【总结】特殊平行四边形—轴对称求最短路径

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【总结】特殊平行四边形—轴对称求最短路径
◆知识点回顾◆
例题引入，知识点讲解
★1.例题引入
（2016年 金乡县期中）如图，直线l是 ( http: / / www.21cnjy.com )一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（　　）21cnjy.comwww-2-1-cnjy-com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．
故选B．
【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．【来源：21·世纪·教育·网】
★2.知识点讲解
问题模型：在直线l的同侧，有两点P，Q，在直线l上找一点M使得PM+PQ的值最小.
问题分析：在直线l上的任意一点与P，Q分别连接得到的线段长之和不同，如下图. ( http: / / www.21cnjy.com )
问题解决：作点P关于直线l的对称点P′，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接QP′交直线l于M．在直线l上，任意取一点M’，连接PM’和QM’，求证： PM+QM≤PM’+QM’.【版权所有：21教育】
证明：因为P与P’关于直线l对称，则PM=P’M，PM’=P’M’，
当M’与M重合时，PM+QM=PM’+QM’；
当M’与M不重合时，
根据两点之间，线段最短，可知P’Q< PM’+QM’，
因为P’Q=P’M+MQ=PM+MQ，
所以PM+QM综上，由于点M’的任意性，可知当M为P’Q与直线l的交点时，PM+QM的长最短.
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在学习“特殊平行四边形”时 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们经常会遇到与最短路径的问题，同学们往往在处理这类问题时感到困难.这类问题通常会运用“轴对称”转化成“两点之间，线段最短”来解决.
下面再通过几个最短路径问题的分析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略，真正能做到融会贯通，一通百通.21教育网
◆经典题型讲解&变式训练◆
从易到难，丰富题型，变式训练，掌握方法。
★题型1
【题型说明：最基本的“两定点，一定直线（找第三点）”模型】
【解决方法：任选一定点，作关于定直线的对称点，将它与另一定点相连接的线段为最短路线】
（2017 岱岳区模拟）如图，正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（　　）
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A．8 B．8 C．2 D．10
【分析】要使DN+MN最小，首先应 ( http: / / www.21cnjy.com )分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．21·世纪*教育网21*cnjy*com
【解答】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
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在Rt△BCM中，BC=8，CM=6
根据勾股定理得：BM==10，
即DN+MN的最小值是10；
故选D．
【点评】此题考查轴对称问题，此题的 ( http: / / www.21cnjy.com )难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．21世纪教育网21-cn-jy.com
★变式训练1
（2016年 云梦县期末）如图，在菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=6，∠ABC=60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连结PA和PM，则PA+PM的值最小是（　　）
（请写出必要过程）
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A．3 B．2 C．3 D．6
★变式训练2
（2016 河南模拟）小明 ( http: / / www.21cnjy.com )是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（　　）（请写出必要过程）
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A．1 B．2 C．3 D．4
★变式训练3
（2016 扬中市一模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）（请写出必要过程）21教育网21*cnjy*com
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A． B．3 C．4 D．
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题型1——变式训练答案~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式训练1答案
解：连接AC，交BD于点O，连接CM， ( http: / / www.21cnjy.com )则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，21*cnjy*com21·世纪*教育网
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，
∴△ACD是等边三角形，PA=PC，
∵M为AD中点，
∴DM=AD=3，CM⊥AD，
∴CM==3，
∴PA+PM=PC+PM=CM=3．
故选C．
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变式训练2答案
解：如图作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′与直线CD交于点F．此时△AEF的周长最小．
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∵BE=EC=CE′=4，AB=CD=6，CF∥AB，
∴CF：AB=CE′：BE′=1：3，
∴CF=2，
∴DF=CD﹣CF=4．
故选D．
变式训练3答案
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4．
故选C．
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★题型2
【题型说明： “一定点，一动点，一定直线（找第三点）”模型】
【解决方法：确定“动点”的运动路径，再作定点关于定直线的对称点，将它与动点所在的运动路径所有连线中最短的线段，就是所求的最短路径】
例1（2016年 无锡期末）如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2，点P是线段AC上一点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（　　）
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A．3 B．6 C．2 D．3
【分析】先作点E关于AC的对称点点G， ( http: / / www.21cnjy.com )再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．21教育名师原创作品21世纪教育网版权所有
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∴Rt△BHC中，BH=CH==3，
∴HG=3﹣2=，
∴Rt△BHG中，BG===2，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是2．
故选（C）
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【点评】本题以最短距离问题为背景， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【版权所有：21教育】www.21-cn-jy.com
例2（2016 启东市一模）如图，正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为　　 ．2·1·c·n·j·y
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【分析】首先作出点D关于BC的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )D′从而可知当点P、M、D′在一条直线上时，路径最短，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG=1，GD′=3，最后由勾股定理即可求得PD′的长，从而可求得MD+MP的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，
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由轴对称的性质可知：MD=D′M，CD=CD′=2
∴PM+DM=PM+MD′=PD′
过点P作PE垂直DC，垂足为G，
易证AF⊥BE，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，
∴此时，PD′最短．
∵四边形ABCD为正方形，
∴PG=，GC=．
∴GD′=3．
在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键．
★变式训练1
（2015 惠山区一模）如图，矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为　 　．（请写出必要过程）
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★变式训练2
（2015 泰安模拟）如图，正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 　．
（请写出必要过程）
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题型2——变式训练答案~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式训练1答案
解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D， ( http: / / www.21cnjy.com )交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；2-1-c-n-j-y
∵AB=2，AD=3，
∴AA′=4，
∴A′D=5，
∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；
∴PA+PG的最小值为4；
故答案为4．
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变式训练2答案
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：2．
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★题型3
【题型说明： “四点”模型：求四点构成的四边形的周长最小问题】
【解决方法：具体参考例题的解法】
（2016 济宁二模）在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（　　）21世纪21世纪教育网有21·cn·jy·com
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A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）
【分析】将点B向右平移2个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位得到B′（4，4），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接B′C′与x轴的交点为E，此时四边形BDEF周长最小，求出直线B′D′的解析式即可解决问题．21·cn·jy·com2-1-c-n-j-y
【解答】解：如图，将点B向右平移2个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位得到B′（4，4），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接B′C′与x轴的交点为E，此时四边形BDEF周长最小，2·1·c·n·j·y【来源：21cnj*y.co*m】
理由∵四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF，BD与EF是定值，
∴BF+DE最小时，四边形BDEF周长最小，
∵BF+ED=B′E+ED′=B′D′
设直线B′D′为y=kx+b，把（4，4），（0，﹣2）代入得解得，
∴直线B′D′为y=x﹣2，
令y=0，得x=，
∴点E坐标（，0）．
故选B．
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【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )与图形性质、一次函数等知识，解题的关键是正确找到点E、F的位置，利用一次函数解决交点坐标问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．【来源：21cnj*y.co*m】21教育名师原创作品
★变式训练1
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，请在图中作出此时MN的位置.
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★变式训练2
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=16，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，
1 若连结AP、PE，则PE+AP最小值为 　；
2 连结PA、QE，若PQ=6，求四边形APQE的周长最小.
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题型3——变式训练答案~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式训练1答案
解：过E作AC的平行线，且EF=，连接DF交AC于M，因为MN=，所以N确定下来，连接BM，此时BMNE的周长最小.21*cnjy*com
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变式训练2答案
解：①如图1，延长AB到M，使BM=AB=8，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，AP+PE=EM，
作EN⊥AB，
∴EN=AD=16，BN=AB=4，BM=AB=8，
∴MN=12，
∴EM===20．
3 如图2，点E向在平移6个单位到F，
点A关于BC的对称点A’，
连接AF，交BC于P，此时AP+QE=A’P+PF=A’F最小，
∴此时，四边形APQE的周长最小，延长E ( http: / / www.21cnjy.com )F交AB于G，则EG与AB垂直，且EG=AB=16，则GF=10，A’G=A’B+BG=4+8=12，【出处：21教育名师】
则AF=.
又因为DE=
则周长最小为.
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★题型4
【题型说明： 特殊平行四边形其他求最短路径或周长】
【解决方法：运用垂线最短】
（2016春 杭州期末）如图，菱形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=4，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°，则△BEF周长的最小值是（　　）【出处：21教育名师】
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A．6 B．4 C．4+ D．4+2
【分析】只要证明△DBE≌△DCF得 ( http: / / www.21cnjy.com )出△DEF是等边三角形，因为△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，所以等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只要求出△DEF的边长最小值即可．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：在△BDE和△CDF中，
，
∴△DBE≌△DCF，
∴DE=DF，∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，
∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，
当DE⊥AB时，DE最小=2，
∴△BEF的周长最小值为4+2，
故选D．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．
★变式训练
（2016 深圳模拟）如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是　4　．
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题型4——变式训练答案~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式训练答案
解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，
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过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，
当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），21cnjy.com
∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，
∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，
∴∠A′CA=60°，
又∵AC=A′C，
∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8，
AE= 8×=4．
故答案为：4．
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