2017年数学八下 第17章《勾股定理》全章名师教案

第十七章　勾股定理
　1.掌握勾股定理,能应用勾股定理进行简单的计算和实际应用.
　2.掌握勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),会运用勾股定理逆定理解决相关问题.
　体验勾股定理的探索过程,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
　1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.
　2.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情.
　本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应
( http: / / www.21cnjy.com )用,教材从实践探索入手,给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用.勾股定理是安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后,它反映了直角三角形三边之间一种美妙的数量关系,将数与形密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置,在理论和实践上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,勾股定理知识将得到更重要的应用.
　【重点】　会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题,掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程,并会应用其解决一些实际问题.
　【难点】　掌握勾股定理的探索过程及适用范围,理解勾股定理及其逆定理.
　1.注重使学生经历探索勾股定理等过程.本
( http: / / www.21cnjy.com )章从实践探索入手,创设学习情境,研究勾股定理及它的逆定理,并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题.在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神,提高合作交流能力和解决实际问题的能力.
　2.注重创设丰富的现实情境,体现勾股定理
( http: / / www.21cnjy.com )及其逆定理的广泛应用.本章对勾股定理的探索就来源于生活,勾股定理的应用又直接应用于生活.因此,在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境,使学生能根据生活经验比较好地进行勾股定理应用的建模过程.教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段,以丰富课堂教学.
　3.尽可能地介绍有关勾股
( http: / / www.21cnjy.com )定理的历史,体现其文化价值.与勾股定理有关的背景知识丰富,在教学中,应注意展现与勾股定理有关的背景知识,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理的丰富文化内涵,激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情,培养他们的民族自豪感,同时教育学生发奋图强,努力学习,为将来担负起振兴中华的重任打下基础.
　4.注意渗透数形结合的思想.数形结合
( http: / / www.21cnjy.com )是重要的数学思想方法,本章内容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料,因此,应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.
17.1勾股定理
3课时
17.2勾股定理的逆定理
1课时
单元概括整合
1课时
17.1　勾股定理
　1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.
　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
　1.经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.
　2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.
　通过对勾股定理历史的了解和实例应
( http: / / www.21cnjy.com )用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
　【重点】　知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
　【难点】　勾股定理的灵活运用.
第课时
　1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.
　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
　1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.
　2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.
　通过对勾股定理历史的了解和实例应
( http: / / www.21cnjy.com )用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
　【重点】　探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
　【难点】　用拼图的方法验证勾股定理.
　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.
　【学生准备】　三角板、方格纸、三角形模型.
导入一:
　国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学
( http: / / www.21cnjy.com )术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.
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　大会的会徽图案有什么特殊
( http: / / www.21cnjy.com )含义呢 这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.
　我们学习过等腰三角形,
( http: / / www.21cnjy.com )知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢 我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.
　[设计意图]　勾股定理揭示的是特殊三
( http: / / www.21cnjy.com )角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.
导入二:
　请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思 它们之间有联系吗
　封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解
( http: / / www.21cnjy.com )《周髀算经》时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.
　目前世界上许多科学家正在试图寻找
( http: / / www.21cnjy.com )其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.
　你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗 本节课,我们一起来解读图中的奥秘.
　[设计意图]　以生活课本中的图案、故事导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.
导入三:
　如图所示,一座城墙高11.7
m,城墙外有一条宽为9
m的护城河,那么一架长为15
m的云梯能否达到城墙的顶端
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　这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理——“勾股定理”.
　[设计意图]　以学生熟悉的生活情境作为
( http: / / www.21cnjy.com )教学活动的切入点,使学生对问题产生兴趣.让学生主动去分析,发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”的主观愿望.
　1.探索勾股定理
　(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.
　　[过渡语]　(如教材第22页图)
( http: / / www.21cnjy.com )相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
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　师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢 (出示教材图17.1
-
2)
　(1)问题提出:在图17.1
-
2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系 三个正方形之间的面积关系说明了什么
　(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.
　学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
　(3)教师总结:通过直接数等
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　追问:在图17.1
-
2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗 如图所示.
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　[设计意图]　这个探索活动是学习、探
( http: / / www.21cnjy.com )索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.
　(2)探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.
　思路一
　　[过渡语]　除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗
　(出示教材图17.1
-
3)
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　提出问题:(结合带提示的下图)
　1.正方形A,B,C的面积分别是多少 它们之间的数量关系说明了什么
　2.正方形A',B',C'的面积分别是多少 它们之间的数量关系说明了什么
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　学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三
( http: / / www.21cnjy.com )角形的边长,分别计算出正方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'的面积.
　探究提示:正方形A,B的面
( http: / / www.21cnjy.com )积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.
　同理,正方形A',B'的面积分别为9
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　活动总结:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
　[设计意图]　由特殊到一般,借助网格
( http: / / www.21cnjy.com ),利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.
　思路二
　1.画一个两直角边长分别为3
cm和4
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cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.
　你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系
　学生计算后发现:32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
　学生讨论:对于任意的直角三角形,也有这个性质吗
　2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.
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A的面积
B的面积
C的面积
左上图
16
9
25
右下图
4
9
13
　探究提示:右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.
　学生计算后发现:小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.
　追问:由以上你能得出什么结论 若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系
　教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:a2+b2=c2.
　[设计意图]　通过学生画、量、算等形式,让
( http: / / www.21cnjy.com )学生在探究中发现结论,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.
　2.勾股定理的证明
　教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系
　教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
　追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗
　思路一
　(出示教材图17.1
-
5)让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.
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　图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为(b-a)2,则有c2=ab×4+(b-a)2,即a2+b2=c2.
　教师适时介绍:这个图案是公元3世纪
( http: / / www.21cnjy.com )汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.
　教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.
　[设计意图]　通过拼图活动,调动学生
( http: / / www.21cnjy.com )思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维,使学生对定理的理解更加深刻,体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.通过了解勾股定理的证明方法,增强学生学习数学的自信心.
　思路二
　学生利用拼图游戏验证定理,并思考:能用右图证明这个结论吗
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　已知:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c.
　求证:a2+b2=c2.
　(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.
　(2)拼成如图所示,其等量关系为4×ab+(b-a)=c2,化简可证.
　(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.
　利用下面这些图也能证明这个结论吗
　
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　教师指导学生验证.
　我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.
　请同学们用不同的表达方式(文字语言、符号语言)表述这一定理.
　勾股定理的名称介绍:3000多年前,我
( http: / / www.21cnjy.com )国古代有一个叫商高的人说:“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.因为勾股定理内容最早出现在商高的话中,所以又称“商高定理”.一千多年后,西方的毕达哥拉斯证明了此定理,因此又叫“毕达哥拉斯定理”,当时毕达哥拉斯学派为了纪念这一发现,杀了一百头牛庆功,故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此多的“头衔”,可见勾股定理的不凡.
　[设计意图]　通过拼图活动,充分
( http: / / www.21cnjy.com )调动学生的积极性,进一步激发学生的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.
　思路三
　　[过渡语]　以上猜想经过古今中外
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　1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗
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　证明:以a,b为直角边,以c为斜边作
( http: / / www.21cnjy.com )两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上.
　∵Rt△EAD≌Rt△CBE,
　∴∠ADE=∠BEC.
　∵∠AED+∠ADE=90°,
　∴∠AED+∠BEC=90°.
　∴∠DEC=180°-90°=90°.
　∴△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2.
　又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°,
　∴AD∥BC.
　∴四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2.
　∴(a+b)2=2×ab+c2.
　∴a2+b2=c2.
　学生思考后,教师再展示证明过程.
　[设计意图]　通过了解勾股定理的不同证明方法,丰富自己的知识;通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.
　[知识拓展]　解决直角三角
( http: / / www.21cnjy.com )形有关计算和证明的问题时,要注意:(1)求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.(2)要证明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.(3)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.
　3.例题讲解
　　(补充)在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度.
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　引导分析:如果直角三角形
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　解:(1)根据勾股定理,得AB===.
　(2)根据勾股定理,得AB===2.
　[解题策略]　在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题.
　　(补充)有两边长分别为3
cm,4
cm的直角三角形,其第三边长为　　　　
cm.
　〔解析〕　分情况讨论:当4
cm为直角边
( http: / / www.21cnjy.com )长时,当4
cm为斜边长时,依次求出答案即可.①当4
cm是直角边长时,斜边==5(cm),此时第三边长为5
cm;②当4
cm为斜边长时,第三边==(cm).综上可得第三边的长度为5
cm或
cm.故填5或.
　[解题策略]　注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.
　师生共同回顾本节课所学主要内容:
　1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.
　2.注意事项:
　(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.
　(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.
　(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即c=,b=,a=.
　1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是　　(　　)
　A.12　　　　B.13
　C.144　　D.194
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　解析:根据勾股定理知,斜边长的平方等于两直
( http: / / www.21cnjy.com )角边长的平方和,则字母B所代表的正方形的面积等于以三角形斜边长为边长的正方形的面积减去以另一直角边长为边长的正方形的面积,即169-25=144.故选C.
　2.如图所示,若∠A=60°,AC=20
m,则BC大约是(结果精确到0.1
m)　　(　　)
　A.34.64
m　　　　B.34.6
m
　C.28.3
m　　D.17.3
m
　解析:∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B
( http: / / www.21cnjy.com )=30°,∴AB=2AC,∵AC=20,∴AB=40,∴BC====20≈34.6(m).故选B.
　3.在Rt△ABC中,∠C=90°.
　(1)若a=3,b=4,则c=　　　　;
　(2)若b=6,c=10,则a=　　　　;
　(3)若a=5,c=13,则b=　　　　;
　(4)若a=1.5,b=2,则c=　　　　.
　解析::根据勾股定理计算即可.(1)c===5;(2)a===8;(3)b===12;(4)c===2.5.
　答案:(1)5　(2)8　(3)12　(4)2.5
　4.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
　(1)求DE的长;
　(2)求△ADB的面积.
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　解:(1)∵AD平分∠CA
( http: / / www.21cnjy.com )B,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3.　(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===10,∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15.
　第1课时
　1.探索勾股定理
　2.勾股定理的证明
　3.例题讲解
　例1　例2
一、教材作业
【必做题】
　教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.
【选做题】
　完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是　　(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.如图所示,有一张直角三角形纸
( http: / / www.21cnjy.com )片,两直角边长分别为AC=6
cm,BC=8
cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于　　(　　)
A.2
cm　　　　B.3
cm
C.4
cm　　　　D.5
cm
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3.(2015·黑龙江中考)△ABC中,A
( http: / / www.21cnjy.com )B=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是　　(　　)
A.4.8　　B.4.8或3.8
C.3.8　　D.5
4.如图所示,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是　　　　.
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【能力提升】
5.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足+=0,则该直角三角形的斜边长为　　　　.
6.如图所示,在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点,已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.
7.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长.
8.(2014·温州中考)勾股定理神秘
( http: / / www.21cnjy.com )而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形按图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明.
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下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按如图(1)所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,过点D作DF⊥BC于F,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a).
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按如图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接　　　　　　　　　　.
∵S五边形ACBED=　　　　　　　　　　,
又∵S五边形ACBED=　　　　　　　　　　,
∴　　　　　　　　　　.
∴a2+b2=c2.
【拓展探究】
9.如图所示,在平面直角坐标系中,
( http: / / www.21cnjy.com )Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,).点C的坐标为,点P为斜边OB上的一个动点,求PA+PC的最小值.
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【答案与解析】
1.A(解析:如图所示,∵AC=
( http: / / www.21cnjy.com )9,BC=12,∠ACB=90°,∴由勾股定理可得AB=15,再由等面积法可得×9×12=×15×CD,∴CD=.故选A.)
2.B(解析:由题意可知△ACD和△A
( http: / / www.21cnjy.com )ED关于直线AD对称,因而有△ACD≌△AED,所以AE=AC=6
cm,CD=ED,∠AED=∠ACD=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===10(cm).若设CD=ED=x
cm,则在Rt△BDE中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+(10-6)2=(8-x)2,解得x=3.所以CD=3
cm.)
3.A(解析:过A点作AF⊥BC于
( http: / / www.21cnjy.com )F,连接AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,∴在△ABF中,AF==3,∴×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5×(PD+PE),∴PD+PE=4.8.故选A.)
4.(解析:由题意知S△ABC=S正
( http: / / www.21cnjy.com )方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA=2×2-×1×2-×1×1-×1×2=.∵BC==,∴△ABC中BC边上的高是×2÷=.)
5.5(解析:∵+=0,∴a2-6a+
( http: / / www.21cnjy.com )9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,∵直角三角形的两直角边长分别为a,b,∴该直角三角形的斜边长===5.)
6.解:设CD=x.在R
( http: / / www.21cnjy.com )t△ACD中,由AD2=AC2-CD2,可得AD2=102-x2.在Rt△ABD中,由AD2=AB2-BD2,可得AD2=172-(x+9)2,所以102-x2=172-(x+9)2,解得x=6.∴AD===8.
7.解:当△ABC的高在三角形内时
( http: / / www.21cnjy.com ),如图(1)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122,
∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9+5=14,因此△ABC的周长为14+15+13=42.
当△ABC的高在三角形外时,如图(2)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122,∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9-5=4,因此△ABC的周长为4+15+13=32.综上所述,△ABC的周长为32或42.
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8.证明:如图所示,连接
( http: / / www.21cnjy.com )BD,过点B作BF⊥DE于F,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△AED=ab+b2+ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.
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9.解:如图所示,作A关于OB的对
( http: / / www.21cnjy.com )称点D,AD交OB于点M,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,由作图知DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD.∵B(3,),∴AB=,OA=3,由勾股定理得OB=2,易得在Rt△OAB中,∠AOB=30°.由三角形面积公式得×OA×AB=×OB×AM,∴AM=,∴AD=2×=3.∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=AD=,由勾股定理得DN=.∵C,∴CN=3--=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得DC==,即PA+PC的最小值是.
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　本节课从知识与方法、能力与素质
( http: / / www.21cnjy.com )的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
　在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.
　适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析,独立分析证明思路,正确完成证明过程.
练习(教材第24页)
1.解:(1)根据勾股定理a2+b
( http: / / www.21cnjy.com )2=c2,得b===8.　(2)根据勾股定理a2+b2=c2,得c===13.　(3)根据勾股定理a2+b2=c2,得a===20.
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2.解:如图所示,在Rt△
( http: / / www.21cnjy.com )FHG中,FG2=SA+SB=122+162=400,HG2=SC+SD=92+122=225,∴大正方形的面积SE=FH2=FG2+HG2=400+225=625.
　挖掘勾股定理的科学文化价值
　勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中,已知任意两边长,就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.
　勾股定理的探究是从特殊的等腰
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形出发,到网格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以三角形的斜边长为边长的正方形的面积,教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质,提出一般的猜想,并获得定理的证明.
　我国古代在数学方面有许多杰出的研究成果,对
( http: / / www.21cnjy.com )于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献,以培养学生的民族自豪感.围绕证明勾股定理的过程,培养学生学习数学的热情和信心.
　　我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是　　　　.
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　〔解析〕　解题的关键在于理解如何拼
( http: / / www.21cnjy.com )接成“弦图”,并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边长分别为a,b(b>a).∵S1=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(b-a)2,∴(a+b)2+(a2+b2)+(b-a)2=10,得a2+b2=,即S2=.故填.
　[解题策略]　本题运用数形结合思想,先表示出S1,S2,S3,灵活用勾股定理方可解决问题.
第课时
　能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
　1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.
　2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.
　在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.
　【重点】　运用勾股定理解决实际问题.
　【难点】　勾股定理的灵活运用.
　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.
　【学生准备】　三角板、三角形模型.
导入一:
　电视的尺寸是屏幕对角线
( http: / / www.21cnjy.com )的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74
cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58
cm长和46
cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗 你能解释是为什么吗
　引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.
　[设计意图]　让学生回
( http: / / www.21cnjy.com )忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.
导入二:
　上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢 它有什么作用呢
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　教师出示问题:求出下列直角三角形中未知的边.
　提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.
　教师巡视指导答疑,在活动中重点关注:
　(1)学生能否正确应用勾股定理进行计算;
　(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;
　(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.
　[设计意图]　通过简单的提问帮助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.
　　[过渡语]　勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.
　1.木板进门问题
　思路一
　(1)分析导入一提出的问题.
　教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法:计算电视机对角线的长度,看是否为74
cm.
　解:根据勾股定理,得≈74(cm).
　因此,这台电视机符合规格.
　(2)自学教材第25页例1.
　教师提问:门框能通过薄木板的最大宽度是多少
　学生带着问题阅读题目,试写解答过程.
　(3)变式练习:长方体盒内长、宽、高分别为3
cm,2.4
cm和1.8
cm,盒内可放的棍子最长为　　　　
cm.
　本题需先求出长和宽组成的长方形的对
( http: / / www.21cnjy.com )角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).
　教师引导学生小结:遇到求木板进门或将
( http: / / www.21cnjy.com )物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).
　[设计意图]　通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.
　思路二
　　(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3
m,宽2.2
m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
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　逐步引导提问:
　(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过 还可以分析比较哪两个长度
　(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗 如何求
　学生先尝试后发现:木板横着进,竖着进,
( http: / / www.21cnjy.com )都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线
AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.
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　解:如图所示,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
　得AC2=AB2+BC2=12+22=5.
　AC=≈2.24.
　因为AC大于木板的宽2.2
m,所以木板能从门框内通过.
　[解题策略]　在遇到木板进门或将物体
( http: / / www.21cnjy.com )放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).
　[设计意图]　运用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.
　2.梯子靠墙问题
　　如图所示,一架2.6
m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4
m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5
m,那么梯子底端B也外移0.5
m吗
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　引导学生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.
　解:可以看出,BD=OD-OB.
　在Rt△AOB中,根据勾股定理,
　得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,
　OB==1.
　在Rt△COD中,根据勾股定理,
　得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
　OD=≈1.77.
　BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
　所以梯子的顶端沿墙下滑0.5
m时,梯子底端并不是也外移0.5
m,而是外移约0.77
m.
　[解题策略]　已知直角三角形的两边长,可以
( http: / / www.21cnjy.com )根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.
　[设计意图]　巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.
　3.表面距离最短问题
　　(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为　　(　　)
　A.a　　　B.(1+)a
　C.3a　　D.a
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　解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB===a.故选D.
　[解题策略]　平面图中,可以
( http: / / www.21cnjy.com )直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.
　[设计意图]　通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和解决问题的能力.
　[知识拓展]　勾股定理应用的条件
( http: / / www.21cnjy.com )必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:①化非直角三角形为直角三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.
　用勾股定理计算时,要先画好
( http: / / www.21cnjy.com )图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.
　1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒　　(　　)
　A.20根　　B.14根　　C.24根　　D.30根
　解析:∵摆两直角边分别用了6根、8根长度相
( http: / / www.21cnjy.com )同的火柴棒,∴由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.
　2.为迎接新年的到来,同学们做了许多花布
( http: / / www.21cnjy.com )置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为　　(　　)
　A.0.7米　　B.0.8米　　C.0.9米　　D.1.0米
　解析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.
　3.(2015·厦门中考节选)已知A,B,
( http: / / www.21cnjy.com )C三地的位置如图所示,∠C=90°,A,C两地相距4
km,B,C两地相距3
km,则A,B两地的距离是　　　　km.
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　解析:∵∠C=90°,A,C两地的距离是4
km,B,C两地的距离是3
km,∴AB===5(km).故填5.
　4.(2014·潍坊中考)我
( http: / / www.21cnjy.com )国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何 ”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是　　　　尺.
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　解析:将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱
( http: / / www.21cnjy.com )的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25(尺).故填25.
　5.如图(1)所示,两点
( http: / / www.21cnjy.com )A,B都与平面镜CD相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点间的距离.
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　解:如图(2)所示,作出
( http: / / www.21cnjy.com )B点关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点O,则O点就是光的入射点,连接OB.因为AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以OC=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.
　第2课时
　1.木板进门问题
　例1
　2.梯子靠墙问题
　例2
　3.表面距离最短问题
　例3
一、教材作业
【必做题】
　教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.
【选做题】
　教材第29页习题17.1第9,10,11题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,有两棵树,一棵高10
m,另一棵高4
m,两树相距8
m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行　　(　　)
A.8
m　　B.10
m　　C.12
m　　D.14
m
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2.如图所示的是一个圆柱形饮料罐,底
( http: / / www.21cnjy.com )面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是　　(　　)
A.12≤a≤13　　B.12≤a≤15
C.5≤a≤12　　D.5≤a≤13
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3.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极
( http: / / www.21cnjy.com )少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　　　　步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
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4.如图所示,在长方形纸片ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为　　　　.
【能力提升】
5.(2014·龙东中考)一圆锥体
( http: / / www.21cnjy.com )形状的水晶饰品,母线长是10
cm,底面圆的直径是5
cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用(接头处重合部分忽略不计)　　(　　)
A.10π
cm　　B.10
cm
C.5π
cm　　D.5
cm
6.如图所示,某会展中心准备
( http: / / www.21cnjy.com )在高5
m,长13
m,宽2
m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要　　　　元钱.
7.如图所示,要制作底边BC的长
( http: / / www.21cnjy.com )为44
cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要　　　　
cm.(结果保留根号的形式)
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8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,
( http: / / www.21cnjy.com )没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙两人相距多远 还能保持联系吗
9.如图所示,有一块直角三角形的绿地
( http: / / www.21cnjy.com ),量得两直角边长分别为6
m,8
m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8
m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
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【拓展探究】
10.△ABC中,BC=a,AC=
( http: / / www.21cnjy.com )b,AB=c.若∠C=90°,如图(1)所示,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3)所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
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【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,设大树AB高
( http: / / www.21cnjy.com )为10
m,小树CD高为4
m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4
m,EC=8
m,AE=AB-EB=10-4=6(m).在Rt△AEC中,AC==10
m.)
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2.A(解析:a的最小长度显然是圆柱的高12,根据勾股定理,得=13.故a的取值范围是12≤a≤13.故选A.)
3.4(解析:在Rt△ABC中,A
( http: / / www.21cnjy.com )B==5(m).再进一步求得少走的路的米数,即(AC+BC)-AB=3+4-5=2(米),也就是少走了4步.)
4.(解析:由勾股定理得
( http: / / www.21cnjy.com )BD=13,由题意知DA=DA'=BC=5,∠DA'E=∠DAE=90°.设AE=x,则A'E=x,BE=12-x,BA'=13-5=8,在Rt△EA'B中,(12-x)2=x2+82.解得x=,即AE的长为.)
5.B(解析:由题意,圆锥
( http: / / www.21cnjy.com )的侧面展开图为扇形,如图所示,连接AA',AA'的长即为最小值.由圆锥的底面周长等于展开图扇形的弧长,设展开图扇形圆心角为n°,则5π=,解得n=90,故AA'==10(cm).故选B.)
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6.612(解析:根据勾股定理可
( http: / / www.21cnjy.com )得楼梯的水平宽度为=12(m),所以地毯的总长为5+12=17(m),所以地毯的面积为17×2=34(m2),因此地毯总价为34×18=612(元).)
7.11(解析:如图所示,作AD⊥
( http: / / www.21cnjy.com )BC于D,由题意知AD∶BC=1∶4,且BC=44
cm,又∵AB=AC,∴在Rt△ABD中,AD=11
cm,BD=BC=22
cm,∴AB==11(cm),即AB的长至少为11
cm.)
8.解:如图所示,甲从上午8:00到
( http: / / www.21cnjy.com )上午10:00一共走了2小时,走了12千米,即OA=12千米.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,走了5千米,即OB=5千米.在Rt△OAB中,AB===13(千米).因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米.∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.
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9.解:在Rt△ABC中,∠ACB
( http: / / www.21cnjy.com )=90°,AC=8
m,BC=6
m,由勾股定理得AB=10
m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰三角形ABD,应分以下三种情况:(1)如图(1)所示,当AB=AD=10
m时,∵AC⊥BD,∴CD=CB=6
m,∴△ABD的周长=10+10+2×6=32(m).
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)如图(2)所示,当AB=BD=1
( http: / / www.21cnjy.com )0
m时,∵BC=6
m,∴CD=10-6=4(m),∴AD===4(m),∴△ABD的周长=10+10+4=20+4(m).
(3)如图(3)所示,当AB为底
( http: / / www.21cnjy.com )时,设AD=BD=x
m,则CD=(x-6)m,由勾股定理得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(x-6)2,解得x=.∴△ABD的周长为++10=(m).答:扩充后的等腰三角形绿地的周长是32
m或(20+4)m或
m.
10.解:若△ABC是锐
( http: / / www.21cnjy.com )角三角形,则有a2+b2>c2;若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b20),则BD=a-x,根据勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0.∴a2+b2>c2.当△ABC是钝角三角形时,证明如下:如图(2)所示,过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.设CD=y(y>0),则BD2=a2-y2.根据勾股定理,得(b+y)2+a2-y2=c2,即a2+b2+2by=c2.∵b>0,y>0,∴2by>0,∴a2+b2( http: / / www.21cnjy.com )
　本节课运用勾股定理解决实际问题,整节课
( http: / / www.21cnjy.com )注重基础,通过分类探索,由浅入深,注重讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.
　虽然只是勾股定理的实际应用这一知识点,但是涉及生产生活的各个方面,受时间约束无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性.
　在问题设计上,进一步注意层次性
( http: / / www.21cnjy.com )、开放性,并增加每一类题目的变式训练题,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时,在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练.
练习(教材第26页)
1.解:在Rt△CAB中,∠A=90°,∴AB===40≈57(m).
2.解:由题意知在Rt△AOB中,∠AOB=90°,且OA=5,OB=4,∴AB===.故这两点之间的距离为.
　　在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄,A,B到l的距离分别是3
km和2
km,AB=a
km(a>1).现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.
　某班数学兴趣小组设计了两种铺设
( http: / / www.21cnjy.com )管道方案:图(1)是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(其中BP⊥l于点P);图(2)是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(其中点A'与点A关于l对称,A'B与l交于点P.
( http: / / www.21cnjy.com )
　观察计算:
　(1)在方案一中,d1=　　　　km(用含a的式子表示);
　(2)在方案二中,组长
( http: / / www.21cnjy.com )小宇为了计算d2的长,作了如图(3)所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2=　　　　km(用含a的式子表示).
　探索归纳:
　(1)①当a=4时,比较大小:d1　　　　d2(填“>”“=”或“<”);
　②当a=6时,比较大小:d1　　　　d2(填“>”“=”或“<”).
　(2)请你就a(当a>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二
　〔解析〕　要比较d1与d2
( http: / / www.21cnjy.com )的大小,只需要比较与的大小,即比较-
与0的大小,结合观察计算知-=(a+2)2-()2=4a-20,再分别根据其大于0、等于0和小于0确定a,进而选择方案.
　解:观察计算:
　(1)d1=PB+BA=(a+2)km.
　(2)因为BK2=a2-1,
　A'B2=BK2+A'K2=a2-1+52=a2+24,
　所以d2=
km.
　探索归纳:
　(1)①当a=4时,d1=6
km,d2=
km,d1　②当a=6时,d1=8
km,d2=
km,d1>d2.
　(2)-=(a+2)2-()2=4a-20.
　①当4a-20>0,即a>5时,->0,
　∴d1-d2>0,∴d1>d2.
　②当4a-20=0,即a=5时,-=0,
　∴d1-d2=0,∴d1=d2.
　③当4a-20<0,即a<5时,-<0,
　∴d1-d2<0,∴d1　综上可知:当a>5时,选方案二;
　当a=5时,选方案一或方案二;
　当1　[解题策略]　本题为方案设计题,综合考查了学生的作图能力,运用数学知识解决实际问题的能力,以及观察探究和分类讨论的数学思想方法.
　　(1)如图(1)所示,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,试说明S1=S2+S3.
　(2)如图(2)所示,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系
　(3)如图(3)所示,分别以
( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系,并说明理由.
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　〔解析〕　(1)根据正方形的面积
( http: / / www.21cnjy.com )及勾股定理即可得出S1,S2,S3的关系.(2)根据半圆的面积公式及勾股定理得出S1,S2,S3之间的关系即可.(3)利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得出S1,S2,S3之间的关系.
　解:(1)在Rt△ABC中,利用勾股定理得AB2=BC2+AC2,即S1=S2+S3.
　(2)S1=S2+S3,理由如下:
　在Rt△ABC中,利用勾股定理得AB2=BC2+AC2,
　∴
AB2=BC2+AC2,即S1=S2+S3.
　(3)S1=S2+S3,理由如下:
　在Rt△ABC中,利用勾股定理得AB2=BC2+AC2,
　∴AB2=BC2+AC2,即S1=S2+S3.
　[解题策略]　此题主要考查了勾股定理,关键是用直角三角形的三边长表示出正方形、半圆和正三角形的面积,通过等量代换问题迎刃而解.
第课时
　1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.
　2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决简单的实际问题.
　1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力.
　2.在用勾股定理解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发展学生的动手操作能力和创新精神.
　3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维过程和结果,形成反思的意识.
　1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中,体会勾股定理的重要作用,并从中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
　2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
　【重点】　能利用勾股定理在数轴上表示无理数.
　【难点】　利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.
　【教师准备】　三角板、直尺、圆规.
　【学生准备】　复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅笔.
导入一:
　　[过渡语]　上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.
　我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示
的点吗 表示
的点呢
　[设计意图]　在七年级时,学生只能找到
( http: / / www.21cnjy.com )数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,我们一起来欣赏一幅图片:
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　这个美丽的图案是怎么画出来的呢 它依据的是什么数学知识
　[设计意图]　以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.
　1.利用勾股定理证明HL定理
　　[过渡语]　让我们一起来探究下面的问题:
　在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗
　师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.
　已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
　求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
( http: / / www.21cnjy.com )
　〔解析〕　要证明Rt△ABC≌
( http: / / www.21cnjy.com )Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.
　证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:
　BC=,B'C'=.
　又AB=A'B',AC=A'C',
　∴BC=B'C'.
　∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
　2.利用勾股定理在数轴上表示无理数
　思路一
　　[过渡语]　下面我们回到导入一的问题,一起来看:
　我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示
的点吗 表示的点呢
　学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.
　学生尝试在数轴上找到表示
的点.
　OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.
　小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.
　教师可指导学生寻找长为,……这样的包
( http: / / www.21cnjy.com )含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.
　学生在数轴上画出表示的点.
　教师根据巡视情况指导步骤如下:
　(1)在数轴上找到点A,使OA=3;
　(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;
　(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.
　学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.
　[设计意图]　利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.
　思路二
　引导学生观察图案发现:
　图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.
　最后教师总结画图的方法:先构造出直角边
( http: / / www.21cnjy.com )长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.
　提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出 如何表示出呢
　学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.
　追问:你能在数轴上找出表示的点吗
　学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数
　学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.
　作法:在数轴上找到点A,使
( http: / / www.21cnjy.com )OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.
( http: / / www.21cnjy.com )
　[设计意图]　通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.
　[知识拓展]　在数轴上
( http: / / www.21cnjy.com )表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
　3.例题讲解
　　(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.
　学生讨论:如何构造直角三角形
　比较发现:可以连接AC,或延长AB,D
( http: / / www.21cnjy.com )C交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.
　解:延长AD,BC交于E,如图所示.
　∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.
　∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.
　DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.
　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=6.
　[解题策略]　不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.
　师生共同回顾本节课所学主要内容:
　1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.
　2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.
　1.如图所示,长方形OABC的边OA
( http: / / www.21cnjy.com )长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴正半轴于一点,则这个点表示的实数是　　(　　)
　A.　　　B.2　　　C.　　　D.2.5
　解析:∵长方形OABC的长OA为2,宽AB为1,∴由勾股定理得OB===,∴这个点表示的数是.故选C.
　2.如图所示,以数轴的单位长度线段为
( http: / / www.21cnjy.com )边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是　　(　　)
　A.-　　B.-1+
　C.-1-　　D.1-
　解析:数轴上正方形的对角线长为=,由图可知表示1的点和点A之间的距离为.∴点A表示的数是1-.故选D.
　3.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是　　　　.
　解析:图中直角三角形的两直角边长为1,2,∴斜边长为=,∴表示-1的点和点A之间的距离为,∴a的值是-1+.故填-1+.
　4.在平静的湖面上有一支红莲,
( http: / / www.21cnjy.com )高出水面1
m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2
m,求这里的水深是多少.
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　解:如图所示,AD是红莲
( http: / / www.21cnjy.com )高出水面部分,即AD=1,点B是红莲入泥处(根部).设BD=x,则AB=1+x.在Rt△BCD中,CD2+BD2=BC2,即22+x2=(1+x)2.解得x=,故这里的水深为
m.
　第3课时
　1.利用勾股定理证明HL定理
　2.利用勾股定理在数轴上表示无理数
　3.例题讲解
　例题
一、教材作业
【必做题】
　教材第27页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第6,7,8题.
【选做题】
　教材第29页习题17.1第11,12,13,14题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,正方形OABC的边长
( http: / / www.21cnjy.com )为2,OA在数轴上,以原点为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴正半轴于一点D,则点D表示的实数是(　　)
A.5　　B.2　　C.　　D.
2.如图所示,OA=OB,数轴上点A表示的数为x,则x2-13的立方根是　　(　　)
A.-13　　B.--13　　C.2　　D.-2
3.如图所示,在Rt△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3.以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1,则点B1所表示的数是　　(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.-2　　B.-2
C.1-2　　D.2-1
【能力提升】
4.如图所示,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,长为无理数的边有　　(　　)
A.0条　　　　　B.1条
C.2条　　　　　D.3条
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5.如图所示,以数轴的单位长度线段为边
( http: / / www.21cnjy.com )作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是　　　　,点B表示的数是　　　　.
6.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是　　　　.
( http: / / www.21cnjy.com )
7.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.
(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;
(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积
( http: / / www.21cnjy.com )为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.
( http: / / www.21cnjy.com )
【拓展探究】
8.如图所示,老师在讲实
( http: / / www.21cnjy.com )数时画了一个图,即以数轴的单位长度为边长作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线的长为半径画弧,交数轴于点A,作这样的图是用来说明　　　　.
(1)点A表示的数x为　　　　;
(2)试比较x与1.4的大小;
(3)你能否用类似的方法在数轴上分别作出表示,-
的点B和点C呢
【答案与解析】
1.B(解析:由勾股定理,得OB==2,则OD=OB=2.故选B.)
2.D(解析:根据图可知A点的横坐标x的值为
( http: / / www.21cnjy.com )-=-,则x2-13=5-13=-8,∵(-2)3=-8,∴x2-13的立方根是-2.故选D.)
3.C(解析:根据题意,得AC=3-1=2,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴AB===2,∴点B1表示的数是1-2.故选C.)
4.D(解析:根据图中所示,利
( http: / / www.21cnjy.com )用勾股定理求出每条边长,然后根据无理数的定义即可得出答案.根据题意得AC=2,AB=,BC=,所以长为无理数的边有3条.故选D.)
5.2-　2+(解析:由图可知,正方形的边长是1,所以对角线长是,因此,点A表示的数是2-,点B表示的数是2+.)
6.-(解析:由勾股定理,得OA===,由半径相等,得OP=OA=,故答案为-.)
7.解:(1)正方形的边长是=,面积为×=5.　(2)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.解:数轴上的点可以表示无理数　(1)　(2)∵x2=2,1.42=1.96,2>1.96,∴x>1.4.　(3)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
　本节课注重数学与生活的联系,注重数学知
( http: / / www.21cnjy.com )识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.
　由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.
　教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.
练习(教材第27页)
解:如图所示.
2.解:(1)∵AD是等边三角形
( http: / / www.21cnjy.com )ABC的BC边上的高,∴BD=BC=×6=3,∴在Rt△ABD中,AD===3.　(2)S△ABC=×BC×AD=×6×3=9.
习题17.1(教材第28页)
1.解:(1)c===13.　(2)b===.　(3)a===.
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2.解:如图所示,AC=3
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m,BC=4
m,而在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB===5(m),∴AC+AB=3+5=8(m),即木杆折断之前高为8
m.
3.解:由题意可知OA⊥OB.在Rt
( http: / / www.21cnjy.com )△AOB中,由勾股定理得AB2=OA2+OB2.因为OA=2.4,OB=0.7,所以AB2=2.42+0.72=5.76+0.49=6.25,所以AB==2.5.
4.解:由题意可知∠C=90
( http: / / www.21cnjy.com )°,AC=40-21=19(mm),BC=60-21=39(mm).在Rt△ABC中,有AB2=AC2+BC2,所以AB2=192+392=361+1521=1882,所以AB=≈43.4(mm),即A,B两孔中心的距离约是43.4
mm.
5.解:如图所示,∠B=90°,CB=5
( http: / / www.21cnjy.com )m,CA=7
m,由勾股定理得CA2=CB2+BA2,所以BA2=CA2-CB2=72-52=49-25=24,所以BA==2≈4.9(m).
( http: / / www.21cnjy.com )
6.提示:作法有多种,例如:
( http: / / www.21cnjy.com )以4和2为直角边长画直角三角形,用勾股定理求得这个三角形的斜边长为=.具体作法是:如图所示,以2和4为直角边长作直角三角形,则斜边OA=,再以点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴正半轴于点P,则点P表示的数即为.
( http: / / www.21cnjy.com )
7.解:(1)如图(1)所示,
( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中,∠C=90°,AB=c,∠A=30°,则BC=AB=c,AC==
=c.　(2)如图(2)所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=c,∠A=45°,∴BC=AC.设BC=AC=x,则由AC2+BC2=AB2得x2+x2=c2,即2x2=c2,∴x=c,∴BC=AC=c.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.解:(1)因为∠C=90°,AC
( http: / / www.21cnjy.com )=2.1,BC=2.8,所以S△ABC=AC·BC=×2.1×2.8=2.94.　(2)因为∠C=90°,所以AB2=AC2+CB2=2.12+2.82=12.25,所以AB=3.5.　(3)因为S△ABC=AC·BC=AB·CD,所以AC·BC=AB·CD,所以CD===1.68.
9.解:如图所示,过A作AD⊥BC
( http: / / www.21cnjy.com )于D,∵AB=AC,∴BD=BC=32
mm.在Rt△ABD中,由勾股定理得AD===8≈82(mm),∴l≈82
mm.
( http: / / www.21cnjy.com )
10.解:如图所示,设水深
OC=x尺,则
( http: / / www.21cnjy.com )OB=OA=(x+1)尺,AC=×10=5(尺).在Rt△ACO中,∠OCA=90°.由勾股定理得OC2=OA2-AC2,∴x2=(x+1)2-52,∴x=12,∴OC=12尺,AO=OB=13尺.答:水深12尺,芦苇长13尺.
( http: / / www.21cnjy.com )
11.解:∵∠C=90°,∠A=3
( http: / / www.21cnjy.com )0°,∴AB=2BC.设BC=x,则AB=2x,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即(2x)2=22+x2,∴x=,2x=,∴斜边AB的长为.
12.解:由题意知拼成的大正方形的面积为5,边长为,拼图如图所示.
13.证明:∵△ACD是等腰直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com ),∴可设AB=BD=BC=k,则AC=CD=k,∴S月形AGCE+S月形DHCF=S半圆AEC+S半圆DFC+S△ADC-S半圆ACD=π+AC·CD-πk2=AC·CD,∴图中两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt△ACD的面积.
14.证明:如图所示,连接BD,∵△ACB与△DCE都是等腰直角三角形,∴CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠BCD.在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD,∴BD=AE,∠CDB=∠CEA=45°,∴∠ADB=∠CDE+∠CDB=45°+45°=90°,∴BD2+AD2=AB2,即AE2+AD2=AB2.又∵AB2=AC2+BC2=2AC2,∴AE2+AD2=2AC2.
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　本节课是在学习了勾股定理基础上
( http: / / www.21cnjy.com )进一步让学生灵活运用勾股定理解决问题.以前我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点,而对于像,……这样的无理数,表示它们的点却找不到的情况下展开本节课,利用勾股定理把长为(n为非负整数)的线段看成一个直角三角形的斜边,进而在数轴上画出表示的点,从而加深对“实数与数轴上的点一一对应”的理解.在教学中,给学生足够的时间思考如果直角三角形的斜边长为(n为非负整数),那么两条直角边长分别是哪两个正整数 然后再按照步骤进行作图.
　　如图所示,OP=1,过P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…;依此法继续作下去,得OP2016=　　　　.
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　〔解析〕　由勾股定理得OP4==,OP1=,OP2=,OP3=2=,以此类推得OPn=,∴OP2016=.故填.
　[解题策略]　本题考查了勾股定理的运用,解题的关键是由已知数据找到规律.
17.2　勾股定理的逆定理
　1.理解并能证明勾股定理的逆定理.
　2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念.
　3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
　1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.
　2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.
　1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.
　2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
　【重点】　勾股定理的逆定理的应用.
　【难点】　勾股定理的逆定理的证明.
　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.
　【学生准备】　三角板、绳子.
导入一:
　　[过渡语]　同学们,你们是如何画直角的 想知道古埃及人是如何画直角的吗
　古埃及人画直角的方法:把准备好的一
( http: / / www.21cnjy.com )根打了13个等距离结的绳子,然后按3个结,4个结,5个结的长度为边长,摆放成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗
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　学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.
　[设计意图]　介绍前人经
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导入二:
　你能说出勾股定理吗 并指出定理的题设和结论.
　学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.
　追问:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗
　师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.
　追问:“如果三角形的三边长a,b,c满足a
( http: / / www.21cnjy.com )2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢 本节课我们一起来研究这个问题.
　[设计意图]　通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.
　1.勾股定理的逆定理
　思路一
　(1)归纳猜想
　　[过渡语]　从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗
　提问:
　①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗
　②画图看一看,三角形的三边长分别为2
( http: / / www.21cnjy.com ).5
cm,6
cm,6.5
cm,观察三角形的形状.再换成4
cm,7.5
cm,8.5
cm试试看.
　③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论
　教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想:
　如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
　[设计意图]　由特殊到一般,归纳猜想出“
( http: / / www.21cnjy.com )如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.
　思路二
　下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.
　5,12,13;7,24,25;8,15,17.
　①这三组数都满足a2+b2=c2吗
　②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗
　学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论:①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.
　师生进一步通过实际操作,猜想结论:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
　[设计意图]　本活动通过让学生按已知数据作
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　(2)原命题、逆命题
　　[过渡语]　把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.
　提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么
　学生独立思考回答问题,命题1的题设是
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.
　教师引导学生分析得出这
( http: / / www.21cnjy.com )两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.
　提问:请同学们举出一些互逆命题,并思考:原命题正确,它的逆命题是否也正确呢 举例说明.
　学生分组讨论合作交流,然后举手发言,
( http: / / www.21cnjy.com )教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如:①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.
　追问:在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗
　学生举手发言回答,另一学生
( http: / / www.21cnjy.com )纠错.同时教师引导学生明确:①任何一个命题都有逆命题.②原命题正确,逆命题不一定正确;原命题不正确,逆命题可能正确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.
　[设计意图]　让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.
　(3)勾股定理的逆定理的证明
　　[过渡语]　原命题正确,它的逆命题不一定正确,那么勾股定理的逆命题正确吗
　如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗
　教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.
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　已知:如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.
　求证:∠C=90°.
　追问:要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗
　教师引导,如果能证明△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.
　证明:如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,
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　由勾股定理得A'B'===c,
　∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,
　∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,
　∴△ABC是直角三角形.
　教师在此基础上进一步指
( http: / / www.21cnjy.com )出,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
　[设计意图]　引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.
　2.例题讲解
　　(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
　(1)a=15,b=8,c=17;
　(2)a=13,b=14,c=15.
　学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解
( http: / / www.21cnjy.com )题过程.在此活动中,教师帮助学生分析得到:要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较,只有相等时才是直角三角形.
　解:(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,
　所以152+82=172,
　根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.
　(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,
　所以132+142≠152,
　所以这个三角形不是直角三角形.
　　[过渡语]　像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
　提问:同学们还知道哪些勾股数 请完成以下未完成的勾股数:
　(1)3,4,　　　　;
　(2)6,8,　　　　;
　(3)7,24,　　　　;
　(4)5,12,　　　　;
　(5)9,12,　　　　.
　[设计意图]　通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
　[知识拓展]　勾股定理的逆定理是直角
( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形.
　　(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16
n
mile,“海天”号每小时航行12
n
mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30
n
mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
　引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.
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　学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出:已
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　引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.
　引导学生分析:图中的E,
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　解:根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.
　因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,
　所以∠QPR=90°,
　由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,
　即“海天”号沿西北方向航行.
　[设计意图]　学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.
　师生共同回顾本节课所学主要内容:
　(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.
　(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.
　(3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.
　(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.
　1.(2015·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是　　(　　)
　A.,,　　　　B.1,,
　C.6,7,8　　D.2,3,4
　解析:A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故正确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.
　2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是　　(　　)
　A.等腰三角形
　B.直角三角形
　C.等腰三角形或直角三角形
　D.等腰直角三角形
　解析:根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,因此△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.
　3.下列说法中正确的有　　(　　)
　(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;
　(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;
　(3)勾股定理的逆定理是:如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;
　(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.
　A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
　解析:(1)正确,(2)错误,(3)错误,(4)正确,故有两个说法是正确的.故选B.
　4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4
m,CD=3
m,AD⊥DC,AB=13
m,BC=12
m,求这块地的面积.
　解:如图(2)所示,连接AC.
　∵AD⊥DC,
　∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,
　∴AC===5(m).
　∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,
　∴△ABC为直角三角形,
　∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).　
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　17.2　勾股定理的逆定理
　1.勾股定理的逆定理
　(1)归纳猜想
　(2)原命题、逆命题
　(3)勾股定理的逆定理的证明
　2.例题讲解
　例1　例2
一、教材作业
【必做题】
　教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.
【选做题】
　教材第34页习题17.2第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列三角形中,一定是直角三角形的有　　(　　)
①有两个内角互余的三角形;②三边长为m2-n
( http: / / www.21cnjy.com )2,2mn,m2+n2(m>n>0)的三角形;③三边长的比为3∶4∶5的三角形;④三个内角的度数比是1∶2∶3的三角形.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
2.把三边分别为BC=3,AC=4,AB=5的三角形ABC沿最长边AB翻折成△ABC',则CC'的长为　　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.下列定理中,没有逆定理的是　　(　　)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
4.把一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,则这个三角形是　　　　三角形.
【能力提升】
5.已知:如图所示,CD⊥AB于D,且有AC2=AD·AB.求证:△ACB为直角三角形.
6.如图所示的是一个四边形的边角料,韦三通
( http: / / www.21cnjy.com )过测量,获得了如下数据:AB=3
cm,BC=12
cm,CD=13
cm,AD=4
cm,韦三由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为韦三的判断正确吗 如果你认为他的判断正确,请说明其中的理由;如果你认为他的判断不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角
7.如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20
cm,D是腰AB上一点,且CD=16
cm,BD=12
cm,求△ABC的周长.
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8.如图所示,在我国沿海有一艘不明国籍的轮
( http: / / www.21cnjy.com )船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西22.62°,求甲巡逻艇的航向.
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【拓展探究】
9.冬冬准备用一段长30米的篱笆围成一个三
( http: / / www.21cnjy.com )角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)第一条边长可以为7米吗 为什么 请说明理由,并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数 若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
【答案与解析】
1.D(解析:有两个内角互余的三角形
( http: / / www.21cnjy.com ),第三个内角为直角;(m2-n2)2=m4+n4-2m2n2,(2mn)2=4m2n2,(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,因此可得(m2+n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2,所以能构成一个直角三角形;三边长的比为3∶4∶5的三角形,设一边长为3x,则另外两边长分别为4x,5x,因为(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,所以可以构成一个直角三角形;三个内角的度数比为1∶2∶3的三角形,最大的角为×180°=90°,所以这个三角形也为直角三角形.故选D.)
2.C(解析:先画出图形如图所示,∵
( http: / / www.21cnjy.com )32+42=52,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,斜边是AB,由对称的性质可知:AB垂直且平分CC',设AB交CC'于D,则D是垂足,∴CD=C'D,CC'=2CD,∵AC·BC=AB·CD,∴CD===,∴CC'=2CD=2×=.)
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3.B(解析:A.等腰三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的两个底角相等的逆命题为:有两个角相等的三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题,所以A选项有逆定理;B.对顶角相等的逆命题为:相等的角为对顶角,此命题为假命题,所以B选项没有逆定理;C.三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为:全等三角形的三边对应相等,此逆命题为真命题,所以C选项有逆定理;D.直角三角形的两个锐角的和等于90°的逆命题为:两个锐角的和等于90°的三角形为直角三角形,此逆命题为真命题,所以D选项有逆定理.故选B.)
4.直角(解析:设一条边长为x米,则另
( http: / / www.21cnjy.com )外两边长分别为(x-7)米、(x+1)米,根据题意得x+x-7+x+1=30,解得x=12,所以三边长分别为12米、5米、13米,因为122+52=132,所以这个三角形为直角三角形.)
5.证明:∵CD⊥AB,∴CD2=AC2-
( http: / / www.21cnjy.com )AD2=AD·AB-AD2=AD·BD,BC2=CD2+BD2=AD·BD+BD2=BD·AB,∴AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=AB2.∴△ABC为直角三角形.
6.解:韦三的判断不正确.可添加DB⊥BC
( http: / / www.21cnjy.com )或DB=5
cm.理由如下:∵四边形具有不稳定性,∠A可以是锐角,可以是直角,也可以是钝角,∴韦三的判断不正确.如果添加DB⊥BC或DB=5
cm,那么∠A恰好是直角.当BD⊥BC时,∵BC=12
cm,CD=13
cm,∴BD=5
cm,在△ABD中,AB=3
cm,AD=4
cm,BD=5
cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.当DB=5
cm时,在△ABD中,AB=3
cm,AD=4
cm,BD=5
cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.
7.解:∵BD2+CD2=122+16
( http: / / www.21cnjy.com )2=202=BC2,∴△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,则△ADC也为直角三角形.设AC=x
cm,则AB=x
cm,AD=(x-12)cm.根据勾股定理得AD2+CD2=AC2,∴(x-12)2+162=x2,解得x=,则△ABC的周长为AB+AC+BC=++20=53(cm).
8.解:AC=120×0.1=12
( http: / / www.21cnjy.com )(海里),BC=50×0.1=5(海里).又因为AB=13海里,所以AB2=BC2+AC2,即∠ACB=90°.因为∠CBA=90°-22.62°=67.38°,所以∠CAB=22.62°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东67.38°.
9.解:(1)由题意知第二条边长为(2a
( http: / / www.21cnjy.com )+2)米,∴第三条边长为30-a-(2a+2)=28-3a(米).　(2)当a=7时,三边长分别为7米、16米、7米.由于7+7<16,故不能构成三角形,即第一条边长不能为7米.由解得　本节课以“提出问题——解
( http: / / www.21cnjy.com )决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,能力目标基本实现,情感目标基本实现.
　在本节课教学中,充分发挥学生
( http: / / www.21cnjy.com )在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的及时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.
　在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.
　本节课内容较多,由于时间紧,还是不敢放手,总是牵着学生走,结果学生的积极性没有充分调动起来,还需要注意教师精讲,留足时间让学生探究.
练习(教材第33页)
1.解:是直角三角形.理由如下:∵a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴这三条线段组成的三角形是直角三角形.
2.解:(1)内错角相等
( http: / / www.21cnjy.com ),两直线平行.成立.　(2)如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等.不成立.　(3)如