2017年数学八下 第16章《二次根式》全章名师教案
文档属性
| 名称 | 2017年数学八下 第16章《二次根式》全章名师教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-04-04 15:59:14 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式
1.理解二次根式的概念.
2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).
3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0), =(a≥0,b>0).
4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.
1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问
( http: / / www.21cnjy.com )题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.
2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.
3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.
4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它
( http: / / www.21cnjy.com )们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.
1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.
2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.
二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容
( http: / / www.21cnjy.com ),它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.
本章内容分为三节,第一节
( http: / / www.21cnjy.com )主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.
【重点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式乘除法的法则及其运用.
3.最简二次根式的概念.
4.二次根式的加减运算.
【难点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式的乘法、除法的条件限制.
3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.
1.通过前面的学习,我们已经知道了平
( http: / / www.21cnjy.com )方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.
2.对于一些重要结论,要注意经历
( http: / / www.21cnjy.com )观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.
3.熟练掌握二次根式的概念和运算
( http: / / www.21cnjy.com )需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.
16.1二次根式
2课时
16.2二次根式的乘除
2课时
16.3二次根式的加减
2课时
单元概括整合
1课时
16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
第课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花
( http: / / www.21cnjy.com )园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
[设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 .
(2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 .
学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130
m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由
( http: / / www.21cnjy.com )落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3) .
[设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,, 分别表示什么意义 它们有什么共同特征
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
[设计意图] 让学生在
( http: / / www.21cnjy.com )填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
思路二
像,,, 这样的式子有什么共同特点呢
学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.
教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
引导学生说一说对二次根式的认识:
(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.
[设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
2.例题讲解
[过渡语] 二次根式的定义怎样理解 让我们一起来学习几个例题.
下列各式中,哪些是二次根式 并指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0).
引导学生观察根指数和被开方数分析发现
( http: / / www.21cnjy.com ):显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
[解题策略] ①当被开方数形式是含有
( http: / / www.21cnjy.com )字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.(其中a<0)
〔解析〕 的被开方数-9<0,的
( http: / / www.21cnjy.com )被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.
(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义
引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
解:由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
【变式训练】 若式子1+有意义,则x的取值范围是 .
〔解析〕 根据二次根式的性质可知:x+
( http: / / www.21cnjy.com )1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.
[易错分析] 容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.
[设计意图] 通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.
[知识拓展] (1)二次根式的定义
( http: / / www.21cnjy.com )是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零
1.已知下列各式:,(a≥2),, ,其中二次根式的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.
2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥ B.x≥-
C.x> D.x≠
解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.
3.当x= 时,二次根式有最小值,其最小值是 .
解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
答案:-3 0
4.求下列各式中字母a的取值范围:
(1);(2) ;(3);(4).
解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.
( http: / / www.21cnjy.com )∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时
1.二次根式的概念
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若 是二次根式,则下列结论正确的是 ( )
A.x≥0,y≥0 B.x>0,y>0
C.x,y同号 D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是 ( )
A.m>6 B.m<6
C.m>-6 D.m<-6
3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是 .
【能力提升】
5.当x 时,+在实数范围内有意义.
6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则xy= .
7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.
8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.
【拓展探究】
9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)
2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)
3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)
4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:要使
( http: / / www.21cnjy.com )+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即 由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)
7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-
( http: / / www.21cnjy.com )y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.
9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的
( http: / / www.21cnjy.com )条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.
我们经常说过程比结果更重要
( http: / / www.21cnjy.com ).我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习
( http: / / www.21cnjy.com ),层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.
练习(教材第3页)
1.解:设长方形的长和宽分别为3a
c
( http: / / www.21cnjy.com )m,2a
cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3
cm,宽取2
cm.
2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,
( http: / / www.21cnjy.com )有意义. (2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义.
(3)当-a≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.
若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.
〔解析〕 根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.
解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.
当x=±2时,y=-3.
①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;
②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.
所以x+2y的值是-4或-8.
[解题策略] 根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.
已知(3a-6)2+=0,求ba的值.
〔解析〕 根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.
解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,
所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.
此时ba=32=9.
[解题策略] 本题考查了非负数的性质,初中
( http: / / www.21cnjy.com )阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.
第课时
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 自学教材第3~4页的内容.
导入一:
教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
[设计意图] 以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.什么叫二次根式
2.当a≥0时,叫什么 当a<0时,有意义吗
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
[设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.
思路一
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
[过渡语] 我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).
提问:你能解释下列式子的含义吗
()2,()2,,()2.
学生口述,教师根据情况评价.
()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
()2= ;()2= ;= ;()2= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义
( http: / / www.21cnjy.com ),是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗
引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
(教材例2)计算:
(1)()2;(2)(2)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
〔解析〕 (1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.
解:(1)()2=1.5.
(2)(2)2=22×()2=4×5=20.
[解题策略] 把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.
【变式训练】 计算:(-2)2.
〔解析〕 把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.
解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.
[知识拓展] 形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的
( http: / / www.21cnjy.com )过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
[过渡语] 我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).
提问:你能解释下列式子的含义吗
,, ,.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根; 表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
= ;= ; = ;= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴ =,因此 =;∵0=02,∴=0,因此=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗
引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).
(教材例3)化简:
(1); (2).
引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.
学生独立完成,集体订正.
解:(1)==4.
(2)==5.
[知识拓展] (1)中的a的取值
( http: / / www.21cnjy.com )范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).
小组讨论:()2和有什么关系
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.
思路二
请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:
1.(1)填空:()2= ;()2= ;= ;()2= ;= ;()2= .
(2)猜想当a≥0时,()2= .
2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.
== ;== ;== ;== ;….
通过观察,你得到的结论是什么 试着说一说.
(2)发现:当a≥0时,= ,当a<0时,= .
学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.
1.(1)根据算术平方根与乘方运算
( http: / / www.21cnjy.com )的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16; =,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.
(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.
归纳并板书:
二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).
提问:()2和有什么关系
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=
[设计意图] 在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.
3.代数式
提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征
学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.
这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.
[设计意图] 学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.
4.例题讲解
(补充)计算:(-5)2, ,- .
〔解析〕 利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.
解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.
= =.
- =- =-.
(补充)比较2与3的大小.
〔解析〕 直接比较这两个二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.
解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,
又∵44<45,且2>0,3>0,
∴2<3.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
()2=a(a≥0)
任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身
被开方数a是非负数
=|a|=
任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值
底数a可以是任何实数
代数式
用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式
①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
1.计算的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
解析:==3.故选B.
2.下列各式:①m2-3;② (a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.
3. + 的值是 .
解析: + =2+2=4.故填4.
4.(1)当x 时,=2-x成立;
(2)计算= .
解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.
答案:(1)≤2 (2)π-3
5.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.
解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.
(4)(-)2=(-1)2×()2=15.
第2课时
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
例1
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
例2
3.代数式
4.例题讲解
例3 例4
一、教材作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次根式的值为3,那么x的值是( )
A.3 B.9 C.-3 D.3或-3
2.若=1-2a,则 ( )
A.a< B.a≤
C.a> D.a≥
3.(2015·杭州中考)若k<A.6 B.7 C.8 D.9
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为 ( )
A.2a+b B.-2a+b
C.b D.2a-b
【能力提升】
5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是 .
6.在实数范围内分解因式:
(1)x2-3= ;
(2)n5-6n3+9n= .
7.列出下列代数式:
(1)面积为3的圆的半径;
(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.
8.计算:(1) ;(2)(3)2;(3);(4)-;(5) .
9.先化简,再求值:-,其中x=6.
【拓展探究】
10.对于题目“化简并求值:+ ,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.
甲的解答是:+ =+ =+-a=-a=;乙的解答是:+ =+ =+a-=a=.
谁的解答是错误的 为什么
【答案与解析】
1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)
2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)
3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)
4.C(解析:观察图可知a
( http: / / www.21cnjy.com )<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)
5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)
6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+
( http: / / www.21cnjy.com ))2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)
7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .
8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.
9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.
10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.
解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以 ≠a-,而应是 =-a.
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,
( http: / / www.21cnjy.com )让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.
在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.
练习(教材第4页)
1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.
2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.
习题16.1(教材第5页)
1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,
( http: / / www.21cnjy.com )∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.
2.解:(1)()2=5.
( http: / / www.21cnjy.com )(2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.
3.解:(1)设圆的半径为R,由
( http: / / www.21cnjy.com )圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±
.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为
. (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x·3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.
4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.
5.解:由题意可知πr2=π·22+π·32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.
6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x·4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.
7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论
( http: / / www.21cnjy.com )x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.
8.解:设h=kt2,
则由题意,得2
( http: / / www.21cnjy.com )0=k×22,解得k=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为
s和
s.
9.解:(1)由题意知18-n≥0
( http: / / www.21cnjy.com )且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.
10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时,
r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.
如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.
〔解析〕 根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.
解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,
∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.
[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.
已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .
〔解析〕 根据三角形三边的
( http: / / www.21cnjy.com )关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.
[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.
化简:.
〔解析〕 题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.
解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;
当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.
[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.
16.2 二次根式的乘除
1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.
【难点】 综合运用有关法则和性质化简二次根式.
第课时
1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.
2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.
【难点】 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的定义和代数式的定义.
导入一:
古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的菜地,测得三边的长分别为7
m,5
m,8
m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗
原来海伦先算出三角形的周长的一半
( http: / / www.21cnjy.com )为10
m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢 这节课我们一起来进行探讨.
[设计意图] 创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.
导入二:
我们知道长方形的面积等于长乘宽,一
( http: / / www.21cnjy.com )个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗 其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗
[设计意图] 联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.
1.二次根式的乘法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)×= ,= ;
(2)×= ,= ;
(3)×= ,= .
参考上面的结果,用“>,<或=”填空.
× ,× ,× .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
老师点评:(1)被开方数都是正数;(
( http: / / www.21cnjy.com )2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
提问:二次根式的乘法法则是什么 字母表达式是怎样的
学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
[设计意图] 培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.
[知识拓展] (1)·
( http: / / www.21cnjy.com )=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).
思路二
出示教材第6页“探究”.
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)×= ,= ;
(2)×= , ;
(3)×= ,= .
学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.
教师演算: ×=×5=, = =,则 ×= .
由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
[过渡语] 你会应用二次根式的乘法法则吗
尝试练习(教材例1):
计算:(1)×;(2) ×.
学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.
[设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.
2.积的算术平方根的性质
思路一
[过渡语] ·=反过来也成立吗
计算并思考:
①== ,×=2×5= ;
② = = ,× =6×= ;
③== ,×=0.1×3= .
你认为= (a≥0,b≥0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:
根据算术平方根的意义,得==10
( http: / / www.21cnjy.com ),×=2×5=10,则=×;同样, = =,× =6×=,则有=× ;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
进一步明确:=·(a≥0,b≥0).
[设计意图] 让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.
思路二
[过渡语] 把·=反过来,就得到=·,利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
化简:(1);(2)(m>0).
学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;
(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.
解:(1)原式=×=20.
(2)原式==·=9m.
教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).
[设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展] (1)当
( http: / / www.21cnjy.com )a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.
3.例题讲解
(教材例1)计算:
(1)×;(2) ×.
引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.
解:(1)×=.
(2) ×= ==3.
(教材例2)化简:
(1); (2).
教师引导发现:被开方数4a2b3
( http: / / www.21cnjy.com )含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.
解:(1)=×=4×9=36.
(2)=··=2·a·=2ab.
(教材例3)计算:
(1)×;(2)3×2;(3)· .
〔解析〕 根据二次根式的乘法法
( http: / / www.21cnjy.com )则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.
解:(1)×===×=7.
(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.
(3)· = ==·=x.
[解题策略] 化简二次根式的方法
( http: / / www.21cnjy.com ):①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
【变式训练】 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.
(1)=×;
(2) ×=4× ×=4× =4=8.
解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.
(2)不正确.改正: ×= ×= ==4.
[设计意图] 让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.·=(a≥0,b≥0
( http: / / www.21cnjy.com )),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).
2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
1.若=·,则a的取值范围是 ( )
A.-4≤a≤4 B.a>-4
C.a≤4 D.-4 解析:由题意可知:4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A.
2.下列各式成立的是 ( )
A.4×2=8
B.5×4=20
C.4×3=7
D.5×4=20
解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.
3.一个长方形的长和宽分别是
cm和
cm,则这个长方形的面积是 .
解析: ×= =25(cm2).故填25
cm2.
4.已知x>0,y>0,则·= .
解析:·=·=·=xy.故填xy.
5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).
解:(1)=×=6×9=54. (2)=··=3·a·=3a·=3ab.
6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3 ×5;(4)· .
解:(1)×==6. (2)4×7=4×7=28=252. (3)3 ×5=3×5 =15. (4)· = =a.
第1课时
1.二次根式的乘法
2.积的算术平方根的性质
3.例题讲解
例1 例2 例3
一、教材作业
【必做题】
教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各数中,与的积为有理数的是 ( )
A. B.3 C.2 D.
2.(2015·安徽中考)计算×的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
3.已知m=×(-2),则有 ( )
A.5C.-54.k,m,n为三个整数,若=k,=15,=6,则下列有关k,m,n的大小关系正确的是 ( )
A.kC.m【能力提升】
5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是
cm,宽是
cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是 .
6.·是一个整数,那么最小正整数a的值为 .
7.计算:(1)× ×;
(2)×0.5(a≥0);
(3)×(-)×.
8.一个底面为30
cm×30
( http: / / www.21cnjy.com )
cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10
cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20
cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)
9.若y=,且x,y为实数,求·的值.
【拓展探究】
10.观察下列各式: =2 , =3 , =4 ,….
(1)你能发现上述式子有什么规律吗 将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是 ;
(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;
(3)请你验证所发现的规律.
【答案与解析】
1.C(解析:因为×=,而为无理数,所以选项
( http: / / www.21cnjy.com )A错误;因为3×=3,而3是无理数,所以选项B错误;因为2×=6,而6是有理数,所以选项C正确;因为×=3,而3为无理数,所以选项D错误.故选C.)
2.B(解析:∵·=(a,b都是非负数),∴×====4.故选B.)
3.A(解析:m=×(×)=××=2.∵25<28<36,∴<<,即5<2<6.故选A.)
4.D(解析:化简二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,则m5.
cm(解析:设圆的半径为r
cm,则πr2=·,r=.)
6.2(解析:因为50=52×2,所以50×2=52×22,因此a的最小整数值为2.)
7.解:(1)× ×=× × = ==4. (2)×0.5===abc. (3)×(-)×=×=×=60.
8.解:设铁桶的底面边长为x
cm,则x2×10=30×30×20,x2=30×30×2,所以x==30,所以铁桶的底面边长是30
cm.
9.解:由已知得4-x2≥0,x2-4≥0且x≠-2,∴x=2,∴y=.当x=2,y=时,·= ·= =.
10.解析:解决这类问题的方法是先观
( http: / / www.21cnjy.com )察已知几个等式的数字特征,从而发现各式的数字变化规律,归纳出几个式子所反映的一般规律,这种探索性解题的方法在今后的学习中经常用到,望同学们引起高度重视.
解:(1) =(n+1) (n为正整数)
(2)当n=9时,可得到第9个式子为: =10 . (3)因为左边= = = =(n+1) =右边,所以 =(n+1) (n为正整数).
本节课以问题的方式提出
( http: / / www.21cnjy.com )要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
学生基本掌握了二次根式的乘法法则和
( http: / / www.21cnjy.com )积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.
进一步放手让学生自学本节内容,让学生
( http: / / www.21cnjy.com )在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
练习(教材第7页)
1.解:(1)×==. (2)×===6. (3)2× =2 =2. (4)× = ==2.
2.解:(1)=×=7×11=77. (2)==15. (3)=·=2. (4)=···=4bc.
3.解:S=×2=2=2=2×=4.
教材设计意图
本节课主要内容是二次根式的乘法运算和二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式的化简,通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法,建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.
探究二次根式的乘法法则,教材从具体例
( http: / / www.21cnjy.com )子出发,由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目,引导学生利用二次根式的性质,从具体数字的运算中发现规律,进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律,然后是让学生对发现的规律进行类比,得出乘法法则的具体内容.
为了使学生更全面地了解二次根式的运算,提高
( http: / / www.21cnjy.com )学生的运算能力,也为今后的数学学习打下必要的基础,教材在正文中设置了“选学例题”,采用举例的方式,让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算.由于数式通性,只要将二次根式中的实数看成字母,二次根式的运算实际上就是整式的运算.
将二次根式的乘法法则·=反过
( http: / / www.21cnjy.com )来,就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习,应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识,即在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方的因数或因式开出来,这一点教材利用了一个小贴士加以说明.
第课时
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
【重点】 会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【难点】 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的乘法法则.
导入一:
化育中学有一块直角三角形的花台,
( http: / / www.21cnjy.com )计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC=
m,BC=3
m,你能求出斜边AB的边长吗 在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== = .
在上面的问题中,你会计算 的结果吗 学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.
[设计意图] 创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的
学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.
2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.
(1)= , = ;(2)= , = ;
教师巡视学生举例和计算结果是否正确.
这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.
1.二次根式的除法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)= , = ;
(2)= , = ;
(3)= , = .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
提问:二次根式的除法法则是什么 字母表达式是怎样的
学生总结二次根式除法的法则:
= (a≥0,b>0).
即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
追问:a,b的取值范围为什么不同
学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.
[设计意图] 运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.
思路二
,
.
提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢
引导学生比较计算结果,发现规律.
因为=, =,所以= ;因为=, =,所以= .
由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.
明确二次根式的除法法则:= (a≥0,b>0).
[过渡语] 你会应用二次根式的除法法则吗
尝试练习:
(教材例4)计算:
(1); (2) ÷ .
学生利用= (a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.
解:(1)= ==2.
(2) ÷ = = ==3.
[设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.
[知识拓展] (1)当被除
( http: / / www.21cnjy.com )式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷= ==2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.
2.商的算术平方根的性质
思路一
[过渡语] = (a≥0,b>0)反过来也成立吗
(1) = ,= ;
(2) = ,= ;
(3) = ,= .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
你认为 = (a≥0,b>0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
[设计意图] 让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.
思路二
[过渡语] 二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗
学生阅读教材第8页内容:把= (a≥0,b>0)反过来,就得到 =(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
(教材例5)化简:
(1) ; (2) .
学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.
解:(1) ==.
(2) = ==.
引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,
即 =(a≥0,b>0).
[设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展] (1)当a<0,b<0时,虽
( http: / / www.21cnjy.com )然 有意义,但是 = ,而不等于 .(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如 必须化成 ,防止出现 =× 这样的错误.
3.最简二次根式
[过渡语] 你能用积的算术平方根和商的算术平方根化简吗
化简:= ; = .
学生独自练习后,教师讲解.
由于27可以分解为32×3,根据=·(a
( http: / / www.21cnjy.com )≥0,b≥0),则有=×=3, 可以根据 =(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有 ===.
追问:观察化简结果3和,它们有什么特点 自己可以再举例说明.
引导学生从上面两小题化简的过程来看:
(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;
(2)把被开方数中所含有的分母化去.
进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条
( http: / / www.21cnjy.com )件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.
[知识拓展] (1)在二次根
( http: / / www.21cnjy.com )式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.
4.例题讲解
(教材例6)计算:
(1); (2); (3).
先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.
解法1:(1)= = = ==.
解法2:(1)===.
解:(2)======.
(3)===.
[解题策略] 化简二次根式的方法:①把被开
( http: / / www.21cnjy.com )方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.
学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.
分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.
解:a=====.
[设计意图] 通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.= (a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
2. =(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.如果一个二次根式满足
( http: / / www.21cnjy.com )以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.
1.下列计算正确的是 ( )
A. ==
B. ==
C. = ==
D. =± =±
解析:当a<0,b<0时,虽然 有意义,但是 =,而不等于,因此 = ==.故选C.
2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解析:=2,=2, =,均不是最简二次根式.故选A.
3.计算4÷2的结果是 .
解析:4÷2 =(4÷2)× =2×=2×3x=6x.故填6x.
4.计算:(1);(2);(3);(4).
解:(1)= =. (2)= =. (3)= =. (4)=- =-=-1.
5.计算:(1) (y>0);(2)- ÷ ;(3) .
解:(1) ==. (2)- ÷ =- =-3. (3) ==.
第1课时
1.二次根式的除法
例1
2.商的算术平方根的性质
例2
3.最简二次根式
4.例题讲解
例3 例4
一、教材作业
【必做题】
教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若等式÷= 成立,则实数a应是 ( )
A.正实数 B.大于-1的实数
C.非负实数 D.非正实数
2.下列各式正确的是 ( )
A.=16 B. ÷ =1
C.= D.=9
3.下列根式中最简二次根式有 ( )
, ,,,,,.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.计算的结果是 ( )
A.4b B.2 C. D.
【能力提升】
5.(2015·南京中考)计算的结果是 .
6.长方形的长为3,面积为30,要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形,则该正方形的面积是 .
7.计算:(1)× ÷;
(2) ×÷;
(3).
【拓展探究】
8.已知x=×,y=×,试比较x与y的大小.
【答案与解析】
1.C(解析:由被开方数的非负性和除数不为零,可得a为非负实数.)
2.C(解析:A的结果为4;B的结果为;D的结果为3.故选C.)
3.A(解析:,是最简二次根式.故选A.)
4.D(解析:====.故选D.)
5.5(解析:=×=5.)
6.60(解析:30÷3=2,=60.)
7.解:(1)原式=÷==2. (2)原式=- × ÷=-×4 =-. (3)原式==3×2=6.
8.解:设a=2013,则x=×==,y=×==.∵a2+3a+2>a2+3a,∴x 本节课以问题的方式提出要
( http: / / www.21cnjy.com )解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.
在总结二次根式乘法一课的学习方法之
( http: / / www.21cnjy.com )后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.
练习(教材第10页)
1.解:(1)÷===3. (2)= ==2. (3)÷= = =. (4) ÷ = = ==2a.
2.解:(1)==4. (2)==2. (3)= =. (4) ===.
3.解:由题意,知S=ab,∵S=16,b=,∴a×=16,∴a===.
习题16.2(教材第10页)
1.解:(1)×=2×3=6=6×3=1
( http: / / www.21cnjy.com )8. (2)×(-)=-=-3. (3)××=3×2×5=30=30. (4)=3×4=12=12×2=24.
2.解:(1)÷===. (2)==2. (3)÷===. (4)==.
3.解:(1)=×=2×7=14. (2)=×=10. (3)==. (4)==.
4.解:(1)==. (2)===. (3)====. (4)==. (5)==y. (6)=-×=-=-×3=-.
5.解:(1)当a=1,b=10,c=-15时,====-5+2.
(2)当a=2,b=-8,c=5时,====2+.
6.解:(1)由题意可知S=ab,
( http: / / www.21cnjy.com )∵a=,b=,∴S=×===4. (2)由题意可知S=ab,∵a=2,b=3,∴S=2×3=10×12=10×12×2=240.
7.解:(1)由题意可知S=a2,
( http: / / www.21cnjy.com )∵S=50,∴50=a2,∴a==5(负值已舍去). (2)由题意可知S=a2,∵S=242,∴242=a2,∴a==11(负值已舍去).
8.解:(1)×===.
(2)×===. (3)×===. (4)×÷====3×5=15.
9.解:∵≈1.414,∴=
( http: / / www.21cnjy.com )≈×1.414=0.707,即≈0.707.∵≈1.414,∴=2≈2×1.414=2.828,即≈2.828.
10.解:∵S=ab,S=4,a=,∴b=4,∴b=====.
11.解:∵V=S·h,V=4,h=3,∴S====.
12.解:由题意知截去的两个小正
( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长分别为
cm和
cm,而留下的是两个全等的小长方形,其宽为
cm,长为
cm,∴留下部分的面积=2××=2×=2×6=12(cm2).
13.解:(1)==10. (2)==100. (3)==1000. (4)==10000. 10n
本节内容在中考中主要考查二次根式的
( http: / / www.21cnjy.com )化简,题型一般为选择题和填空题,有时出现二次根式化简和混合运算综合题,但难度不大,掌握二次根式的乘除法法则及最简二次根式就能顺利解答.
(2014·山东中考)下列式子中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
〔解析〕 判断一个二次根式是否为最
( http: / / www.21cnjy.com )简二次根式的主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断.选项A:=3,故A选项错误;选项C:=2,不是最简二次根式,故C选项错误;选项D: =,不是最简二次根式,故D选项错误.故选B.
(2014·济宁中考)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:① =,② · =1,③÷ =-b,其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
〔解析〕 ∵ab>0,a+b<0
( http: / / www.21cnjy.com ),∴a<0,b<0.①中,等号右边被开方数小于零,无意义,∴①不正确;②中,根据二次根式乘法法则得 · ===1,∴②正确;③中,÷ == ==|b|=-b,∴③正确.故选B.
(2014·河北中考)计算:× = .
〔解析〕 运用二次根式乘法法则计算,然后化简.× = ==2.故填2.
16.3 二次根式的加减
1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.
2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.
1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.
2.培养学生的计算能力.
鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.
【重点】 二次根式的加减运算.
【难点】 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.
第课时
理解和掌握二次根式加减的方法.
先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.
体会合作学习的乐趣.
【重点】 二次根式加减法的运算.
【难点】 快速准确进行二次根式加减法的运算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习整式的计算.
导入一:
(出示教材第12页问题)现有一块长
( http: / / www.21cnjy.com )7.5
dm,宽5
dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8
dm2和18
dm2的正方形木板
( http: / / www.21cnjy.com )
提问:①大、小正方形木板的边长分别为
dm和
dm,木板是否够宽 ②木板是否够长呢 ③怎样计算+的结果呢
引导学生思考,并进行交流.
两个小正方形的边长分别为
dm和
( http: / / www.21cnjy.com )
dm,均小于5
dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为
dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.
怎样计算+呢 下边我们来探究二次根式的加减.
[设计意图] 设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.
导入二:
我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件
(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
[过渡语] 二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗
提问:-=正确吗
本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.
[设计意图] 复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.
1.二次根式的加减法
[过渡语] 我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢
思路一
教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:
+=2+3.
追问:可以像合并同类项那样合并吗
学生小组讨论回答:相当于
( http: / / www.21cnjy.com )x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.
师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.
[设计意图] 使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.
思路二
(1)合并同类项:
①2x+3x= ;
②2a2-3a2+5a2= .
(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.
①2+3= ;
②2-3+5= .
学生回顾,合并同类项就是把系数
( http: / / www.21cnjy.com )相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.
追问:第(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢
学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.
引导学生总结:第(2)问中的①和
( http: / / www.21cnjy.com )②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.
教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
[知识拓展] (1)合并就是把二次
( http: / / www.21cnjy.com )根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.
2.例题讲解
(教材例1)计算:
(1)-; (2)+.
引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.
由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.
解:(1)-=4-3=.
(2)+=3+5=8.
(教材例2)计算:
(1)2-6 +3;
(2)+.
指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗
学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.
解:(1)2-6 +3=4-2+12=14.
(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.
[方法归纳] 二次根式的加减运算
( http: / / www.21cnjy.com ),第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;
②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;
③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.
1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是 ( )
A.+= B.4-3=1
C.2×3=6 D.÷=3
解析:A.不是同类二次根式,不能合并
( http: / / www.21cnjy.com ),故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.
2.以下二次根式:①,②,③ ,④中,化简后与被开方数相同的是( )
A.①和② B.②和③
C.①和④ D.③和④
解析:①=2;②=2;③ =;④=3.故选C.
3.(2015·重庆中考)计算3-的值是 ( )
A.2 B.3 C. D.2
解析:3-=(3-1)=2.故选D.
4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为 .
解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.
5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=
解析:由题意得4a2+1=6a2-1,解得a=±1.故填±1.
6.计算:
(1)2+3-3+;
(2)-5 +.
解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4. (2)-5 +=2-5×+==.
第1课时
1.二次根式的加减法
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·衡阳中考)计算-= .
2.(2014·遵义中考)计算+= .
3.若+2 +x =10,则x的值等于 .
【能力提升】
4.计算4 +3 -的结果是 ( )
A.+ B.
C. D.-
5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是 ( )
A.3-3 B.
C.1 D.3
6.计算:
(1)-2;
(2)+ ;
(3)5+5-+;
(4)-2.
7.如图所示,面积为48
cm2
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形的四个角都是面积为3
cm2的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【拓展探究】
8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.
李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).
【答案与解析】
1.(解析:原式=2-=.)
2.4(解析:+=3+=4.)
3.2(解析:+2 +x =10化简得=2,故x=2.)
4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)
5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)
6.解:(1)-2=5-2=3. (2)+ =+=. (3)5+5-+=5+5-3+3=2+8. (4)-2=--+4=.
7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).
8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).
在授课过程中,以学生为
( http: / / www.21cnjy.com )主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.
在教学过程中,存在着一些不足之处.一是
( http: / / www.21cnjy.com )对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.
适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.
练习(教材第13页)
1.解:(1)不正确.-=2-. (2)不正确.+=2+3=5. (3)正确.3-=(3-1)×=2.
2.解:(1)2-6=(2-6)=-4. (2)-+=4-2+=(4-2+1)=3. (3)+(-)=3+(7-3)=10-3. (4)(+)-=2+-+=3+.
3.解:d=R-r= - ≈ - =-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.
二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)
计算:
(1)+3- -;
(2)--a2 +(a>0,b≥0).
解:(1)原式=2+2--=0.
(2)原式=a-b-a+=(1-b).
第课时
在有理数的混合运算及整式的混合
( http: / / www.21cnjy.com )运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.
1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.
2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.
【重点】 能熟练进行二次根式的混合运算.
【难点】 灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习总结二次根式的加减运算的方法.
导入一:
教师节快要到了,为了表
( http: / / www.21cnjy.com )示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800
cm2,另一张面积为4500
cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2
m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗 若不够用,还需要购买多长的金彩带
引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.
如何计算呢 通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.
[设计意图] 创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.
导入二:
让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗
计算:
(1)+;(2)×;(3)÷.
学生计算交流后,提出问题:
(+)应怎样计算 乘法分配律依然可以应用吗
本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.
[设计意图] 通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.
1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用
思路一
[过渡语] 下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗
(1)怎样计算4(+)
引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.
4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.
(2)怎样计算(+2)(-2)
引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.
(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.
(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢
学生讨论,用完全平方公式计算.
(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.
(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.
进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.
[设计意图] 用类比的方法探
( http: / / www.21cnjy.com )索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.
思路二
(1)请同学们完成下列各题:
计算:
①(2x+y)·zx;
②(2x2y+3xy2)÷xy;
③(2x+3y)(2x-3y);
④(2x+1)2+(2x-1)2.
学生计算后,老师点评.这些内
( http: / / www.21cnjy.com )容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.
如果把上面的x,y,z改成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立.
整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.
下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.
(+)×=(2+3)×=5×=10,
(+)×=×+×=4+6=10.
引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.
(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.
小组讨论后,全班交流.
[知识拓展] (1)适用于二次根
( http: / / www.21cnjy.com )式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.
2.二次根式的混合运算
[过渡语] 二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗
怎样计算(-2)(2-)
同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.
(-2)(2-)
=×2-×-2×2+2×
=6--4+4
=-5+10.
教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.
3.例题讲解
[过渡语] 刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.
(教材例3)计算:
(1)(+)×;
(2)(4-3)÷2.
引导学生先观察式子的特点,确定:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.
解:(1)(+)×
=×+×
=+
=4+3.
(2)(4-3)÷2
=4÷2-3÷2
=2-.
(教材例4)计算:
(1)(+3)(-5);
(2)(+)(-).
学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.
解:(1)(+3)(-5)
=()2+3-5-15
=2-2-15
=-13-2.
(2)(+)(-)
=()2-()2
=5-3
=2.
[知识拓展] (1)像(+)与
( http: / / www.21cnjy.com )(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.
[设计意图] 通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
关于二次根式的四则混合运算,实质上就
( http: / / www.21cnjy.com )是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.
1.下列各式计算正确的是 ( )
A.-2=-
B.=4a(a>0)
C.=×
D.÷=
解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.
2.下列计算正确的是 ( )
A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3
B.(2+)(-)=2x-y
C.(3-)2=32-()2=6
D.(+)(-)=1
解析:(3-2)(3+2)=9-8=1
( http: / / www.21cnjy.com ),所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.
3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是 ( )
A.0 B. C.2+ D.2-
解析:把x=2-代入代数式
( http: / / www.21cnjy.com )(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.
4.计算:
(1)×;
(2)-;
(3)÷- ×+.
解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4. (2)原式=-=3+2--1=2+. (3)原式=-+2=4+.
第2课时
1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用
2.二次根式的混合运算
3.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简-(1-)的结果是 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于 ( )
A. B.2 C.3 D.2
3.计算(-)+的值是 .
4.计算-(5-)的值为 .
【能力提升】
5.计算:--+|2-|.
6.计算:
(1)-2;(2) +-;
(3)(5+2)(5-2);(4).
7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.
8.已知x=-1,y=+1,求+的值.
【拓展探究】
9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2 -的值.
10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1175~1
( http: / / www.21cnjy.com )250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【答案与解析】
1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)
2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对
( http: / / www.21cnjy.com )称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)
3.2(解析:原式=2-+=2.)
4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)
5.解:原式=2--2+2-=.
6.解:(1)-2=+1-2=-1=1. (2) +-= +-=+2-10=+2-10=-. (3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13. (4)=12-2××+=12-8+=.
7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.
8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.
9.解:∵4x2+y2-4x-6y+1
( http: / / www.21cnjy.com )0=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2 -x2 +5x =2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=× +6 =+3.
10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,n-===××1=1.
教学中强调了前面学过的运算法则和运算
( http: / / www.21cnjy.com )律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.
过分注重了探究整式的乘法法则和
( http: / / www.21cnjy.com )公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.
适当增加变式练习,增加二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.
练习(教材第14页)
1.解:(1)(+)=+. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )(+)÷=+=4+2. (3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5. (4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.
2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9.
(2)(+)(-)=()2-()2=a-b. (3)(+2)2=()2+4+22=7+4. (4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.
习题16.3(教材第15页)
1.解:计算均不正确.理由如下:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.
2.解:(1)2+=4+3=7. (2)- =3-=. (3)+6 =2+3=5. (4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.
3.解:(1)-+=3-4+=0. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )-+-=5-3+4-6=-. (3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+. (4)(+)-(+)=+--=--.
4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10. (2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.
(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20. (4)+÷=÷+÷= + =+.
5.解:5 - +=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.
6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12. (2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.
7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠A
( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.
9.提示:(1)x1=,x2=-. (2)x1=-5+2,x2=-5-2.
复习题16(教材第19页)
1.解:(1)由二次根式的意义
( http: / / www.21cnjy.com ),可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义. (2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义. (3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时, 在实数范围内有意义. (4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时, 在实数范围内有意义.
2.解:(1)==10. (2)==2. (3) = = =. (4) = =. (5)=··=xy. (6) = =.
3.解:(1)-=-=2---=-. (2)2×÷5=(×÷)=×==. (3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6. (4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3 =4-=-. (5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12. (6)===-2××+=-+=5-.
4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).
5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.
6.解:∵x=2-,∴(7+4)
( http: / / www.21cnjy.com )x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+=2+.
7.解:由Q=I2Rt,得I= ,当R=5,t=1,Q=30时,I= =≈2.45(A).
8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.
9.解:(1)略. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )由题意可知 由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代
1.理解二次根式的概念.
2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).
3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0), =(a≥0,b>0).
4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.
1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问
( http: / / www.21cnjy.com )题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.
2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.
3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.
4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它
( http: / / www.21cnjy.com )们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.
1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.
2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.
二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容
( http: / / www.21cnjy.com ),它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.
本章内容分为三节,第一节
( http: / / www.21cnjy.com )主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.
【重点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式乘除法的法则及其运用.
3.最简二次根式的概念.
4.二次根式的加减运算.
【难点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式的乘法、除法的条件限制.
3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.
1.通过前面的学习,我们已经知道了平
( http: / / www.21cnjy.com )方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.
2.对于一些重要结论,要注意经历
( http: / / www.21cnjy.com )观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.
3.熟练掌握二次根式的概念和运算
( http: / / www.21cnjy.com )需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.
16.1二次根式
2课时
16.2二次根式的乘除
2课时
16.3二次根式的加减
2课时
单元概括整合
1课时
16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
第课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花
( http: / / www.21cnjy.com )园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
[设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 .
(2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 .
学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130
m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由
( http: / / www.21cnjy.com )落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3) .
[设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,, 分别表示什么意义 它们有什么共同特征
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
[设计意图] 让学生在
( http: / / www.21cnjy.com )填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
思路二
像,,, 这样的式子有什么共同特点呢
学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.
教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
引导学生说一说对二次根式的认识:
(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.
[设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
2.例题讲解
[过渡语] 二次根式的定义怎样理解 让我们一起来学习几个例题.
下列各式中,哪些是二次根式 并指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0).
引导学生观察根指数和被开方数分析发现
( http: / / www.21cnjy.com ):显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
[解题策略] ①当被开方数形式是含有
( http: / / www.21cnjy.com )字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.(其中a<0)
〔解析〕 的被开方数-9<0,的
( http: / / www.21cnjy.com )被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.
(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义
引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
解:由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
【变式训练】 若式子1+有意义,则x的取值范围是 .
〔解析〕 根据二次根式的性质可知:x+
( http: / / www.21cnjy.com )1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.
[易错分析] 容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.
[设计意图] 通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.
[知识拓展] (1)二次根式的定义
( http: / / www.21cnjy.com )是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零
1.已知下列各式:,(a≥2),, ,其中二次根式的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.
2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥ B.x≥-
C.x> D.x≠
解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.
3.当x= 时,二次根式有最小值,其最小值是 .
解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
答案:-3 0
4.求下列各式中字母a的取值范围:
(1);(2) ;(3);(4).
解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.
( http: / / www.21cnjy.com )∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时
1.二次根式的概念
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若 是二次根式,则下列结论正确的是 ( )
A.x≥0,y≥0 B.x>0,y>0
C.x,y同号 D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是 ( )
A.m>6 B.m<6
C.m>-6 D.m<-6
3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是 .
【能力提升】
5.当x 时,+在实数范围内有意义.
6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则xy= .
7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.
8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.
【拓展探究】
9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)
2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)
3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)
4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:要使
( http: / / www.21cnjy.com )+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即 由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)
7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-
( http: / / www.21cnjy.com )y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.
9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的
( http: / / www.21cnjy.com )条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.
我们经常说过程比结果更重要
( http: / / www.21cnjy.com ).我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习
( http: / / www.21cnjy.com ),层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.
练习(教材第3页)
1.解:设长方形的长和宽分别为3a
c
( http: / / www.21cnjy.com )m,2a
cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3
cm,宽取2
cm.
2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,
( http: / / www.21cnjy.com )有意义. (2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义.
(3)当-a≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.
若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.
〔解析〕 根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.
解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.
当x=±2时,y=-3.
①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;
②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.
所以x+2y的值是-4或-8.
[解题策略] 根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.
已知(3a-6)2+=0,求ba的值.
〔解析〕 根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.
解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,
所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.
此时ba=32=9.
[解题策略] 本题考查了非负数的性质,初中
( http: / / www.21cnjy.com )阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.
第课时
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 自学教材第3~4页的内容.
导入一:
教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
[设计意图] 以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.什么叫二次根式
2.当a≥0时,叫什么 当a<0时,有意义吗
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
[设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.
思路一
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
[过渡语] 我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).
提问:你能解释下列式子的含义吗
()2,()2,,()2.
学生口述,教师根据情况评价.
()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
()2= ;()2= ;= ;()2= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义
( http: / / www.21cnjy.com ),是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗
引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
(教材例2)计算:
(1)()2;(2)(2)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
〔解析〕 (1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.
解:(1)()2=1.5.
(2)(2)2=22×()2=4×5=20.
[解题策略] 把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.
【变式训练】 计算:(-2)2.
〔解析〕 把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.
解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.
[知识拓展] 形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的
( http: / / www.21cnjy.com )过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
[过渡语] 我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).
提问:你能解释下列式子的含义吗
,, ,.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根; 表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
= ;= ; = ;= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴ =,因此 =;∵0=02,∴=0,因此=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗
引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).
(教材例3)化简:
(1); (2).
引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.
学生独立完成,集体订正.
解:(1)==4.
(2)==5.
[知识拓展] (1)中的a的取值
( http: / / www.21cnjy.com )范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).
小组讨论:()2和有什么关系
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.
思路二
请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:
1.(1)填空:()2= ;()2= ;= ;()2= ;= ;()2= .
(2)猜想当a≥0时,()2= .
2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.
== ;== ;== ;== ;….
通过观察,你得到的结论是什么 试着说一说.
(2)发现:当a≥0时,= ,当a<0时,= .
学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.
1.(1)根据算术平方根与乘方运算
( http: / / www.21cnjy.com )的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16; =,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.
(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.
归纳并板书:
二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).
提问:()2和有什么关系
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=
[设计意图] 在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.
3.代数式
提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征
学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.
这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.
[设计意图] 学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.
4.例题讲解
(补充)计算:(-5)2, ,- .
〔解析〕 利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.
解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.
= =.
- =- =-.
(补充)比较2与3的大小.
〔解析〕 直接比较这两个二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.
解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,
又∵44<45,且2>0,3>0,
∴2<3.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
()2=a(a≥0)
任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身
被开方数a是非负数
=|a|=
任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值
底数a可以是任何实数
代数式
用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式
①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
1.计算的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
解析:==3.故选B.
2.下列各式:①m2-3;② (a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.
3. + 的值是 .
解析: + =2+2=4.故填4.
4.(1)当x 时,=2-x成立;
(2)计算= .
解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.
答案:(1)≤2 (2)π-3
5.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.
解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.
(4)(-)2=(-1)2×()2=15.
第2课时
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
例1
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
例2
3.代数式
4.例题讲解
例3 例4
一、教材作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次根式的值为3,那么x的值是( )
A.3 B.9 C.-3 D.3或-3
2.若=1-2a,则 ( )
A.a< B.a≤
C.a> D.a≥
3.(2015·杭州中考)若k<
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为 ( )
A.2a+b B.-2a+b
C.b D.2a-b
【能力提升】
5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是 .
6.在实数范围内分解因式:
(1)x2-3= ;
(2)n5-6n3+9n= .
7.列出下列代数式:
(1)面积为3的圆的半径;
(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.
8.计算:(1) ;(2)(3)2;(3);(4)-;(5) .
9.先化简,再求值:-,其中x=6.
【拓展探究】
10.对于题目“化简并求值:+ ,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.
甲的解答是:+ =+ =+-a=-a=;乙的解答是:+ =+ =+a-=a=.
谁的解答是错误的 为什么
【答案与解析】
1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)
2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)
3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)
4.C(解析:观察图可知a
( http: / / www.21cnjy.com )<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)
5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)
6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+
( http: / / www.21cnjy.com ))2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)
7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .
8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.
9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.
10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.
解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以 ≠a-,而应是 =-a.
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,
( http: / / www.21cnjy.com )让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.
在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.
练习(教材第4页)
1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.
2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.
习题16.1(教材第5页)
1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,
( http: / / www.21cnjy.com )∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.
2.解:(1)()2=5.
( http: / / www.21cnjy.com )(2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.
3.解:(1)设圆的半径为R,由
( http: / / www.21cnjy.com )圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±
.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为
. (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x·3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.
4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.
5.解:由题意可知πr2=π·22+π·32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.
6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x·4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.
7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论
( http: / / www.21cnjy.com )x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.
8.解:设h=kt2,
则由题意,得2
( http: / / www.21cnjy.com )0=k×22,解得k=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为
s和
s.
9.解:(1)由题意知18-n≥0
( http: / / www.21cnjy.com )且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.
10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时,
r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.
如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.
〔解析〕 根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.
解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,
∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.
[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.
已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .
〔解析〕 根据三角形三边的
( http: / / www.21cnjy.com )关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.
[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.
化简:.
〔解析〕 题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.
解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;
当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.
[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.
16.2 二次根式的乘除
1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.
【难点】 综合运用有关法则和性质化简二次根式.
第课时
1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.
2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.
【难点】 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的定义和代数式的定义.
导入一:
古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的菜地,测得三边的长分别为7
m,5
m,8
m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗
原来海伦先算出三角形的周长的一半
( http: / / www.21cnjy.com )为10
m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢 这节课我们一起来进行探讨.
[设计意图] 创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.
导入二:
我们知道长方形的面积等于长乘宽,一
( http: / / www.21cnjy.com )个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗 其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗
[设计意图] 联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.
1.二次根式的乘法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)×= ,= ;
(2)×= ,= ;
(3)×= ,= .
参考上面的结果,用“>,<或=”填空.
× ,× ,× .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
老师点评:(1)被开方数都是正数;(
( http: / / www.21cnjy.com )2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
提问:二次根式的乘法法则是什么 字母表达式是怎样的
学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
[设计意图] 培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.
[知识拓展] (1)·
( http: / / www.21cnjy.com )=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).
思路二
出示教材第6页“探究”.
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)×= ,= ;
(2)×= , ;
(3)×= ,= .
学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.
教师演算: ×=×5=, = =,则 ×= .
由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
[过渡语] 你会应用二次根式的乘法法则吗
尝试练习(教材例1):
计算:(1)×;(2) ×.
学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.
[设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.
2.积的算术平方根的性质
思路一
[过渡语] ·=反过来也成立吗
计算并思考:
①== ,×=2×5= ;
② = = ,× =6×= ;
③== ,×=0.1×3= .
你认为= (a≥0,b≥0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:
根据算术平方根的意义,得==10
( http: / / www.21cnjy.com ),×=2×5=10,则=×;同样, = =,× =6×=,则有=× ;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
进一步明确:=·(a≥0,b≥0).
[设计意图] 让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.
思路二
[过渡语] 把·=反过来,就得到=·,利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
化简:(1);(2)(m>0).
学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;
(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.
解:(1)原式=×=20.
(2)原式==·=9m.
教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).
[设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展] (1)当
( http: / / www.21cnjy.com )a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.
3.例题讲解
(教材例1)计算:
(1)×;(2) ×.
引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.
解:(1)×=.
(2) ×= ==3.
(教材例2)化简:
(1); (2).
教师引导发现:被开方数4a2b3
( http: / / www.21cnjy.com )含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.
解:(1)=×=4×9=36.
(2)=··=2·a·=2ab.
(教材例3)计算:
(1)×;(2)3×2;(3)· .
〔解析〕 根据二次根式的乘法法
( http: / / www.21cnjy.com )则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.
解:(1)×===×=7.
(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.
(3)· = ==·=x.
[解题策略] 化简二次根式的方法
( http: / / www.21cnjy.com ):①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
【变式训练】 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.
(1)=×;
(2) ×=4× ×=4× =4=8.
解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.
(2)不正确.改正: ×= ×= ==4.
[设计意图] 让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.·=(a≥0,b≥0
( http: / / www.21cnjy.com )),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).
2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
1.若=·,则a的取值范围是 ( )
A.-4≤a≤4 B.a>-4
C.a≤4 D.-4
2.下列各式成立的是 ( )
A.4×2=8
B.5×4=20
C.4×3=7
D.5×4=20
解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.
3.一个长方形的长和宽分别是
cm和
cm,则这个长方形的面积是 .
解析: ×= =25(cm2).故填25
cm2.
4.已知x>0,y>0,则·= .
解析:·=·=·=xy.故填xy.
5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).
解:(1)=×=6×9=54. (2)=··=3·a·=3a·=3ab.
6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3 ×5;(4)· .
解:(1)×==6. (2)4×7=4×7=28=252. (3)3 ×5=3×5 =15. (4)· = =a.
第1课时
1.二次根式的乘法
2.积的算术平方根的性质
3.例题讲解
例1 例2 例3
一、教材作业
【必做题】
教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各数中,与的积为有理数的是 ( )
A. B.3 C.2 D.
2.(2015·安徽中考)计算×的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
3.已知m=×(-2),则有 ( )
A.5
A.k
5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是
cm,宽是
cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是 .
6.·是一个整数,那么最小正整数a的值为 .
7.计算:(1)× ×;
(2)×0.5(a≥0);
(3)×(-)×.
8.一个底面为30
cm×30
( http: / / www.21cnjy.com )
cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10
cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20
cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)
9.若y=,且x,y为实数,求·的值.
【拓展探究】
10.观察下列各式: =2 , =3 , =4 ,….
(1)你能发现上述式子有什么规律吗 将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是 ;
(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;
(3)请你验证所发现的规律.
【答案与解析】
1.C(解析:因为×=,而为无理数,所以选项
( http: / / www.21cnjy.com )A错误;因为3×=3,而3是无理数,所以选项B错误;因为2×=6,而6是有理数,所以选项C正确;因为×=3,而3为无理数,所以选项D错误.故选C.)
2.B(解析:∵·=(a,b都是非负数),∴×====4.故选B.)
3.A(解析:m=×(×)=××=2.∵25<28<36,∴<<,即5<2<6.故选A.)
4.D(解析:化简二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,则m
cm(解析:设圆的半径为r
cm,则πr2=·,r=.)
6.2(解析:因为50=52×2,所以50×2=52×22,因此a的最小整数值为2.)
7.解:(1)× ×=× × = ==4. (2)×0.5===abc. (3)×(-)×=×=×=60.
8.解:设铁桶的底面边长为x
cm,则x2×10=30×30×20,x2=30×30×2,所以x==30,所以铁桶的底面边长是30
cm.
9.解:由已知得4-x2≥0,x2-4≥0且x≠-2,∴x=2,∴y=.当x=2,y=时,·= ·= =.
10.解析:解决这类问题的方法是先观
( http: / / www.21cnjy.com )察已知几个等式的数字特征,从而发现各式的数字变化规律,归纳出几个式子所反映的一般规律,这种探索性解题的方法在今后的学习中经常用到,望同学们引起高度重视.
解:(1) =(n+1) (n为正整数)
(2)当n=9时,可得到第9个式子为: =10 . (3)因为左边= = = =(n+1) =右边,所以 =(n+1) (n为正整数).
本节课以问题的方式提出
( http: / / www.21cnjy.com )要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
学生基本掌握了二次根式的乘法法则和
( http: / / www.21cnjy.com )积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.
进一步放手让学生自学本节内容,让学生
( http: / / www.21cnjy.com )在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
练习(教材第7页)
1.解:(1)×==. (2)×===6. (3)2× =2 =2. (4)× = ==2.
2.解:(1)=×=7×11=77. (2)==15. (3)=·=2. (4)=···=4bc.
3.解:S=×2=2=2=2×=4.
教材设计意图
本节课主要内容是二次根式的乘法运算和二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式的化简,通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法,建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.
探究二次根式的乘法法则,教材从具体例
( http: / / www.21cnjy.com )子出发,由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目,引导学生利用二次根式的性质,从具体数字的运算中发现规律,进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律,然后是让学生对发现的规律进行类比,得出乘法法则的具体内容.
为了使学生更全面地了解二次根式的运算,提高
( http: / / www.21cnjy.com )学生的运算能力,也为今后的数学学习打下必要的基础,教材在正文中设置了“选学例题”,采用举例的方式,让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算.由于数式通性,只要将二次根式中的实数看成字母,二次根式的运算实际上就是整式的运算.
将二次根式的乘法法则·=反过
( http: / / www.21cnjy.com )来,就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习,应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识,即在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方的因数或因式开出来,这一点教材利用了一个小贴士加以说明.
第课时
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
【重点】 会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【难点】 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的乘法法则.
导入一:
化育中学有一块直角三角形的花台,
( http: / / www.21cnjy.com )计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC=
m,BC=3
m,你能求出斜边AB的边长吗 在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== = .
在上面的问题中,你会计算 的结果吗 学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.
[设计意图] 创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的
学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.
2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.
(1)= , = ;(2)= , = ;
教师巡视学生举例和计算结果是否正确.
这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.
1.二次根式的除法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律
(1)= , = ;
(2)= , = ;
(3)= , = .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
提问:二次根式的除法法则是什么 字母表达式是怎样的
学生总结二次根式除法的法则:
= (a≥0,b>0).
即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
追问:a,b的取值范围为什么不同
学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.
[设计意图] 运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.
思路二
,
.
提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢
引导学生比较计算结果,发现规律.
因为=, =,所以= ;因为=, =,所以= .
由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.
明确二次根式的除法法则:= (a≥0,b>0).
[过渡语] 你会应用二次根式的除法法则吗
尝试练习:
(教材例4)计算:
(1); (2) ÷ .
学生利用= (a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.
解:(1)= ==2.
(2) ÷ = = ==3.
[设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.
[知识拓展] (1)当被除
( http: / / www.21cnjy.com )式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷= ==2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.
2.商的算术平方根的性质
思路一
[过渡语] = (a≥0,b>0)反过来也成立吗
(1) = ,= ;
(2) = ,= ;
(3) = ,= .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
你认为 = (a≥0,b>0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
[设计意图] 让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.
思路二
[过渡语] 二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗
学生阅读教材第8页内容:把= (a≥0,b>0)反过来,就得到 =(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
(教材例5)化简:
(1) ; (2) .
学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.
解:(1) ==.
(2) = ==.
引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,
即 =(a≥0,b>0).
[设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展] (1)当a<0,b<0时,虽
( http: / / www.21cnjy.com )然 有意义,但是 = ,而不等于 .(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如 必须化成 ,防止出现 =× 这样的错误.
3.最简二次根式
[过渡语] 你能用积的算术平方根和商的算术平方根化简吗
化简:= ; = .
学生独自练习后,教师讲解.
由于27可以分解为32×3,根据=·(a
( http: / / www.21cnjy.com )≥0,b≥0),则有=×=3, 可以根据 =(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有 ===.
追问:观察化简结果3和,它们有什么特点 自己可以再举例说明.
引导学生从上面两小题化简的过程来看:
(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;
(2)把被开方数中所含有的分母化去.
进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条
( http: / / www.21cnjy.com )件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.
[知识拓展] (1)在二次根
( http: / / www.21cnjy.com )式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.
4.例题讲解
(教材例6)计算:
(1); (2); (3).
先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.
解法1:(1)= = = ==.
解法2:(1)===.
解:(2)======.
(3)===.
[解题策略] 化简二次根式的方法:①把被开
( http: / / www.21cnjy.com )方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.
学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.
分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.
解:a=====.
[设计意图] 通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.= (a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
2. =(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.如果一个二次根式满足
( http: / / www.21cnjy.com )以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.
1.下列计算正确的是 ( )
A. ==
B. ==
C. = ==
D. =± =±
解析:当a<0,b<0时,虽然 有意义,但是 =,而不等于,因此 = ==.故选C.
2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解析:=2,=2, =,均不是最简二次根式.故选A.
3.计算4÷2的结果是 .
解析:4÷2 =(4÷2)× =2×=2×3x=6x.故填6x.
4.计算:(1);(2);(3);(4).
解:(1)= =. (2)= =. (3)= =. (4)=- =-=-1.
5.计算:(1) (y>0);(2)- ÷ ;(3) .
解:(1) ==. (2)- ÷ =- =-3. (3) ==.
第1课时
1.二次根式的除法
例1
2.商的算术平方根的性质
例2
3.最简二次根式
4.例题讲解
例3 例4
一、教材作业
【必做题】
教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若等式÷= 成立,则实数a应是 ( )
A.正实数 B.大于-1的实数
C.非负实数 D.非正实数
2.下列各式正确的是 ( )
A.=16 B. ÷ =1
C.= D.=9
3.下列根式中最简二次根式有 ( )
, ,,,,,.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.计算的结果是 ( )
A.4b B.2 C. D.
【能力提升】
5.(2015·南京中考)计算的结果是 .
6.长方形的长为3,面积为30,要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形,则该正方形的面积是 .
7.计算:(1)× ÷;
(2) ×÷;
(3).
【拓展探究】
8.已知x=×,y=×,试比较x与y的大小.
【答案与解析】
1.C(解析:由被开方数的非负性和除数不为零,可得a为非负实数.)
2.C(解析:A的结果为4;B的结果为;D的结果为3.故选C.)
3.A(解析:,是最简二次根式.故选A.)
4.D(解析:====.故选D.)
5.5(解析:=×=5.)
6.60(解析:30÷3=2,=60.)
7.解:(1)原式=÷==2. (2)原式=- × ÷=-×4 =-. (3)原式==3×2=6.
8.解:设a=2013,则x=×==,y=×==.∵a2+3a+2>a2+3a,∴x
( http: / / www.21cnjy.com )解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.
在总结二次根式乘法一课的学习方法之
( http: / / www.21cnjy.com )后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.
练习(教材第10页)
1.解:(1)÷===3. (2)= ==2. (3)÷= = =. (4) ÷ = = ==2a.
2.解:(1)==4. (2)==2. (3)= =. (4) ===.
3.解:由题意,知S=ab,∵S=16,b=,∴a×=16,∴a===.
习题16.2(教材第10页)
1.解:(1)×=2×3=6=6×3=1
( http: / / www.21cnjy.com )8. (2)×(-)=-=-3. (3)××=3×2×5=30=30. (4)=3×4=12=12×2=24.
2.解:(1)÷===. (2)==2. (3)÷===. (4)==.
3.解:(1)=×=2×7=14. (2)=×=10. (3)==. (4)==.
4.解:(1)==. (2)===. (3)====. (4)==. (5)==y. (6)=-×=-=-×3=-.
5.解:(1)当a=1,b=10,c=-15时,====-5+2.
(2)当a=2,b=-8,c=5时,====2+.
6.解:(1)由题意可知S=ab,
( http: / / www.21cnjy.com )∵a=,b=,∴S=×===4. (2)由题意可知S=ab,∵a=2,b=3,∴S=2×3=10×12=10×12×2=240.
7.解:(1)由题意可知S=a2,
( http: / / www.21cnjy.com )∵S=50,∴50=a2,∴a==5(负值已舍去). (2)由题意可知S=a2,∵S=242,∴242=a2,∴a==11(负值已舍去).
8.解:(1)×===.
(2)×===. (3)×===. (4)×÷====3×5=15.
9.解:∵≈1.414,∴=
( http: / / www.21cnjy.com )≈×1.414=0.707,即≈0.707.∵≈1.414,∴=2≈2×1.414=2.828,即≈2.828.
10.解:∵S=ab,S=4,a=,∴b=4,∴b=====.
11.解:∵V=S·h,V=4,h=3,∴S====.
12.解:由题意知截去的两个小正
( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长分别为
cm和
cm,而留下的是两个全等的小长方形,其宽为
cm,长为
cm,∴留下部分的面积=2××=2×=2×6=12(cm2).
13.解:(1)==10. (2)==100. (3)==1000. (4)==10000. 10n
本节内容在中考中主要考查二次根式的
( http: / / www.21cnjy.com )化简,题型一般为选择题和填空题,有时出现二次根式化简和混合运算综合题,但难度不大,掌握二次根式的乘除法法则及最简二次根式就能顺利解答.
(2014·山东中考)下列式子中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
〔解析〕 判断一个二次根式是否为最
( http: / / www.21cnjy.com )简二次根式的主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断.选项A:=3,故A选项错误;选项C:=2,不是最简二次根式,故C选项错误;选项D: =,不是最简二次根式,故D选项错误.故选B.
(2014·济宁中考)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:① =,② · =1,③÷ =-b,其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
〔解析〕 ∵ab>0,a+b<0
( http: / / www.21cnjy.com ),∴a<0,b<0.①中,等号右边被开方数小于零,无意义,∴①不正确;②中,根据二次根式乘法法则得 · ===1,∴②正确;③中,÷ == ==|b|=-b,∴③正确.故选B.
(2014·河北中考)计算:× = .
〔解析〕 运用二次根式乘法法则计算,然后化简.× = ==2.故填2.
16.3 二次根式的加减
1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.
2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.
1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.
2.培养学生的计算能力.
鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.
【重点】 二次根式的加减运算.
【难点】 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.
第课时
理解和掌握二次根式加减的方法.
先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.
体会合作学习的乐趣.
【重点】 二次根式加减法的运算.
【难点】 快速准确进行二次根式加减法的运算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习整式的计算.
导入一:
(出示教材第12页问题)现有一块长
( http: / / www.21cnjy.com )7.5
dm,宽5
dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8
dm2和18
dm2的正方形木板
( http: / / www.21cnjy.com )
提问:①大、小正方形木板的边长分别为
dm和
dm,木板是否够宽 ②木板是否够长呢 ③怎样计算+的结果呢
引导学生思考,并进行交流.
两个小正方形的边长分别为
dm和
( http: / / www.21cnjy.com )
dm,均小于5
dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为
dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.
怎样计算+呢 下边我们来探究二次根式的加减.
[设计意图] 设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.
导入二:
我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件
(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
[过渡语] 二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗
提问:-=正确吗
本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.
[设计意图] 复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.
1.二次根式的加减法
[过渡语] 我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢
思路一
教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:
+=2+3.
追问:可以像合并同类项那样合并吗
学生小组讨论回答:相当于
( http: / / www.21cnjy.com )x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.
师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.
[设计意图] 使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.
思路二
(1)合并同类项:
①2x+3x= ;
②2a2-3a2+5a2= .
(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.
①2+3= ;
②2-3+5= .
学生回顾,合并同类项就是把系数
( http: / / www.21cnjy.com )相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.
追问:第(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢
学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.
引导学生总结:第(2)问中的①和
( http: / / www.21cnjy.com )②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.
教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
[知识拓展] (1)合并就是把二次
( http: / / www.21cnjy.com )根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.
2.例题讲解
(教材例1)计算:
(1)-; (2)+.
引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.
由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.
解:(1)-=4-3=.
(2)+=3+5=8.
(教材例2)计算:
(1)2-6 +3;
(2)+.
指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗
学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.
解:(1)2-6 +3=4-2+12=14.
(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.
[方法归纳] 二次根式的加减运算
( http: / / www.21cnjy.com ),第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;
②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;
③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.
1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是 ( )
A.+= B.4-3=1
C.2×3=6 D.÷=3
解析:A.不是同类二次根式,不能合并
( http: / / www.21cnjy.com ),故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.
2.以下二次根式:①,②,③ ,④中,化简后与被开方数相同的是( )
A.①和② B.②和③
C.①和④ D.③和④
解析:①=2;②=2;③ =;④=3.故选C.
3.(2015·重庆中考)计算3-的值是 ( )
A.2 B.3 C. D.2
解析:3-=(3-1)=2.故选D.
4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为 .
解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.
5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=
解析:由题意得4a2+1=6a2-1,解得a=±1.故填±1.
6.计算:
(1)2+3-3+;
(2)-5 +.
解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4. (2)-5 +=2-5×+==.
第1课时
1.二次根式的加减法
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·衡阳中考)计算-= .
2.(2014·遵义中考)计算+= .
3.若+2 +x =10,则x的值等于 .
【能力提升】
4.计算4 +3 -的结果是 ( )
A.+ B.
C. D.-
5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是 ( )
A.3-3 B.
C.1 D.3
6.计算:
(1)-2;
(2)+ ;
(3)5+5-+;
(4)-2.
7.如图所示,面积为48
cm2
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形的四个角都是面积为3
cm2的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.
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【拓展探究】
8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.
李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).
【答案与解析】
1.(解析:原式=2-=.)
2.4(解析:+=3+=4.)
3.2(解析:+2 +x =10化简得=2,故x=2.)
4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)
5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)
6.解:(1)-2=5-2=3. (2)+ =+=. (3)5+5-+=5+5-3+3=2+8. (4)-2=--+4=.
7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).
8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).
在授课过程中,以学生为
( http: / / www.21cnjy.com )主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.
在教学过程中,存在着一些不足之处.一是
( http: / / www.21cnjy.com )对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.
适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.
练习(教材第13页)
1.解:(1)不正确.-=2-. (2)不正确.+=2+3=5. (3)正确.3-=(3-1)×=2.
2.解:(1)2-6=(2-6)=-4. (2)-+=4-2+=(4-2+1)=3. (3)+(-)=3+(7-3)=10-3. (4)(+)-=2+-+=3+.
3.解:d=R-r= - ≈ - =-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.
二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)
计算:
(1)+3- -;
(2)--a2 +(a>0,b≥0).
解:(1)原式=2+2--=0.
(2)原式=a-b-a+=(1-b).
第课时
在有理数的混合运算及整式的混合
( http: / / www.21cnjy.com )运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.
1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.
2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.
【重点】 能熟练进行二次根式的混合运算.
【难点】 灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习总结二次根式的加减运算的方法.
导入一:
教师节快要到了,为了表
( http: / / www.21cnjy.com )示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800
cm2,另一张面积为4500
cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2
m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗 若不够用,还需要购买多长的金彩带
引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.
如何计算呢 通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.
[设计意图] 创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.
导入二:
让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗
计算:
(1)+;(2)×;(3)÷.
学生计算交流后,提出问题:
(+)应怎样计算 乘法分配律依然可以应用吗
本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.
[设计意图] 通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.
1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用
思路一
[过渡语] 下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗
(1)怎样计算4(+)
引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.
4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.
(2)怎样计算(+2)(-2)
引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.
(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.
(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢
学生讨论,用完全平方公式计算.
(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.
(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.
进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.
[设计意图] 用类比的方法探
( http: / / www.21cnjy.com )索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.
思路二
(1)请同学们完成下列各题:
计算:
①(2x+y)·zx;
②(2x2y+3xy2)÷xy;
③(2x+3y)(2x-3y);
④(2x+1)2+(2x-1)2.
学生计算后,老师点评.这些内
( http: / / www.21cnjy.com )容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.
如果把上面的x,y,z改成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立.
整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.
下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.
(+)×=(2+3)×=5×=10,
(+)×=×+×=4+6=10.
引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.
(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.
小组讨论后,全班交流.
[知识拓展] (1)适用于二次根
( http: / / www.21cnjy.com )式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.
2.二次根式的混合运算
[过渡语] 二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗
怎样计算(-2)(2-)
同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.
(-2)(2-)
=×2-×-2×2+2×
=6--4+4
=-5+10.
教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.
3.例题讲解
[过渡语] 刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.
(教材例3)计算:
(1)(+)×;
(2)(4-3)÷2.
引导学生先观察式子的特点,确定:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.
解:(1)(+)×
=×+×
=+
=4+3.
(2)(4-3)÷2
=4÷2-3÷2
=2-.
(教材例4)计算:
(1)(+3)(-5);
(2)(+)(-).
学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.
解:(1)(+3)(-5)
=()2+3-5-15
=2-2-15
=-13-2.
(2)(+)(-)
=()2-()2
=5-3
=2.
[知识拓展] (1)像(+)与
( http: / / www.21cnjy.com )(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.
[设计意图] 通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
关于二次根式的四则混合运算,实质上就
( http: / / www.21cnjy.com )是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.
1.下列各式计算正确的是 ( )
A.-2=-
B.=4a(a>0)
C.=×
D.÷=
解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.
2.下列计算正确的是 ( )
A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3
B.(2+)(-)=2x-y
C.(3-)2=32-()2=6
D.(+)(-)=1
解析:(3-2)(3+2)=9-8=1
( http: / / www.21cnjy.com ),所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.
3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是 ( )
A.0 B. C.2+ D.2-
解析:把x=2-代入代数式
( http: / / www.21cnjy.com )(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.
4.计算:
(1)×;
(2)-;
(3)÷- ×+.
解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4. (2)原式=-=3+2--1=2+. (3)原式=-+2=4+.
第2课时
1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用
2.二次根式的混合运算
3.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简-(1-)的结果是 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于 ( )
A. B.2 C.3 D.2
3.计算(-)+的值是 .
4.计算-(5-)的值为 .
【能力提升】
5.计算:--+|2-|.
6.计算:
(1)-2;(2) +-;
(3)(5+2)(5-2);(4).
7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.
8.已知x=-1,y=+1,求+的值.
【拓展探究】
9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2 -的值.
10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1175~1
( http: / / www.21cnjy.com )250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【答案与解析】
1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)
2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对
( http: / / www.21cnjy.com )称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)
3.2(解析:原式=2-+=2.)
4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)
5.解:原式=2--2+2-=.
6.解:(1)-2=+1-2=-1=1. (2) +-= +-=+2-10=+2-10=-. (3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13. (4)=12-2××+=12-8+=.
7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.
8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.
9.解:∵4x2+y2-4x-6y+1
( http: / / www.21cnjy.com )0=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2 -x2 +5x =2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=× +6 =+3.
10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,n-===××1=1.
教学中强调了前面学过的运算法则和运算
( http: / / www.21cnjy.com )律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.
过分注重了探究整式的乘法法则和
( http: / / www.21cnjy.com )公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.
适当增加变式练习,增加二
( http: / / www.21cnjy.com )次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.
练习(教材第14页)
1.解:(1)(+)=+. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )(+)÷=+=4+2. (3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5. (4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.
2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9.
(2)(+)(-)=()2-()2=a-b. (3)(+2)2=()2+4+22=7+4. (4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.
习题16.3(教材第15页)
1.解:计算均不正确.理由如下:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.
2.解:(1)2+=4+3=7. (2)- =3-=. (3)+6 =2+3=5. (4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.
3.解:(1)-+=3-4+=0. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )-+-=5-3+4-6=-. (3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+. (4)(+)-(+)=+--=--.
4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10. (2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.
(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20. (4)+÷=÷+÷= + =+.
5.解:5 - +=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.
6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12. (2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.
7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠A
( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.
9.提示:(1)x1=,x2=-. (2)x1=-5+2,x2=-5-2.
复习题16(教材第19页)
1.解:(1)由二次根式的意义
( http: / / www.21cnjy.com ),可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义. (2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义. (3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时, 在实数范围内有意义. (4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时, 在实数范围内有意义.
2.解:(1)==10. (2)==2. (3) = = =. (4) = =. (5)=··=xy. (6) = =.
3.解:(1)-=-=2---=-. (2)2×÷5=(×÷)=×==. (3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6. (4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3 =4-=-. (5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12. (6)===-2××+=-+=5-.
4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).
5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.
6.解:∵x=2-,∴(7+4)
( http: / / www.21cnjy.com )x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+=2+.
7.解:由Q=I2Rt,得I= ,当R=5,t=1,Q=30时,I= =≈2.45(A).
8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.
9.解:(1)略. (2)
( http: / / www.21cnjy.com )由题意可知 由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代