高一重点班月考试题数学
(时间:120分钟
满分:150分)姓名
_______评价_______
一、选择题(每小题5分,共60分.
以下给出的四个备选答案中,只有一个正确)
1、已知直线l的方程为,则圆上的点到直线l的距离的最小值是(
)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
2、直线x=2被圆所截弦长等于,则a的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3、直线ax+by=1与圆相交,则P(a,b)的位置是(
)
A.
在圆上
B.
在圆外
C.
在圆内
D.
都有可能
4、若实数x、y满足,则的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
5、一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(
)米
A.
1.4
B.
3.0
C.
3.6
D.
4.5
6.经过圆的圆心C,且与直线垂直的直线方程是(
)
A.
B.
C.
D.
7.圆心在轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
8.过点的直线与圆相交于,两点,则的最小值为( )
A.2
B.
C.3
D.
9.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知圆:+=1,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为(
)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
11.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是(
)
A.[,]
B.[,3]
C.[-1,]
D.[,3]
12.设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离=(
)
A.4
B.
C.8
D.
二、填空题(每小题5分,共20分.
将你认为正确的答案填写在空格上)
13.圆心在原点上与直线相切的圆的方程为
.
14.已知圆O:和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
.
15.已知两圆和相交于两点,则直线的方程是
.
16.设若圆与圆的公共弦长为,则
.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)求经过点P(3,1)且与圆x2+y2=9相切的直线方程.
18.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,试求MN的长.
19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C与直线交于A,B两点,且求的值.
20.(本题满分12分)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且.
(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
21.(本题满分12分)已知m∈R,直线l:和圆C:
.
(Ⅰ)求直线l斜率的取值范围;
(Ⅱ)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
22.(本题满分12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方?
(参考答案)
一、选择题答题卡:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
C
C
A
B
A
B
D
C
二、填空题
13..
14.
.
15..
16.
____2___.
三、解答题
17[解析] 解法一:当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,
由点斜式可得切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
∴=3,解得k=-.
故所求切线方程为-x-y+4+1=0,即4x+3y-15=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=3,也满足条件.
故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3.
解法二:设切线方程为y-1=k(x-3),
将方程组,消去y并整理得
(k2+1)x2-2k(3k-1)x+9k2-6k-8=0.
因为直线与圆相切,∴Δ=0,
即[-2k(3k-1)]2-4(k2+1)(9k2-6k-8)=0.
解得k=-.
所以切线方程为4x+3y-15=0.
又过点P(3,1)与x轴垂直的直线x=3也与圆相切,
故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3.
[点评] 若点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.
18[解析] 以D为原点建立如图所示坐标系,
则B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).
由于M为BD1的中点,所以M(,,),取A1C1中点O1,则O1(,,a),
因为|A1N|=3|NC1|,所以N为O1C1的中点,
故N(,a,a).
由两点间的距离公式可得:
|MN|=
=a.
[点评] 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解
19.
解:(Ⅰ)曲线中,当时,;当时,.
曲线与y轴的交点为(0,1).
设圆C的方程为,则.………………①
当时,得,它与是同一方程,
代入①,得
所以圆C的方程为.
(Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组:
消去y,得到方程
由已知可得,判别式即
①
由于OA⊥OB,可得,即
又所以
②
由①,②得,即,
,满足故
20.
解
如图所示,过A作直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,
若P′(异于P)在直线上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|.
因此,供水站只有在P点处,才能取得最小值,设A′(a,b),
则AA′的中点在l上,且AA′⊥l,
即解得
即A′(3,6).
所以直线A′B的方程为6x+y-24=0,
解方程组得
所以P点的坐标为.
故供水站应建在点P处.
21.
解:(Ⅰ)直线的斜率,
当时,;
当时,;
当时,
当时,
综上,斜率的取值范围是.
(Ⅱ)不能.
由得,
当时,,所以不论m为何值直线l恒经过点.
设的方程为,即,其中.
由得
所以圆的圆心为,半径.
圆心到直线的距离.
由,得,即.从而,若与圆相交,则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于.
所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.
22.
解:(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);
令,由题意b≠0
且,解得b<1
且b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
令=0
得,它与=0
是同一个方程,故D=2,F=.
令=0
得,此方程有一个根为b,代入得出.
所以圆C
的方程为.
(Ⅲ)由得.
当时,得,
所以,不论b为何值,圆C
必过定点.
y
O
D
x
P
M
C