1.6 利用三角函数测高
基础题
知识点1 测量底部可以到达的物体的高度
1．(长沙中考)如图，为测量一
( http: / / www.21cnjy.com )棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(
)
A.米
B．30sinα米
C．30tanα米
D．30cosα米
2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一
( http: / / www.21cnjy.com )棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10
m，楼高AB＝24
m，则树CD高约为(
)
A．5
m
B．6
m
C．7
m
D．8
m
3．(百色中考)如图，从一栋二层
( http: / / www.21cnjy.com )楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(
)
A．6＋6
B．6＋3
C．6＋2
D．12
4．(自贡中考)如图，某学校新建了一座
( http: / / www.21cnjy.com )吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0.1米，参考数据：≈1.7)
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
5．如图，在高度是21
m的小山A处测得
( http: / / www.21cnjy.com )建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________
m.
6．如图所示，河对岸有古塔A
( http: / / www.21cnjy.com )B，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔走s米到达D，在D处测得塔顶A的仰角为β，则塔高是____________米．
7．(盐城中考)盐城电视
( http: / / www.21cnjy.com )塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5
m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224
m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.(取1.73，结果精确到0.1
m)
中档题
8．(吉林中考)某校九年级四个数学活动小
( http: / / www.21cnjy.com )组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为BC，四个小组测量和计算数据如下表所示：
组别数据
CD的长(m)
BC的长(m)
仰角α
AB的长(m)
第一组
1.59
13.2
32°
9.8
第二组
1.58
13.4
31°
9.6
第三组
1.57
14.1
30°
9.7
第四组
1.56
15.2
28°
(1)利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB的高度(精确到0.1
m)；
(2)四组学生测量旗杆高度的平均值为____________m(精确到0.1
m)．
(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)
9．(淮安中考)为了对一棵倾斜的古杉树
( http: / / www.21cnjy.com )AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24
m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
综合题
10．(绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；
如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度；
如图3，第三小组利用第一、第二小组的结
( http: / / www.21cnjy.com )果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414)
参考答案
1．C 2.C 3.A
4．过点B作BE⊥CD于E.
在Rt△DEB中，DE＝BEtan45°＝2.7米，
在Rt△CEB中，CE＝BEtan30°＝米，则CD＝DE－CE＝2.7－≈1.2(米)．
故塑像CD的高度大约为1.2米．
5．21＋7 6.
7．设AG＝x.在Rt△AFG中
( http: / / www.21cnjy.com )，∵tan∠AFG＝，
∴FG＝.在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x.
∴x－＝224.解得x≈194.2.
∴AB＝194.2＋1.5＝195.7(米)．
答：电视塔的高度AB约为195.7米．
8．(1)在Rt△ADE中
( http: / / www.21cnjy.com )，tanα＝，
∴AE＝DE·tanα.
∴AB＝AE＋EB＝AE＋CD＝DE·tanα＋CD＝BC·tanα＋CD＝15.2tan28°＋1.56≈9.6(m)．
(2)9.7
9．过B点作BD⊥AC于D.∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，
∴在Rt△ADB中，AD＝.在Rt△CDB中，CD＝BD，
∵AC＝AD＋CD＝24，
∴＋BD＝24.
∴BD≈16.7.
∴AB＝≈18.
答：这棵古杉树AB的长度大约为18
m.
10．(1)∵BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB.
∴∠α＝2∠CDB＝2×38°＝76°.
(2)设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，
∵MN∥EH，MN＝1.9，
∴EH＝2MN＝3.8米．
答：E点离地面FB的高度是3.8米．
(3)延长AE交PB于点C，设AE
( http: / / www.21cnjy.com )＝x，则AC＝x＋3.8.∵∠APB＝45°，
∴PC＝AC＝x＋3.8.∵PQ＝4，
∴CQ＝x＋3.8－4＝x－0.2.∵tan∠AQC＝＝tan60°＝，
∴＝.解得x＝≈5.7.
答：旗杆AE的高度约为5.7米．第1课时
方位角问题
1.能运用解直角三角形解决航行问题.
自学指导
阅读课本P19有关方位角问题，完成下列问题.
自学反馈
1.如图1，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向.
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2．如图，港口A在观测站O的正东方
( http: / / www.21cnjy.com )向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ C ）
A．4km
B．2km
C．2km
D．（+1）km
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3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏
( http: / / www.21cnjy.com )东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ A ）
A．40海里
B．40海里
C．80海里
D．40海里
活动1
小组讨论
例1
如图，海中一小岛A，该岛四周10海里
( http: / / www.21cnjy.com )内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=,
∴BD=AD·tan55°.
在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=,
∴CD=AD·tan25°.
∵BD=BC+CD,
∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.
∴AD=≈20.79>10.
∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.
应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.
活动2
跟踪训练
1.如图所示，A、B两城市相距100
km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50
km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:≈1.732,≈1.414)
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解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
活动3
课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.第3课时
坡度问题
1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
2.理解坡度i==tan坡角.
自学指导
阅读课本P4做一做，完成下列问题.
自学反馈
1.如图所示，斜坡和水平面的夹角为．下列命题中，不正确的是（B
）
A．斜坡的坡角为
B．斜坡的坡度为
C．斜坡的坡度为
D．斜坡的坡度为
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2.如图,一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直
( http: / / www.21cnjy.com )滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s
=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为（
C
）
A.72
m
B.36
m
C.36
m
D.18
m
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3.某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000
m，则这个人所在的位置升高了（
B
）
A.1000
m
B.500
m
C.500
m
D.
m
活动1
小组讨论
例
某商场准备改善原来楼梯的安全性能
( http: / / www.21cnjy.com )，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.0l
m)
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解：略
活动2
跟踪训练
1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是
210
cm．
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2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽
( http: / / www.21cnjy.com )6
m，坝高23
m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1
m)
( http: / / www.21cnjy.com )
解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=,
∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡的坡度i=≈0.333
3,
∴=0.333
3,即tanα=0.333
3.
∴α≈18°26′.
∵=sinα,
∴AB=≈≈72.7(m).
答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5
m,斜坡AB的长约为72.7
m.
这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
活动3
课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.1．2
30°，45°，60°角的三角函数值
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
自学指导
阅读课本P2~4，完成下列问题.
知识探究
1.完成下面的表格：
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
自学反馈
1.求下列各式的值：
（1）cos230°+sin230°；
（2）-tan60°.
解:（1）cos230°+sin230°=()2+()2=1.
（2）-tan60°=÷-3=1-3.
sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.
活动1
小组讨论
例1
计算：
（1）sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
解：（1）原式=
（2）原式==1.
例2
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5
m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01
m)
( http: / / www.21cnjy.com )
解：根据题意可知，∠AOD=∠AOB=30°,AO=2.5.
∴OD=OAcos30°=2.5×=2.165(m).
∴CD=2.5-2.165=0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
活动2
跟踪训练
1.计算：
（1）； （2）；
解：（1）
解：（2）2
；
（4）
解：（3）1；
解：（4）
2.如图，某同学用一个有的直角三角板估测学校旗杆AB的高度，他将角的直角边水平放在高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D，B的距离为，则旗杆AB的高度大约是多少米？（精确到1m，取1.73）
解：由已知可得四边形是矩形，
∴m，m．
在Rt△中，∵,
∴，
∴m，
即旗杆的高度大约是10m．
活动3
课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.
Ｅ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ第1课时
正切
1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系；
3.从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律.
自学指导
阅读课本P2~4，完成下列问题.
知识探究
1.在Rt△ABC,tan
A=
.
2.tan
A的值越大，梯子越陡.
3.坡面的
竖直高度
与
水平距离
的比称为坡度（或坡比）.
自学反馈
1.在Rt△ABC中，，AC＝12，BC＝5，那么tan
A等于（
C
）
A.
B.
C.
D.
2.如图，下面四个梯子最陡的是（ B ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A
B
C
D
3.如图，有一个山坡在水平方向上前进100m，在竖直方向上就升高60m,那么山坡的坡度i=tan
a=
.
( http: / / www.21cnjy.com )
活动1
小组讨论
例1.如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
解：甲梯中，tanα==.
乙梯中，tanβ=.
因为tanβ>tanα，所以乙梯更陡
求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.
活动2
跟踪训练
1.在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b
、c,且a=24,c=25,求tanA、tanB的值.
解：∵a=24,c=25,∴b=,
∴tanA=,tanB=.
2.如图，某人从山脚下的点A走了300m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为70m,求山的坡度.（结果精确到0.01）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：∵∠C＝90 ，AB＝300，BC＝70，
∴AC=.
在Rt△ABC中，∵,
∴山的坡度约为0.24.
活动3
课堂小结
1.正切的定义.
2.梯子的倾斜程度与tanA的关系（∠A和tanA之间的关系）.
3.数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.第3课时 坡度问题
基础题
知识点 坡度问题
1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是3∶4，迎水坡面AB的长度是50
m，则堤坝高BC为(
)
A．30
m
B．40
m
C．50
m
D．60
m
2．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为(
)
A.
B.
C.
D．Hsinα
3．如图，某人顺着山坡沿一条直
( http: / / www.21cnjy.com )线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是____________．
4．(岳阳中考)如图，一山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了____________米．
5．(三明中考)如图，在山坡上植树
( http: / / www.21cnjy.com )，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
6．(丽水中考)学校校园内有一小山坡A
( http: / / www.21cnjy.com )B，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
中档题
7．(西宁中考)如图1，某超市从一楼到二楼有
( http: / / www.21cnjy.com )一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(结果精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)(
)
A．10.8米
B．8.9米
C．8.0米
D．5.8米
8．市政府决定今年将12
000
( http: / / www.21cnjy.com )m长的大堤的迎水坡面铺石加固．如图，堤高DF＝4
m，堤面加宽2
m，坡比由原来的1∶2改成1∶2.5，则完成这一工程需要的石方数为____________m3.
9．(济宁中考)某地的一座人行
( http: / / www.21cnjy.com )天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
10．如图，建筑物AB后有一
( http: / / www.21cnjy.com )座假山，其坡比i＝1∶，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端A处测得E的俯角为45°，求建筑物AB的高．
综合题
11．(广安中考)为邓小平诞辰110周年献礼
( http: / / www.21cnjy.com )，广安市政府对城市建设进行了整改．如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．
(1)若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即A
( http: / / www.21cnjy.com )G＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
参考答案
1．A 2.A 3.5∶12 4.100
5．由题意得：Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，
∴AC＝AB·cosA≈6×0.94＝5.64(米)．
∵5.64米在5.3～5.7米范围内，
∴种植的这两棵树符合要求．
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，则AC＝AB＝6米，BC＝ABcos∠ABC＝12×＝6(米)．
∵斜坡BD的坡比是1∶3，
∴CD＝BC＝2米．
∴AD＝AC－CD＝(6－2)米．
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－2)米．
7．D 8.144
000
9．(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝＝.
∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡
( http: / / www.21cnjy.com )面的坡度为1∶，
∴BD＝CD＝6，AD＝6.
∴AB＝AD－BD＝6－6＜8.
∴文化墙PM不需要拆除．
10．过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.
∵假山的坡度为
i＝1∶，
∴设EF＝x，则FC＝x.∵CE＝20米，
∴x2＋(x)2＝400，解得x＝10，则FC＝10
m．
∵BC＝25
m，
∴BF＝NE＝(25＋1
( http: / / www.21cnjy.com )0)m，
∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝10＋25＋10＝(35＋10)m.
∴建筑物AB的高为(35＋10)m.
11．(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，DE∥AC，
∴AC＝BC，DF＝BF.
∵AB＝60米，
∴AC＝BC＝60米．
∵D是AB的中点，
∴BD＝30.
∴BF＝DF＝30米．
∵BE的坡比为∶1，
∴EF＝＝＝10(米)．
∴DE＝DF－EF＝30－10(米)．
答：休闲平台DE的长为(30－10)米．
(2)过D作DP⊥AC于P，则四边形GPDM为矩形．
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝30米．
∴AP＝DP＝GM＝30米．
∴MD＝GP＝33＋30＝63(米)．
∵tan∠HDM＝，即＝，
∴HM＝＝21(米)．
∴GH＝GM＋HM＝30＋21(米)．
答：建筑物GH高为(30＋21)米．1.3 三角函数的计算
基础题
知识点1 已知锐角求三角函数值
1．用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2．计算sin20°－cos20°的值是(精确到0.000
1)(
)
A．－0.597
6
B．0.597
6
C．－0.597
7
D．0.597
7
3．用计算器求sin28°、cos27°、tan26°的值，它们的大小关系是(
)
A．tan26°B．tan26°C．sin28°D．cos27°4．(永州中考)下列式子错误的是(
)
A．cos40°＝sin50°
B．tan15° tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1
D．sin60°＝2sin30°
5．(陕西中考)用科学计算器计算：＋3tan56°≈____________(结果精确到0.01)．
6．用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：
(1)cos63°17′； (2)tan27.35°；
(3)sin39°57′6″；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
知识点2 已知三角函数求锐角
7．已知4cosα＝0.975
4，那么锐角α的度数约为(
)
A．15°27′
B．75°53′10″
C．12°44′6″
D．42°17′31″
8．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于(
)
A．14°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
9．用科学计算器求锐角A的度数(结果精确到分)．
(1)sinA＝0.627
5； (2)tanA＝1.237；
(3)cosA＝0.291
0.
知识点3 三角函数的实际应用
10．小明家在某小区买了一套住房，该小
( http: / / www.21cnjy.com )区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角度数(结果精确到1°)．
中档题
11．要使式子有意义，则α可以取以下列数值中的(
)
A．17°
B．19°
C．21°
D．24°
12．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10
m，树高为h
m，则h的范围最接近的是(≈1.7)(
)
A．3B．5C．10D．h>15
13．(南昌中考)如图1是小志同学书桌上
( http: / / www.21cnjy.com )的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15
cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为____________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1
cm)．
14．如图，将45°的∠AOB按下面的
( http: / / www.21cnjy.com )方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为____________厘米．(结果精确到0.1厘米，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
15．如图，甲、乙两建筑物相距120
m，甲建筑物高50
m，乙建筑物高75
m，求俯角α和仰角β的大小．
16．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有
( http: / / www.21cnjy.com )电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，他乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
综合题
17．施工队准备在一段斜坡上铺
( http: / / www.21cnjy.com )上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．
(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°)；
(2)若这段斜坡用厚度为17
cm
( http: / / www.21cnjy.com )的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95)
参考答案
1．A 2.C 3.C 4.D 5.10.02
6．(1)cos63°17′≈0.45.
(2)tan27.35°≈0.52.
(3)sin39°57′6″≈0.64.
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.78.
7．B 8.D
9．(1)38°52′.(2)51°3′.(3)73°5′.
10．∵tanα＝＝0.625，
∴α≈32°.
11．D 12.B 13.14.1 14.2.7
15．∵AB＝50，CD＝75，
∴CE＝CD－DE＝75－50＝25.
∴tanβ＝＝≈0.208
33.
∴β≈11.8°
.∵ED＝50，AE＝BD＝120，
∴tanα＝＝≈0.416
67.
∴α≈22.6°.
答：俯角α约为22.6°，仰角β约为11.8°.
16．小敏乘此电梯不会有碰头
( http: / / www.21cnjy.com )危险，姚明乘此电梯会有碰头危险．理由：由题意可知AC∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝27°.过点C作CE⊥AC交AB于点E，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴CE＝AC·tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26.
∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78，
∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．
17．(1)cosD＝cos∠ABC＝＝≈0.94，
∴∠D≈20°.
(2)EF＝DE·sinD＝85×sin20°≈85×0.34＝28.9(米)，
∴共需台阶28.9×100÷17＝170(级)．第2课时 锐角三角函数
基础题
知识点1 正弦和余弦(sinA＝，cosA＝)
1．(兰州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosA的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
2．(贵阳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3．(兰州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
4．如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1
( http: / / www.21cnjy.com )的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则sinA＝____________，cosA＝____________.
5．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于点D.
(1)求AD的值；
(2)求sinB、cosC的值．
知识点2 锐角三角函数
6．(崇左中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(
)
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．tanB＝
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanB＝，sinB＝____________.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．求：
(1)sinA，cosB；
(2)tanA，tanB；
(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA与cosB，tanA与tanB之间有什么关系吗？
(4)应用：
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为____________；
②在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则tanB＝____________.
中档题
9．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝(
)
A.
B.
C.
D.
10．(丽江中考)如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(
)
A.
B.
C.
D.
11．(连云港中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值是(
)
A.
B.
C.
D.
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4
cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD∶DA＝3∶5，则sinA的值是(
)
A.
B.
C.
D.
13．若θ为锐角，且sinθ＝，则cos(90°－θ)＝____________.
14．(杭州中考)在Rt△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是____________．(只需填上正确结论的序号)
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinA＋cosB的值．
16．已知，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
综合题
17．(乐山中考)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案
1．D 2.D 3.D 4.
5．(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8×＝4.
∴AD＝＝＝2.
(2)sinB＝＝＝，cosC＝＝＝.
6．A 7.
8．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，cosB＝＝.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝，tanB＝＝.
(3)由(1)知sinA＝cosB，由(2)知tanA·tanB＝1.
(4)
9．C 10.C 11.D 12.B 13. 14.②③④
15．在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝
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∴AD＝4.
∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝＝10.
∴cosB＝＝.
∴在Rt△ADC中，AC＝＝2.
∴sinA＝＝＝.
∴sinA＋cosB＝＋.
16．(1)∵AD是边BC上的高，
∴△ADB为直角三角形．
∵AD＝12，sinB＝，
∴AB＝＝＝15.
∵BD2＝AB2－AD2，
∴BD＝9.
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.
(2)∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴tan∠EDC＝tanC＝＝.
17．D第2课时
仰角、俯角问题
1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.
2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.
自学指导
阅读课本P4想一想，完成下列问题.
知识探究
1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下
方的角叫做俯角．
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2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.
自学反馈
1.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝，则飞机A与指挥台B的距离为（
D
）
A.1200m
B.
1200m
C.1200m
D.2400m
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2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100
米，点A、D、B在同一直线上，
则AB两点的距离是（
D
）
A．200米
B.米
C.米
D.
米
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活动1
小组讨论
例
如图，小明想测量塔CD的高度
( http: / / www.21cnjy.com ).他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1
m)
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解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD sin60°=50×=25（m），
答：该塔高为25m．
活动2
跟踪训练
1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB水平距离60米（BD＝60米）处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据:，)
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解：没有危险，理由如下：
在△AEC中，∵∠AEC=90°，∴.
∵∠ACE=30°，CE=BD=60，
∴AE=（米）
.
又∵AB=AE+BE，BE=CD=15，
∴AB（米）.
∵，即BDAB,
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险.
2.如图，两建筑物的水平距离为32.6
( http: / / www.21cnjy.com )m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1
m)
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解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6
m.
在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=,
∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).
在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=,
∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).
∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).
答:两个建筑物的高分别约为30.8
m,7.8
m.
活动3
课堂小结
1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.
2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.第2课时
锐角三角形函数
1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三种比值也一定,从而产生三种函数的道理.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
3.理解锐角三角函数的意义，领会数学来源于生活，但具有周密性和严谨性.
自学指导
阅读课本P5~6，完成下列问题.
知识探究
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sin
A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA=.
2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的
三角函数
.
锐角三角函数是在直角三角形的前提下.
自学反馈
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sin
A的值是(
A
)
A.
B.
C．
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cos
B=，则BC的长为(
A
)
A.4
B.2
C.
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=,cosB=，tanB=.
活动1
小组讨论
例1
如图，在Rt△ABC中，∠B
=
90°，AC
=
200，，求BC的长.
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解：在Rt△ABC中，
∵sinA=,
即，
∴BC=200×0.6=120.
例2
如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
10，，求AB的长及sinB.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在Rt△ABC中，
∵cosA=,
即，
∴AB=.
∴sinB==cosA=
这里需要注意cosA=sinB.
活动2
跟踪训练
1.如图，某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），已知AC＝8，DB＝4m,CD⊥AB于点D，求sin
B的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝AC＝8m.
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90 ,∴CD=,
∴sinB=.
2.在△ABC中，，∠A为锐角，sinA=,求锐角A的其他三角函数值.
解：∵sinA=,设BC=2k,AB=3k,则AC=，∴cosA=,tanA=.
3.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，，求的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在Rt△ACD中，∵CD=6，tanA=,∴AD=4,∴BD=AB-AD=8.
在Rt△BCD中，=10,∴sinB=,
,∴sinB+cosB=.
活动3
课堂小结
本节课你学习了哪些知识？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.1.6
利用三角函数测高
1.利用直角三角形的边角关系测物体的高度；
2.在活动中培养学生实际操作能力，培养用数学的意识；
3.在活动中培养学生应用数学解决实际问题的能力，增强团队意识和合作能力.
自学指导
阅读课本P2~4，完成下列问题.
自学反馈
1.测量倾斜角可用
测倾器
.简单的测倾器由度盘、铅锤
和
支杆
组成.
活动1
小组讨论
例1
测量底部可以到达的物体的高度
下面是活动报告的一部分,
请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.
课题
测量旗杆高
测量示意图
( http: / / www.21cnjy.com )
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
BD的长
24.19m
23.97m
24.08m
测倾器的高
CD=1.23m
CD=1.19m
1.21m
倾斜角
a=31°15′
a=30°45′
a=31°
计算
旗杆高AB(精确到0.1m)AB=AE+BE=CEtan31°+CD=24.08×tan31°+1.21=15.7(m)
例2
测量底部不可以到达的物体的高度.
如图,小山上有一座铁塔AB,在D处
( http: / / www.21cnjy.com )测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米,
求小山高BC
和铁塔高AB(精确到0.1米).
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在△ADE中，∠E=30°，∠ADC=60°，
∴∠E=∠DAE=30°，
∴AD=DE=90米.
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，则CD=AD=45米，AC=AD sin∠ADC=AD sin60°=45米.
在Rt△BCD中，∠BDC=45°，则△BCD是等腰直角三角形．
BC=CD=45米，
∴AB=AC-BC=45-45≈32.9米；
答：小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米．
活动2
跟踪训练
1.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB,
在河边一座高度为300米的山顶观测点D
处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°,
求河的宽度(精确到0.1米)
( http: / / www.21cnjy.com )
解：略
2.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,
学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,
设计如图(1)的测量方案:把镜子放在
离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE
后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7
米,观察者目高CD=1.6米,请你计算
树AB的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2.
5米的标杆一根;④高度为1.5
米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案,
回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.
(4)写出求树高的算式:AB=___________.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
解：略
活动3
课堂小结
本节课很好地完成了测量物体高度的任务，对于底部可以到达或不可以到达的物体，我们在测量及计算上有什么不同？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.第一章 直角三角形的边角关系
1．1 锐角三角函数
第1课时 正切
基础题
知识点1 正切(tanA＝)
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为(
)
A．2
B.
C.
D.
2．(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA(
)
A.
B.
C.
D.
3．(湖州中考)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是(
)
A．2
B．8
C．2
D．4
4．(义乌中考)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(
)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12
cm，AB＝20
cm，求tanA和tanB的值．
知识点2 坡度(坡度i＝)
6．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道的坡度是(
)
A.
B．4
C.
D.
7．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB
( http: / / www.21cnjy.com )的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3
m，则坡面AB的长度是(
)
A．9
m
B．6
m
C．6
m
D．3
m
8．如图，表示甲，乙两山坡的情况，则____________坡更陡(填“甲”或“乙”)．
中档题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA的值(
)
A．扩大为原来的三倍
B．不变
C．缩小为原来的
D．不确定
10．如图，一座公路桥离地面高度AC为6米
( http: / / www.21cnjy.com )，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1∶6，则BD的长是(
)
A．36米
B．24米
C．12米
D．6米
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DBC的值是(
)
A.
B.
C.
D.
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tanA＝____________.
13．已知∠B是Rt△ABC的一个锐角，且AB＝5，AC＝3，则tanB的值为____________．
14．(苏州中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan∠BPC.
15．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯．如果主楼梯的坡度为1∶，且楼梯的竖直高度为3
m.
(1)至少需要多长的地毯？(结果精确到0.1
m)
(2)若所铺设的地毯每平方米售价为30元，主楼梯的宽度为2
m，你作为经理要给采购员至少多少元钱去购买地毯？
综合题
16．(日照中考)如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案
1．B 2.D 3.A 4.C
5．∵∠C＝90°，BC＝12
cm，AB＝20
cm，
∴AC＝＝16
cm.
∴tanA＝＝＝，tanB＝＝＝.
6．A 7.B 8.乙 9.B 10.C 11.D 12.
13.或
14．过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC.
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC
( http: / / www.21cnjy.com )＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝＝.
15．(1)∵楼梯的坡度为1∶，即＝，又BC＝3
m，
∴AB＝3
m．
∴所铺地毯的长为AB＋BC＝3＋3≈8.2(m)．
(2)30×8.2×2＝492(元)．
16．D1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
基础题
知识点1 特殊角的三角函数值
1．(无锡中考)tan45°的值为(
)
A.
B．1
C.
D.
2．(防城港中考)计算：cos245°＋sin245°＝(
)
A.
B．1
C.
D.
3．计算：|sin30°－1|＝____________.
4．把sin60°、cos
( http: / / www.21cnjy.com )60°、tan60°按从小到大顺序排列，用“＜”连接起来________________________________________________________________________．
5．计算：
(1)3sin30°＋cos60°；
(2)2cos30°－2sin30°＋3tan60°.
知识点2 由特殊角的三角函数值求角的度数
6．若cosA＝(A为锐角)，则∠A的度数为(
)
A．60°
B．30°
C．45°
D．30°或60°
7．在△ABC中，若sinA＝cosB＝，则下列结论最确切的是(
)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
8．(白银中考)在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝____________.
9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，则∠A＝____________.
知识点3 特殊角的三角函数值的简单应用
10．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加
( http: / / www.21cnjy.com )风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(
)
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140
m
100
m
95
m
90
m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲
B．乙
C．丙
D．丁
中档题
11．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(
)
A．(，)
B．(－，－)
C．(－，)
D．(－，－)
12．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值是(
)
A.
B.
C.
D．1
13．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝BC，则∠C等于(
)
A．45°
B．30°
C．60°
D．50°
14．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为(
)
A．(，1)
B．(1，)
C．(＋1，1)
D．(1，＋1)
15．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14
cm，则阴影部分的面积是____________
cm2.
16．(1)计算：2cos30°－tan45°－；
(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，求－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋()－1的值．
17．如图1，圆规两脚形成的角α称为圆规的张
( http: / / www.21cnjy.com )角．一个圆规两脚均为12
cm，最大张角120°，你能否画出一个半径为20
cm的圆？请借助图2说明理由．
综合题
18．(宜宾中考)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.
据此判断下列等式成立的是____________(写出所有正确的序号)．
①cos(－60°)＝－；②sin75°＝
( http: / / www.21cnjy.com )；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.
参考答案
1．B 2.B 3. 4.cos60°＜sin60°＜tan60°
5．(1)原式＝3×＋＝2.
(2)原式＝2×－2×＋3×＝－1＋3＝4－1.
6．B 7.C 8.60° 9.60° 10.D 11.B 12.A 13.C 14.C
15.
16．(1)原式＝2×－1－|1－|＝－1－＋1＝0.
(2)∵α为锐角，由sin(α＋15°)＝得α＝45°，
∴原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
17．∵△ABC是等腰三角形
( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°.过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝AB·cosB＝12×＝6≈10.4(cm)，BC＝2BD≈20.8
cm＞20
cm.
∴能画出一个半径为20
cm的圆．
18．②③④1.4 解直角三角形
基础题
知识点1 已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为(
)
A.
B.
C.
D．2
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(
)
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，则AB＝____________，∠A的度数为____________．
4．已知：△ABC中，∠C＝90°.
(1)a＝6，b＝2，求∠A、∠B、c；
(2)a＝24，c＝24，求∠A、∠B、b.
知识点2 已知一边、一角解直角三角形
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则BC的长是(
)
A．5
B．5
C．5
D．10
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝6，∠B＝30°，则c和tanA的值分别为(
)
A．12，
B．12，
C．4，
D．2，
7．(滨州中考)在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为(
)
A．6
B．7.5
C．8
D．12.5
8．在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝8，则a＝____________，b＝____________.
9．(北海中考)如图，已知正方形AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝____________.
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝45°，求这个三角形的其他元素．
中档题
11．如图，在锐角三角形ABC中，∠B＝60°，AD⊥BC，AD＝3，AC＝5，则BC的长为( )
A．4＋
B．7
C．5.5
D．4＋2
12．(扬州中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
13．(牡丹江中考)在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC边长为(
)
A．7
B．8
C．8或17
D．7或17
14．(济宁中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为____________．
15．如图，在Rt△ABC中，a、b分别是∠A、∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a、∠B就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程：
解：第一步：根据∠A＝90°－∠B，求得____________；
第二步：根据tanB＝，求得b＝____________；
第三步：根据cosB＝，求得c＝____________；
(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值，然后按照(1)中的思路，求出b、c、∠A的值．
16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.
(1)求sinC；
(2)求AC边上的高BD.
综合题
17．(襄阳中考)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠ADC的值．
参考答案
1．C 2.C 3.2 45°
4．(1)∵在Rt△ABC中，ta
( http: / / www.21cnjy.com )nA＝，
∴tanA＝＝.
∴∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°.
∴c＝2b＝2×2＝4.
(2)∵在Rt△ABC中，根据勾股定理有b2＝c2－a2，
∴b＝24.
∴∠A＝∠B＝45°.
5．A 6.C 7.A 8.4 4 9.8
10．∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝45°.
在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，
∴sin45°＝，cos45°＝.
∴a＝b＝8.
11．A 12.C 13.D 14.3＋
15．(1)∠A atanB
(2)令a＝2，∠B＝60°，则∠A＝90°－60°＝30°，
∴b＝atanB＝2，c＝＝4.
16．(1)过点A作AE⊥BC交BC于点E.
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3.在Rt△AEC中，AE＝＝6，
∴sinC＝＝＝.
(2)在Rt△BDC中，sinC＝，
∴＝.
∴BD＝4.
17．(1)过点A作AE⊥BC于点E.
∵cosC＝，
∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，∵AC＝，cosC＝，
∴AE＝CE＝AC·cosC＝1.
在Rt△ABE中，∵tanB＝，
∴＝.
∴BE＝3AE＝3.
∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2.
∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.
∵AE⊥BC，AE＝DE，
∴∠ADC＝45°.
∴sin∠ADC＝.第2课时 仰角、俯角问题
基础题
知识点 仰角、俯角问题
1．(哈尔滨中考)如图，某飞机在空
( http: / / www.21cnjy.com )中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1
200
m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(
)
A．1
200
m
B．1
200
m
C．1
200
m
D．2
400
m
2．(聊城中考)湖南路大桥于今年5月1
( http: / / www.21cnjy.com )日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线，某校数学兴趣小组用测量仪测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)，已知测量仪CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)(
)
A．34米
B．38米
C．45米
D．50米
3．(抚顺中考)如图，在A处看建筑物
( http: / / www.21cnjy.com )CD的顶端D的仰角为α，且tanα＝0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为____________米．
4．(茂名中考)如图，在数学活
( http: / / www.21cnjy.com )动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度.
5．(湘潭中考)热气球的探测
( http: / / www.21cnjy.com )器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120
m．这栋高楼有多高？(≈1.732，结果保留小数点后一位)
中档题
6．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米
( http: / / www.21cnjy.com )，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(
)
A．20米
B．10米
C．15米
D．5米
7．(钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处
( http: / / www.21cnjy.com )引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
8．(青岛中考)小明在热气球A上看到正前
( http: / / www.21cnjy.com )方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100
m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈)
综合题
9．(台州中考)如图，某翼装
( http: / / www.21cnjy.com )飞行员从离水平地面高AC＝500
m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1
600
m到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC(结果精确到1
m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)
参考答案
1．D 2.C 3.7
4．(1)∵教学楼B点处
( http: / / www.21cnjy.com )观测到旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4
m．
∴AD＝＝＝4(m)．
答：教学楼与旗杆的水平距离是4
m.
(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4
m，
∴CD＝ADtan60°＝4×
＝12(m)，
答：旗杆CD的高度是12
m.
5．过点A作AD⊥BC，垂足为D.根据题意，得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120
m．
在Rt△ADB中，由tan∠BAD＝，得BD＝AD·tan∠BAD＝120tan30°＝120×＝40(m)．
在Rt△ADC中，由ta
( http: / / www.21cnjy.com )n∠CAD＝，得CD＝ADtan∠CAD＝120tan60°＝120×
＝120
(m)．
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)．
答：这栋楼高约为277.1
m.
6．A
7．过点A作AH⊥CD于H，交CE于G，则AH＝6米，DH＝1.5米．
在Rt△ACH中，tan30°＝＝，
∴CH＝6tan30°≈3.5(米)．
∴CD＝CH＋DH＝5(米)．在Rt△CED中，sin60°＝＝，
∴CE＝≈5.8(米)．
答：拉线CE长约为5.8米．
8．过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D.由题意知：∠ACD＝35°，∠ABD＝45°.
在Rt△ACD中，∠ACD＝35°，tan
( http: / / www.21cnjy.com )35°＝≈，
∴CD＝AD.在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，tan45°＝＝1，
∴BD＝AD.∵BC＝CD－DB＝100，
∴AD－AD＝100.解得AD≈233.
答：热气球离地面的高度约为233米．
9．过点D作DE⊥AC于点E，D
( http: / / www.21cnjy.com )F⊥BC于点F.由题意可得：∠ADE＝15°，∠BDF＝15°，AD＝1
600
m，AC＝500
m，
∴cos∠ADE＝cos15°＝≈0.97，sin15°＝≈0.26.
∴≈0.97，≈0.26.解得DE＝1
552，AE＝416.
∴DF＝AC－AE＝84
m．
∴tan∠BDF＝tan15°＝≈0.27.
∴≈0.27，解得BF≈23.
∴BC＝DE＋BF＝1
575
m.1.5 三角函数的应用
第1课时 方位角问题
基础题
知识点 方位角问题
1．(河北中考)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(
)
2．(南充中考)如图，一艘海轮位于灯
( http: / / www.21cnjy.com )塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB长是(
)
A．2海里
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里
D．2tan55°海里
3．如图，轮船从B处以每小时50海
( http: / / www.21cnjy.com )里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是多少海里(
)
A．25
B．25
C．50
D．25
4．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现
( http: / / www.21cnjy.com )与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船____________(填“有”或“没有”)触礁的危险．(可使用科学计算器)
5．(南宁中考)如图，一渔船由西往
( http: / / www.21cnjy.com )东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于____________海里．
6．(资阳中考)如图，湖中的小岛上有一
( http: / / www.21cnjy.com )标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
中档题
7．(荆门中考)如图，在一次军事
( http: / / www.21cnjy.com )演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1
000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果保留根号)．
8．(锦州中考)如图所示，位于A处的
( http: / / www.21cnjy.com )海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？(结果精确到0.1小时，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)
综合题
9．(营口中考)如图，我国
( http: / / www.21cnjy.com )南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏西60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．(参考数据：sin50°≈，cos53°≈，tan53°≈)
(1)求C、D两点的距离；
(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
参考答案
1．D 2.C 3.D 4.没有 5.10
6．过点A作AD⊥BC于D，则AD的长度即是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x，则CD＝AD＝x.
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，由tan∠ABD＝，得tan60°＝，
所以BD＝＝x.
又BC＝4，即BD＋CD＝4，所以x＋x＝4.解得x＝6－2.
所以小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6－2)公里．
7．过点C作CE⊥AD于点E，作CF⊥AB于点F，则AD＝ED＋CF.
由题意，得∠ECD＝45°，∠ABC＝30°.
在Rt△ECD中，ED＝CDsin45°＝1
000×＝500.
在Rt△CFB中，CF＝CBsin30°＝1
( http: / / www.21cnjy.com )
000×＝500.
∴AD＝500＋500.
∴拦截点D处到公路的距离为(500＋500)米．
8．过点C作CD⊥AB，垂足为D.由题
( http: / / www.21cnjy.com )意知∠NAC＝30°，∠NAB＝68°，AC＝20，
∴∠CAB＝38°，∠BAM＝90°－68°＝22°.
∵BC∥AM，
∴∠CBA＝∠BAM＝22°.∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠DAC＝38°，sin∠CAB＝，
∴CD＝AC·sin∠CAB＝20×0.62＝12.4.
在Rt△BCD中，sin∠CBD＝，
∴CB＝＝≈≈33.51.
∴t＝≈1.7(小时)．
答：救生船到达B处大约需要1.7小时．
9．(1)过点C作CG⊥AB交AB于点G，
( http: / / www.21cnjy.com )过点D作DF垂直CG于点F.则BC＝30×＝15(海里)，CG＝BCsin30°＝7.5(海里)，FG＝AD＝1.5(海里)，CF＝7.5－1.5＝6(海里)，CD＝＝10(海里)．
(2)设t小时后，两船在E处会合，则ED＝3t，CE＝30t.过点E作EH⊥CD交CD于点H.
∵CG∥AE，
∴∠GCD＝∠CDE，HE＝EDsin53°＝，CE＝30t.
∴在Rt△CEH中，sin∠ECD＝＝.1．4 解直角三角形
1.了解什么叫解直角三角形.
2.掌握解直角三角形的根据.
3.能由已知条件解直角三角形.
自学指导
阅读课本P16~17，完成下列问题.
知识探究
1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系:
三边之间的关系a2+b2=c2；
两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；
边与角之间的关系:sinA=
，cosA=
，tanA=
，sinB=
，cosB=
，tanB=
.
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3.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠B=90°-∠A
，求出∠B，用关系式
sinA=
求出a.
自学反馈
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝，则BC：AC等于
(
A
)
A．3：4
B．4：3
C．3：5
D．4：5
2.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为
(
B
)
A.
B．
C．
D．
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活动1
小组讨论
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
a=，b=，
∴
在Rt△ABC中，sinB=
∴∠B=30°.
∴∠A=60°.
例2
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1）.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
∵sinB=,b=30,
∴c=≈71.
∵tanB=,b=30,
∴a=≈64.
活动2
跟踪训练
1.根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°；
解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°．
∵sin
A＝，∴a＝c·sin
A＝4·sin
60°＝4×＝6，
∴b＝.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2
；
解：∵∠C＝90°，a＝6，b＝2，
∴c＝.
∵tan
A＝＝,∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．
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解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD=AB=4，BD=AD=4．
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4+4．
活动3
课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？你对解直角三角形有哪些认识？
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.1．3 三角函数的计算
1.能利用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.
3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.
自学指导
阅读课本P12~14，完成下列问题.
自学反馈
学生独立完成后集体订正
1.用计算器求sin28°、cos
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sin28°.
2.用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(
A
)
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3.已知tanα=0.3249，则α约为（ B ）
A．17°
B．18°
C．19°
D．20°
运用计算器求出已知角的锐角三角函数，或求出已知锐角三角函数值的角的度数.
活动1
小组讨论
例1
升国旗时，某同学
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m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42°,若双眼离地面1.6
m，求旗杆AB的高度.(精确到0.01
m)
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解:过D作DC⊥AB于C，DC=EB=20
m.
∵tan∠ADC=,
∴AC=DC·tan∠ADC=20×tan42°≈18(m),
∴AB=AC+CB=18+1.6=19.6(m).
即旗杆AB的高度为19.6
m.
利用矩形的定义和三角函数的有关知识求AB，其中42°角的三角函数值需要用计算器来算.
例2
如图，一名患者体内某器官后
( http: / / www.21cnjy.com )面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3
cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8
cm的B处进入身体，求∠CBA的度数.
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在直角三角形ABC中，直接用正切函数描述∠CBA的关系式，再用计算器求出它的度数.
活动2
跟踪训练
1.用计算器计算：（结果精确到0.0001）
（1）sin
36°；
（2）cos
30.7°；
（3）；
（4）sin25°+2cos61°-tan71°.
解：（1）0.5876；
（2）0.8599；
（3）0.3739,；
（4）-1.5120.
2.在
Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=20，AC=12.5，求两个锐角的度数（精确到1°）.
解：∵∠C=90°,
BC=20，AC=12.5，
∴tanB=
=0.625,
用计算器计算，得∠B≈32°，
∴∠A=90°-32°=58°.
3.如图，小明以3米/
秒的速度
( http: / / www.21cnjy.com )从山脚A点爬到山顶B点，已知点B到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多长时间？（结果精确到0.1）（参考数据：sin28°≈0.47,
cos28°≈0.88,
tan28°≈0.53）.
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解：∵∠C=90°，∠A=28°，,BC=24,
∴=
.
∵小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B，
∴小明从山脚爬上山顶，需要52.17÷3=17.4（s）.
活动3
课堂小结
1.本节学习的数学知识:利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
2.本节学习的数学方法:培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.
3.求锐角的三角函数时，不同计算器
( http: / / www.21cnjy.com )的按键顺序是不同的，大体分两种情况:先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.
教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.
