3×2n－1，则48是该数列的第_______项．
8．数列，，，1，，，…的一个通项公式为________．
{例题}已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝3，an＋1＝．
{解析}(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1，
a3＝a2＋(2×2－1)＝4，
a4＝a3＋(2×3－1)＝9，
a5＝a4＋(2×4－1)＝16，
∴它的前五项为0，1，4，9，16，此数列又可写成：
(1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，…
故该数列的一个通项公式为an＝(n－1)2．
(2)∵a1＝3，an＋1＝，
∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，
它的前五项依次为3，，，，．
故它的一个通项公式为an＝．
9．在数列{an}中，a1＝1，4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)，写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子．
1．按照一定次序排列起来的一列数，每一个数，首项．
2．an＝f(n)，正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，……，n})，解析式．
3．有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列．
4．列表法，图象法，解析法，(n，f(n))
．
5．任一项an，前一项an－1，递推公式．
6．C．an＝－(n－8)2＋6，这是关于n的二次函数，开口向下，当n≤8时，{an}递增，当n>8时，{an}递减，当n＝8时，a8最大，故选C．
7．5．由3×2n－1＝48得，2n－1＝24，∴n＝5．
8．an＝．先把各项都写成分数形式，注意到4＝2×2，可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即，，，，，，…，∴an＝．
9．解：∵4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)，
∴an＋1(4－an)＋2an＝9．
∴an＋1(4－an)＝9－2an．
∴an＋1＝．
∴a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝．
故这个数列的前4项为1，，，，可归纳出通项公式an＝．
专题四：数列的概念与表示
数列的概念与表示
数列的概念及分类
紧扣概念判断数列的分类．
通项公式
①已知数列的前几项，如果能写出数列的通项公式，结论不唯一．如(1)还可写成an＝|sineq
\f(nπ,2)|(n∈N
)或an＝|coseq
\f( n－1 π,2)|(n∈N
)．
②注意项an与项的序号n之间的关系．
③要注意以下几个特殊数列在表达通项中的作用：
1°．an＝n；
2°．an＝eq
\f(1,n)；
3°．an＝(－1)n；
4°．an＝sineq
\f(nπ,2)；
5°．an＝coseq
\f(nπ,2)；
6°．an＝eq
\f( －1 n＋1,2)；
7°．an＝eq
\f(1,2n)；
8°．an＝eq
\f(1,10n)．
递推公式
已知数列的递推公式写出数列的前五项是高考的基本要求．归纳猜想数列的通项公式可锻炼学生的观察能力与推理能力．
专题四：数列的概念与表示
答案姓名:
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1．本专题复习高中数学必修5中线性规划的内容，线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式（组）也有着丰富的实际背景，更是高考的一个热点．
2．理解二元一次不等式（组），学会用线性规划解决相关实际问题．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解二元一次不等式（组），学会用线性规划解决相关实际问题．
1．二元一次不等式(组)的概念
二元一次不等式是指含有________未知数，且未知数的最高次数为______的不等式．二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组．
2．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)开半平面与闭半平面
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面分为________，每个部分叫做开半平面，开半平面与________叫做闭半平面．
(2)不等式表示的区域
以________________为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．
(3)直线两侧的点的坐标满足的条件
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有________的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号________，一侧都________，另一侧都________．
(4)二元一次不等式表示区域的确定
在直线l的某一侧______一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果______，则该点______________区域就是所求的区域；否则l的________就是所示的区域．如果直线不过________，则用________的坐标来进行判断，比较方便．
3．对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为______________．z＝f(x，y)是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做__________，当f(x、y)是x，y的一次解析式时，z＝f(x、y)叫做________________．
4．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为________________；满足线性约束条件的解(x，y)叫做________；由所有可行解组成的集合叫做________；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做________．
{例题}画出不等式组表示的平面区域．
{解析}不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线
x＋y＋1＝0上及上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图所示．
5．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．
B．
C．
D．
{例题}设z＝2x＋y，式中变量x、y满足条件，求z的最大值和最小值．
{解析}作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行直线．
由图可看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组得A点坐标为(5，2)，
解方程组得B点坐标为(1，1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3．
{答案}最大值为12，最小值为3．
6．若x、y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值为________．
{例题}某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多个单位的午餐和晚餐？
{解析}设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x、y满足．
化简后作为可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9，0)、B(4，3)、C(2，5)、D(0，8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×5＝32．
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
{答案}应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．
7．某人有楼房一幢，室内面积共计180
m2，拟分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18
m2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40
元；小房间每间面积为15
m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1
000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8
000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
1．两个，1．
2．(1)两部分，l的并集；(2)不等式解(x，y)；(3)相同，相反，大于0，小于0；(4)任取，满足，所在的这一侧，另一侧，原点，原点．
3．线性约束条件，目标函数，线性目标函数．
4．线性规划问题，可行解，可行域，最优解．
5．B．不等式组表示的平面区域如图所示．
由，得．
由，得．
由，得．
∴A(，)、B(－2，－2)、C(8，－2)．
∴BC＝10，点A到边BC的距离d＝－(－2)＝．
∴平面区域的面积为S＝×10×＝．
6．．画出可行域，如图所示．将目标函数变形为y＝－x＋z，当z取到最大时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D，则z＝x＋y的最大值为．
7．设隔出大房间x间，小房间y间，收益为z元，则x、y满足
，
即，
z＝200
x＋150
y．
作出可行域，如图所示．
当直线z＝200x＋150y经过可行域上的点M时，z最大．
解方程组，得点M的坐标为，
由于点M的坐标不是整数，而最优解(x，y)是整点，所以可行域内点M不是最优解．
经验证：经过可行域内的整点，且使z＝200x＋150y取得最大值的整点是(0，12)和(3，8)，此时zmax＝1
800
元．
专题十：线性规划
二元一次不等式（组）
线性规划
二元一次不等式（组）与平面区域
一元二次不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
线性规划中最优解问题
解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得．
线性规划的实际应用
实际问题的线性规划问题的关键是根据实际问题情境建立不等式（组）和目标函数模型，再利用图解法求其最优解．
专题十：线性规划
答案姓名:
__________
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_________ _
1．本专题复习高中数学必修5中一元二次不等式的内容，一元二次不等式是不等式中最常见的一种模型，也是日常生活中经常碰到的不等式模型，一元二次不等式在各类高中题型中贯穿始终，是非常重要的考点．
2．理解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系，会解一元二次不等式，掌握含参数一元二次不等式的解法，掌握分式不等式，一元高次不等式的解法．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系，会解一元二次不等式，掌握含参数一元二次不等式的解法．
1．一元二次不等式的概念
含有________未知数，且未知数的________次数为__________不等式，叫做一元二次不等式．
2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝f(x)的图象
f(x)＝0的根
x1，x2
x0＝－
没有实数根
f(x)>0的解集
___________
___________
___________
f(x)<0的解集
___________
___________
___________
3．(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
4．一元高次不等式常用解法是
．
{例题}解下列关于x的不等式：
(1)－x2＋2x－>0；
(2)8x－1≤16x2．
{解析}(1)原不等式可化为3x2－6x＋2<0，
令3x2－6x＋2＝0，得
x1＝1－，x2＝1＋，
∴原不等式的解集为{x|1－(2)原不等式可化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，
∴x∈R．
∴原不等式的解集为R．
{答案}(1){x|1－x∈R
}．
5．解关于x的不等式：x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0．
{例题}不等式＞1的解集为________．
{解析}原不等式化为：＜0，
∴(6x－4)(4x－3)＜0，∴＜x＜，
∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．
{答案}{x|＜x＜}．
6．不等式≥1的解集是( )
A．{x|≤x≤2}
B．{x|x≤或x＞2}
C．{x|≤x＜2}
D．{x|x＜2}
{例题}解不等式：x(x－1)2(x＋1)3(x－2)>0．
{解析}原不等式可化为 －12．
∴原不等式的解集为{x|－12}．
{答案}{x|－12}．
7．不等式＜0的解集为( )
A．{x|x＜－2，或0＜x＜3}
B．{x|－2＜x＜2，或x＞3}
C．{x|x＜－2，或x＞0}
D．{x|x＜0，或x＜3}
1．≠，>，<，≥，≤，不等号，a>b或a＝b，a2．右边，左边，a＝b，a>b，ab，a3．bc，a＋c>b＋c，a>c－b，a＋c>b＋d，ac>bc，acbd，an>bn，>．
4．(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋()2]－()2＋3＝(x－)2＋≥>0．
∴x2＋3>3x．
5．C．要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系．
①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故①错误．
②若a>b，c>b，则a>c，不符合不等式的传递性，故②错误．
③若a>0>b，则<0，lg无意义，故③错误．
④当>且cd<0时，则ad⑤若c>d，则－d>－c，
又a>b，∴a＋(－d)>b＋(－c)，即a－d>b－c，故⑤正确．
综上可知，①、②、③、④错误，⑤正确，故选C．
6．解：∵－<α<，－<β<，
∴－π<2α<π，－<－β<，
∴－<2α－β<．
专题八：一元二次不等式
一元二次不等式
分式不等式
一元高次不等式
一元二次不等式的解法
利用二次函数的图像解一元二次不等式．
分式不等式的解法
此类不等式求解，要先移项通分化为eq
\f(f x ,g x )＞0(或eq
\f(f x ,g x )＜0)的形式再化为整式不等式．转化必须保持等价．
一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式利用数形结合，用“穿针引线法”求解．
专题七：不等式与不等关系
答案姓名:
__________
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_________ _
1．本专题复习高中数学必修5中数列的等比数列，等比数列是一种常见的数列模型，在现实生活中有很多方面的应用．
2．理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式，性质，求和公式．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式，性质，求和公式．
1．等比数列的定义
如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的比都等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母________表示．
2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为
q(q≠0)，
填表：
递推公式
通项公式
＝________(n≥2)
an＝________
3．等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成__________，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么______________，即__________．
4．等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·__________(m、n∈N
)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N
)，
则am·an＝__________．
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N
)，
则am·an＝________．
5．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即
a1·an＝a2·__________＝ak·__________＝
(n为正奇数)．
6．等比数列的运算数列的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为________的等比数列；
②{|an|}是公比为________的等比数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为__________的等比数列．
7．等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
Sn＝
Sn＝
8．等比数列前n项和的性质
(1)在等比数列的前n项和公式Sn＝中，如果令A＝，那么Sn＝________．
(2)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和．
①当q＝______且k为________时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N＋)不是等比数列；
②当________或k为________时，数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N＋)是等比数列．
{例题}已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an．
{解析}解法一：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，
∴a2＝2．
从而，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1．
当
a1＝1时，q＝2；当
a1＝4时，q＝，
故an＝2n－1或an＝23－n．
解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2．
代入已知得，
即，
∴
将a1＝
代入(1)得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝．
由(2)得或，以下同解法一．
{答案}
an＝2n－1或an＝23－n．
9．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．
10．等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则＝________．
{例题}在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
{解析}(1)设公比为q，则＝q3，即q3＝－．
∴q＝－，∴an＝a5qn－5＝(－)(－)n－5＝(－)n－4．
(2)∵a3a4a5＝8，又a3a4a5＝a，∴a4＝2．
∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32．
{答案}(1)an＝(－)n－4，(2)a2a3a4a5a6＝32．
11．已知{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比q为( )
A．2
B．－2
C．
D．－
12．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A．
B．
C．
D．2
{例题}在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q．
{解析}∵a2·an－1＝a1·an，∴a1an＝128，
解方程组得
①，或②
将①代入Sn＝，
可得q＝，由an＝a1qn－1可解得n＝6．
将②代入Sn＝，
可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6．
{答案}
q＝，n＝6或q＝2，n＝6．
13．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35
B．33
C．31
D．29
14．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4．
1．第2项，同一个常数，公比，q．
2．q，a1qn－1．
3．等比数列，G2＝xy，G＝±．
4．qn－m，ap·aq，a．
5．an－1，an－k＋1．
6．q，|q|，q1·q2
．
7．，，，．
8．Aqn－A，－1，偶数，q≠－1，奇数．
9．设这三个数为，a，aq
根据已知条件得
由②得a＝4，代入①得q＝2或q＝，
∴这三个数为2，4，8或8，4，2．
10．．由题意知，a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，
解得a1＝d，∴＝＝．
11．B．a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，
所以，或．因为公比为整数，
故．q5＝＝－32，q＝－2．
12．B．∵a3·a9＝a，∴a＝2a，
∴()2＝2，∴q2＝2．
又∵q>0，∴q＝．
又a2＝1，∴a1＝＝＝．
13．C．设公比为q，由a2·a3＝2a1，得a1a4＝2a1，又a1≠0，
∴a4＝2，又a4＋2a7＝，
∴a7＝，∴q3＝＝，
∴q＝，∴a1＝16．
∴S5＝－＝31．
14．解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
∴(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28或－21．
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝S2＋S2q2＝S2(1＋q2)>0，
∴S4＝28．
解法二：∵S2＝7，S6＝91，∴q≠1．
∴，
得q4＋q2－12＝0，∴q2＝3，∴q＝±．
当q＝时，a1＝，∴S4＝＝28．
当q＝－时，a1＝－，
∴S4＝＝28．
专题六：等比数列
等比数列
等比数列的性质
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
根据等比数列的通项公式an＝a1qn－1，由条件可建立关于a1、q的二元方程组解出a1、q．
等比数列的性质
善于利用等比数列的性质会使得题目计算变得简单很多．
等差数列的前n项和
解此类问题的一般思路为列方程组解出相关量，但常运用等比数列的性质使问题由繁化简．
专题六：等比数列
答案姓名:
__________
打卡时间:
_________ _
1．本专题复习高中数学必修5中基本不等式的内容，基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．
2．理解并掌握基本不等式，了解基本不等式的不同叙述，学会用基本不等式求最值．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解并掌握基本不等式，学会用基本不等式求最值．
1．均值定理(又称基本不等式或均值不等式)
(1)形式：______________．
(2)成立的前提条件：________，________．
(3)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．
2．算术平均值和几何平均值
(1)定义
____________叫做正实数a、b的算术平均值，
____________叫做正实数a、b的几何平均值．
(2)结论
两个正实数的算术平均值_____________它们的几何平均值．
(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数，那么①若积xy是定值P，那么________时，和x＋y有________值．②若和
x＋y是定值S，那么当________时，积xy有________值．
3．常见的不等式：
(1)a2＋b2≥________(a、b∈R)．
(2)ab≤__________≤(a、b∈R)．
{例题}已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
{解析}解法一：∵0＜x＜，∴1－3x＞0．
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取最大值．
解法二：∵0＜x＜，∴－x＞0．
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴x＝时，函数取最大值．
{答案}
x＝时，函数取最大值．
4．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
{例题}已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca．
{解析}证明：∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca，
以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca，
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca．
5．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．求证：＋＋≥9．
{例题}已知正数x、y满足x＋2y＝1，求＋的最小值．
{解析}∵x、y为正数，且x＋2y＝1．
∴＋＝(x＋2y)(＋)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即当x＝－1，y＝1－时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2．
{答案}＋最小值为3＋2．
6．已知x>0，y>0，xlg2＋ylg8＝lg2，则＋的最小值为( )
A．2
B．2
C．4
D．－2
7．y＝(x>－1)的值域为________．
1．≥，a∈R+，b∈R+，a＝b．
2．，，大于或等于，
x＝y，最小，x＝y，最大．
3．2ab，
4．－2．∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
5．证法一：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9．
即＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
证法二：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9．
∴＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
6．C．∵xlg2＋ylg8＝lg2，
∴xlg2＋3ylg2＝lg2，
即x＋3y＝1，∵x>0，y>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即x＝3y时，等号成立．
由，得x＝，y＝．
7．[2－2，＋∞)．
y＝＝＝x＋1＋－2≥2－2 (x＋1>0)，
等号在x＋1＝，即x＝－1时成立，
∴函数的值域为[2－2，＋∞)．
专题九：基本不等式
基本不等式
常见不等式
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值时，应注意基本不等式的使用条件和取等成立条件，“一正”“二定”“三相等”．
不等式的证明
善用基本不等式会解决很多不等式的证明，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到．
基本不等式相关变形技巧
灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以1”、“除以1”或将不等式中的某个常数用等于1的式子代替．本例中可将分子中的1用x＋2y代替，也可以将式子eq
\f(1,x)＋eq
\f(1,y)乘以x＋2y．
专题九：基本不等式
答案姓名:
__________
打卡时间:
_________ _
1．本专题复习高中数学解三角形中的余弦定理，余弦定理是解三角形的重要工具，也是高中数学的常考点．
2．理解余弦定理公式，用余弦定理解决三角形中的一些问题．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
利用余弦定理解三角形
1．余弦定理
(1)语言叙述
三角形任何一边的平方等于_____________________减去________________________的积的________．
(2)公式表达
a2＝________________；
b2＝________________；
c2＝________________．
(3)公式变形
cosA＝__________________；
cosB＝__________________；
cosC＝__________________．
{例题}在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形．
{解析}
cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°
sin30°＝，
sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×(＋)＝8－4，
∴c＝－．
又由正弦定理，得＝，
∴＝，解得sinA＝．
又b2＋c2－a2>0，即cosA>0，
∴A为锐角，即A＝30°．
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋15°)＝135°．
{答案}
c＝－，A＝30°，B＝135°．
2．已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________．
{例题}在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC的值．
{解析}∵a＞c＞b，∴A为最大角，
由余弦定理，得
cosA＝＝＝－，
又∵0°＜A＜180°，
∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝．
由正弦定理，得＝，
∴sinC＝＝＝．
∴最大角A为120°，sinC＝．
{答案}最大角A为120°，sinC＝．
3．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的三个内角的大小．
{例题}在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．
{解析}由正弦定理，得＝．
由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝＝．
又根据余弦定理，得cosA＝，所以＝．即b2－a2＝0，所以a＝b．
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2．
所以b＝c．所以a＝b＝c．
因此△ABC为等边三角形．
{答案}△ABC为等边三角形．
4．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
{例题}设2a＋1、a、2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
{解析}2a＋1、a、2a－1是三角形的三边，
∴，
解得a＞，此时2a＋1最大，
∴要使2a＋1、a、2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)＞2a＋1，解得a＞2．
设最长边2a＋1所对的角为θ，则
cosθ＝＝＜0，
解得＜a＜8．∴a的取值范围是2＜a＜8．
{答案}2＜a＜8．
5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是( )
A．(0，)
B．(，π)
C．(0，]
D．(，π)
1．(1)其他两边的平方和，这两边与它们夹角的余弦，两倍．
(2)b2＋c2－2bccosA，a2＋c2－2accosB，a2＋b2－2abcosC
．
(3)，，．
2．．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－2×1×1×(－)＝3，∴c＝．
3．设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
由余弦定理，得cosA＝＝＝，
∴∠A＝45°，同理可得cosB＝，∠B＝60°．
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°．
4．B．由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
5．C．
根据题意，由正弦定理，得
a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc．
由余弦定理，得cosA＝≥．
∵0专题二：余弦定理
余弦定理
已知两边及其夹角，解三角形
由条件知本题是已知两边及其夹角解三角形问题，故可用余弦定理求出边c，然后结合正弦定理求角A．
已知三边，解三角形
(1)在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大．(2)已知三边解三角形可用余弦定理．(3)解三角形时有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理．
应用余弦定理判断三角形的形状
把恒等式中边化为角，或将角化为边两种方法是判断三角形形状的常用方法．
利用余弦定理求边与角的取值范围
(1)三角形中两边之和大于第三边；(2)0的余弦值为1，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0．
专题二：余弦定理
答案姓名:
__________
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_________ _
1．本专题复习高中数学必修5中数列的等差数列，等差数列是最简单的数列模型，同时也是日常生活中最常见的数列模型．
2．理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，性质，求和公式．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，性质，求和公式．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为________．
2．等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有：
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝____________
3．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的___________．即A＝____________．
4．等差数列的项与序号的性质
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am＋__________(m、n∈N
)．
(2)多项关系
项的运算性质：
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N
)，
则__________＝ap＋aq．
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N
)，
则am＋an＝__________．
5．等差数列的项的对称性
有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋________＝ak＋__________＝2
(其中n为奇数且n≥3)．
6．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为____________的等差数列．
7．等差数列的前n项和公式
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则前n项和Sn＝________________＝__________________．
8．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}的前k项和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为__________的等差数列．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，则{}也是________．
{例题}在等差数列{an}中：
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9．
{解析}(1)由题意知，
解得．
(2)由题意知
，
解得．
∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17．
{答案}(1)．(2)a9＝17．
9．若，，成等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
10．{an}是首项为a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝22，则n等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
{例题}在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
{解析}∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，
∴a3＋a7＝2a5＝6，
①
∴a3·a7＝－7，
②
由①、②解得a3＝－1，a7＝7，或a3＝7，a7＝－1，
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2．
由an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7，或an＝－2n＋13．
11．在等差数列{an}中，已知a7＋a8＝16，则a2＋a13＝( )
A．12
B．16
C．20
D．24
12．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．
{例题}已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d．
{解析}(1)∵Sn＝n·＋(－)＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
∴a12＝＋(12－1)×(－)＝－4．
(2)由Sn＝＝＝－1
022，
解得n＝4．
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171．
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )
A．1
B．
C．－2
D．3
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1
220，求S30．
1．第2项，同一个常数，公差，常数列
2．a1＋(n－1)d
3．等差中项，
4．(n－m)d
，am＋an，2ap
5．an－1，an－k＋1
6．d，cd，2d，pd1＋qd2
7．，na1＋n(n－1)d
8．k2d，等差数列
9．解：由已知得＋＝，
即＝．
即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)．
∴a2＋c2＝2b2，
∴a2，b2，c2成等差数列．
10．C．由题意，得an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，
又∵an＝22，
∴3n－2＝22，
∴n＝8．
11．B．在等差数列{an}中，a2＋a13＝a7＋a8＝16，故选B．
12．解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
根据题意，得
，
解得．
∴这三个数为1，3，5或5，3，1．
13．C．由题意，得6＝3a1＋×3×2×d，又a1＝4，解得d＝－2．
14．解法一：设{an}的公差为d，
由已知，得，
解得．∴S30＝30a1＋×30×29×6＝2
730．
解法二：∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1
220－310)＝310＋S30－1
220，
∴S30＝2
730．
解法三：设Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
由题意，得，解得．
∴Sn＝3n2＋n．∴S30＝3×900＋30＝2
730．
专题五：等差数列
等差数列
解三角形正弦定理
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d．
等差数列的性质
要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2＋a5＋a8＝9和a3a5a7＝－21直接求解很困难，这样促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a2＋a8＝2a5＝a3＋a7问题就好解了．
等差数列的前n项和
结合等差数列的通项公式和前n项和公式理解等差数列的基本量a1，n，d，an之间的关系，会列式求解其中的未知量．
专题五：等差数列
答案姓名:
__________
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_________ _
1．本专题复习高中数学解三角形中的正弦定理．正弦定理是解三角形的重要工具，也是高中数学的常考点．
2．理解正弦定理公式，用正弦定理求三角形中的边和角，判断三角形的形状．
3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．
利用正弦定理解三角形
1．正弦定理
在一个三角形中，各________的长和它所对角的________的________相等，即________＝________＝________．
2．正弦定理的变形公式
(1)a＝＝________________，
b＝＝______________，
c＝＝________________．
(2)sinA＝＝____________，
sinB＝＝____________，
sinC＝＝____________．
(3)a∶b∶c＝__________________．
(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(R为△ABC外接圆的半径)
(5)角化边公式：sinA＝，sinB＝，sinC＝．
(6)＝＝＝________________＝2R．其中，R为△ABC外接圆的半径．
3．解三角形
一般地，我们把三角形的三个________和它的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的__________求__________的过程叫做解三角形．
{例题}在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形．
{解析}根据三角形内角和定理知：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°．
根据正弦定理，得
b＝＝＝＝，
c＝＝＝＝＝＋1．
{答案}C＝105°，b＝，c＝＋1．
4．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．
{例题}在△ABC中，解三角形：
(1)b＝4，c＝8，B＝30°；
(2)a＝，b＝2，A＝30°；
(3)a＝5，b＝2，B＝120°．
{解析}(1)由正弦定理，得
sinC＝＝＝1．
∵30°从而A＝180°－(B＋C)＝60°．
a＝＝4．
(2)由＝，得sinB＝＝＝，
∵b＞a，∴B＞A＝30°，
∴B为锐角或钝角(或∵bsinA＜a＜b，∴B为锐角或钝角)，
∴B＝45°或B＝135°．
当B＝45°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
又＝，
∴c＝＝＝＝＝＋1．
当B＝135°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，
∴c＝＝＝＝－1．
∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1或B＝135°，C＝15°，c＝－1．
(3)解法一：由＝得，
sinA＝＝＝＝＞1，
∴A不存在，∴此题无解．
解法二：∵a＝5，b＝2，B＝120°，
∵b＜a，∴A＞B＝120°，
∴A＋B＞240°与A＋B＋C＝180°矛盾．
∴这是不可能的，因此本题无解．
解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°，
∴asinB＝5sin120°＝，
又∵b＜asinB，∴此题无解．
{答案}(1)C＝90°，A＝60°，a＝4．
(2)B＝45°，C＝105°，c＝＋1或B＝135°，C＝15°，c＝－1．
(3)此题无解．
5．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30°
B．30°或150°
C．60°
D．60°或120°
{例题}在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若acosA＝bcosB，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
{解析}由正弦定理，得＝．
又acosA＝bcosB，即＝，∴＝，
即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．
∴2A＝2B或2A＝π－2B．∴A＝B或A＋B＝．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D．
{答案}D．
6．在△ABC中，bcosA＝acosB，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
1．边，正弦值，比，，，．
2．(1)，，．(2)，，．(3)sinA∶sinB∶sinC
．
(6)．
3．角，几个元素，其他元素．
4．2．∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－75°－45°＝60°．
由正弦定理，得＝，
即＝，
∴AC＝＝2．
5．D．由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝＝，
又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或120°．
6．B．由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π专题一：正弦定理
正弦定理
解三角形正弦定理
已知两角和任一边，解三角形
已知三角形的两角和任意一边，这个三角形是确定的．由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．
已知两边和其中一边的对角，解三角形
已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形会出现一解、两解、无解的情况．
三角形形状的判断
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC是化边为角的主要工具．
专题一：正弦定理
答案