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《探索三角形全等的条件》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）三角形全等“边边边”的条件；
（2）理解三角形的稳定性。
2.过程与方法
在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。21世纪教育网版权所有
【教学重点】
三角形全等的条件。
【教学难点】
三角形全等的条件。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了全等三角形的相关知识，现在，我们一起来回忆一下全等三角形的性质吧。
已知：如图，△ABC≌△EFG，找出图中相等的边和角。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】结合我们上节课的知识，大家能正确找出答案吗？
（学生回答）
【过渡】大家的回答很正确，那么，我现在就 ( http: / / www.21cnjy.com )要问大家一个问题了，如果，给出了三角形边或角的关系，你能判断出这两个三角形是否全等吗？我们该如何根据这个进行判断呢？这就是我们今天要探索的内容，如何证明两个三角形是全等的。21教育网
二、新课教学
1．探索三角形全等的条件
【过渡】根据我们刚刚复习的内容，想一想，要 ( http: / / www.21cnjy.com )画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？21cnjy.com
【过渡】我们来依次进行分析，首先，来看只给 ( http: / / www.21cnjy.com )出一个条件的情况。对于三角形来说，给出一个条件，就是给出一条边或一个角。现在，我们来画一个这样的三角形，其中一条边是3cm，大家动手试一下，你能画出多少个三角形呢？www.21-cn-jy.com
（学生活动）
【过渡】大家看课件，我们假 ( http: / / www.21cnjy.com )设这一条边的边长是3cm，那么，我们固定这个边长，我们会发现，另外两条边可以随意画，只要能够满足画出一个三角形就行。2·1·c·n·j·y
课件展示一个例子。
【过渡】因此，我们能够得出：有一条边对应相等的三角形不一定全等。
【过渡】那么如果是给出一个角呢？大家按照刚刚的方法来画出几个三角形吧。
课件展示。
【过渡】和刚刚一样，我们固定其中一个角 ( http: / / www.21cnjy.com )，也就是固定了两条边的方向，但是长度却是无法固定的，因此，我们同样可以画出无数个三角形。很显然，这些三角形都是不全等的。
【过渡】因此，我们能够得出：有一个角对应相等的三角形不一定全等。
【过渡】结合刚刚的两种情况，我们可以断定：只给出一个条件，并不能保证三角形全等。那如果是两个条件，会不会保证三角形的全等呢？21·世纪*教育网
【过渡】根据三角形的情况，大家能够想到几种包含两个条件的情况呢？
（学生回答）
【过渡】我们知道，三角形有三条边和三个内角，如果我们要给出其中两个条件，就会有三种情况，分别是：
两条边、两个角以及一角一边。
这三种情况下的三角形全等吗？我们来验证一下。
【过渡】首先，我们来看一条边、一个角的情况，按照课本的要求，大家来画一下吧。
三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
【过渡】确定了一个内角，就是确定了 ( http: / / www.21cnjy.com )两条边的方向，然后我们选择其中一条边的长度为3cm，通过观察，我们发现，另外两边的长度可以随意变换。因此，一个内角和一条边相等时，三角形不一定全等。www-2-1-cnjy-com
【过渡】排除了一边一角的情况之后，我们来看两个内角的情况。
（学生回答）
【过渡】由三角形的内角和为180° ( http: / / www.21cnjy.com )我们知道，确定了两个内角相当于三个角都确定，再结合平行线的性质，我们只需要保证这三条边是平行的，保证内角对应相等，边长则是可以随意改变的，如课件中所示，三个三角形是不全等的。因此，两个内角相等时，三角形不一定全等。
【过渡】现在，我们来看最后一种情况，两条边相 ( http: / / www.21cnjy.com )等。结合刚刚的探究，我们只需要保证边长相等，而对角并没有要求，因此，两条边相等时，三角形不一定全等。2-1-c-n-j-y
【过渡】综合刚刚的三种情况，我们得出结论：有两个条件对应相等也不能保证三角形全等。
【过渡】既然这样，我们就需要继续考虑给出三个条件的情况。那么，谁能告诉我三个条件会有几种情况呢？
（学生回答）
【过渡】若给出三个条件，我们会碰到四种情况，分别是：三条边、三个角、两角一边以及两边一角。我们首先来看三个内角的情况。【来源：21·世纪·教育·网】
【过渡】刚刚在我们探究两个 ( http: / / www.21cnjy.com )内角相等的情况时，我们知道，两个内角相等就意味着三个角相等，因此，和刚刚一样，我们可以知道：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
【过渡】接下来我们看三条边的情况。大家可以动手画出课本上给出的边长的三角形，随意进行。
【过渡】把自己的三角形和同桌的对比，你会发现什么呢？
（学生回答）
【过渡】通过对比，我们能够发现，不管这个三角形的方向是如何的，总会有一个方向会使两个三角形重合的，也就是说，这两个三角形是相等的。21*cnjy*com
课件展示。
【过渡】通过动手，我们得出：三条边相等的两个三角形全等。
【过渡】这是我们判定三角形全等的方法之一。
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）
【过渡】现在，我们一起来练习一下如何使用这个定理吧。
例题：如图：AB=AC，点D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD。
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【过渡】对这个图进行分析，我们知道，结合题意，能够知道，BD=DC，又由已知条件中，很轻易的能够得到三条边相等，继而进行解答。【来源：21cnj*y.co*m】
【过渡】在这里，提醒大家注意的是进行三角形全等的判定时，如何正确的书写答案。性质，大家根据刚刚的例题，自己做下边这个问题试一下吧。【出处：21教育名师】
【练习】如图，CA=CB，DA=DB．求证：OA=OB，CD⊥AB。
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课件展示解题过程。
【过渡】从刚刚的学习中， ( http: / / www.21cnjy.com )我们知道，知道了三角形的三条边之后，这个三角形的形状就确定了，这个就是三角形的稳定性。在生活中，我们经常能看到三角形的存在，这都是运用了它的稳定性。
课件展示。
【典例精析】已知：如图，B、E、C、F ( http: / / www.21cnjy.com )在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，那么△ABE≌△DCF吗？ 并证明你的结论。你能说明AB与DE的位置关系吗？并证明你的结论。
课件展示解题过程。
【知识巩固】1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ B ）21·cn·jy·com
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A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
2、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（ A ）
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A．CO=DO B．AO=BO C．AB⊥CD D．△ACO≌△BCO
3、如图，已知AC=EF，BC=DE， ( http: / / www.21cnjy.com )点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB，要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？【版权所有：21教育】
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解：要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，
结合条件AC=EF，BC=DE，则还少第三组对应边相等，即AB=FD，
由AD=FB，可得AD+BD=BD+BF，即可得到AB=DF，
在△ABC和△FDE中，
AC＝EF
BC＝DE
AB＝DF，
∴△ABC≌△FDE（SSS）。
4、如图，在四边形ABCD中，点E、F在直线BD上，AE=CF，AD=CB，BE=DF。
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（1）试判断△ADE与△CBF是否全等？并说明理由。
（2）试判断AD与BC是否平行，并说明理由。
解：（1）△ADE与△CBF全等；理由如下：
∵点E、F在直线BD上，BE=DF，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
AE＝CF
AD＝CB
DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
（2）AD与BC平行；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∵∠ADE+∠ADB=∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC。
【板书设计】
1、三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)
2、 三角形具有稳定性。
【教学反思】
在探索三角形全等的条件及其运用的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理，使学生在自主探索三角形全等的条件的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。
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《探索三角形全等的条件》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（ ）21世纪教育网版权所有
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A．全等性 B．灵活性 C．稳定性 D．对称性
2．如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（ ）
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A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
3．如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（ ）
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A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD
4．如图是5×5的正方形网络，以点 ( http: / / www.21cnjy.com )D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）21教育网
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A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5．如图，AB∥CD，AD∥BC；则图中的全等三角形共有（ ）
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A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
二、解答——知识提高运用
6．如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由。
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7．如图，已知AB=CD，AC=BD，说明AD∥BC。
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8．已知在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。
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9．如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
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10．已知，如图，四边形ABCD中．AB=AD，CB=CD，AC与BD交于点E．求证：（1）∠1=∠2；（2）AC⊥BD．www.21-cn-jy.com
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11．已知：如图，AB=AD，BC=DE，AC=AE，BC交DE于点M、交AD于点N。求证：∠ 1 = ∠ 2 = ∠3。2·1·c·n·j·y
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】这样做是运用了三角形的：稳定性。
故选C。
2．【答案】A
【解析】在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD，
∴△ABD和△ACD（SSS）；
故选：A。
3．【答案】B
【解析】∵在△ABD和△CDB中，
AB＝CD
AD＝CB
BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB，∠A=∠C
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴A、C、D选项正确。
故选B。
4．【答案】B
【解析】根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点。21cnjy.com
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故选B。
5．【答案】B
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO，EO=FO，∠DAO=∠BCO，
又∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，∠AOE=∠COF，
∴△AOB≌△COD（SSS），△AOD≌△COB（SSS），△ABC≌△CDA（SSS），△ABD≌△CDB（SSS）。21·cn·jy·com
故图中的全等三角形共有4对。
故选B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】△ABC≌△CDA．
理由是：在△ABC和△CDA中，
∵ BC＝AD
AB＝DC
AC＝AC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）。
7．【答案】在△ABC和△DCB中，
AB＝DC
AC＝DB
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
同理：∠ADB=∠DAC，
∵∠ACB+∠DBC=∠ADB+∠DAC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC。
8．【答案】∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
AD＝AD
BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC。
9．【答案】（1）∵AE=DB，
∴AE-BE=DB-BE，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE
BC＝EF
AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，
∴AC∥DF；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，
∴∠CBE=∠FEB，
∴CB∥EF。
10．【答案】（1）在△ABC和△ADC中，
AB＝AD
CB＝CD
AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2；
（2）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD。
11．【答案】在△ABC和△DCB中，
AB=AD
BC=DE
AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SSS)
∴∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D
即∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC
∴∠1=∠2。
∵ ∠ 3+∠ DNM+ ∠D =180 ，∠1+∠ BNA+ ∠ B=180
∴∠1=∠3（等量代换）即∠1=∠2= ∠3。
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北师大版 七年级下册
4.3 探索三角形全等的条件
导入新课
如何通过三角形的角和边来判断两个三角形是否全等呢？
A
B
C
E
F
G
已知：如图，△ABC≌△EFG，找出图中相等的边和角.
AB=EF, AC=EG, BC=FG.
∠A= ∠E, ∠C= ∠G, ∠ B=∠ F.
新课学习
想一想
要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？……
新课学习
2
4
5
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
有一条边对应相等的三角形
不一定全等
新课学习
1
2
3
4
5
有一个角对应相等的三角形
结论:
一个条件,并不能保证三角形全等。
不一定全等
新课学习
有三种情况：
2. 给两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
想一想
每种情况下画出的三角形一定全等吗？
1）一边一角；
2）两角；
3）两边。
新课学习
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
30o
6cm
一个内角和一条边相等时，三角形不一定全等。
新课学习
(2)三角形的两个角分别是：30°，50°.
300
50o
50o
50o
两个内角相等时，三角形不一定全等。
新课学习
4cm
6cm
(3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
结论：
有两个条件对应相等也不能保证三角形全等.
4cm
两条边相等时，三角形不一定全等。
新课学习
若给出三个条件画三角形，你能说出有哪几中可能情况
想一想
三个角
三条边
一个角，两条边
两个角，一条边
能画出全等的三角形吗？
新课学习
（1）已知一个三角形的三个内角 分别为400，600，800，请画出这个三角形。
结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
新课学习
（2）已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
结论：三条边相等的两个三角形全等。
新课学习
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）
三角形全等的判定定理1：
这个定理说明：三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定。
新课学习
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
用符号语言表达为：
新课学习
如图：AB=AC，点D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD
证明：
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
牛刀小试
如图，CA=CB，DA=DB．求证：OA=OB，CD⊥AB．
证明：在△ACD和△BCD中，
CA＝CB
DA＝DB
CD＝CD（公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD，
又∵CA=CB，
∴OA=OB，CD⊥AB．
全等三角形对应角相等
新课学习
三角形具有稳定性。
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变.
三角形的稳定性
新课学习
生活中的三角形
典例精析
1.已知：如图，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，那么△ABE≌△DCF吗？ 并证明你的结论。你能说明AB与DE的位置关系吗？并证明你的结论。
分析：
角的关系
直线的关系
三角形全等
典例精析
证明： ∵BE=CF(已知)
∴ BE+EC=CF+EC (等式的性质)
即BC=EF
在△ABC和△DEF 中
∵
∴ △ABC≌△DEF
（SSS）
∴ ∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
AB=DE
AC=DF
BC=EF
知识巩固
1.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
B
三角形的稳定性
知识巩固
2.已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（ ）
A．CO=DO B．AO=BO C．AB⊥CD D．△ACO≌△BCO
A
知识巩固
3.如图，已知AC=EF，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB，要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
知识巩固
解：要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，
结合条件AC=EF，BC=DE，则还少第三组对应边相等，即AB=FD，
由AD=FB，可得AD+BD=BD+BF，即可得到AB=DF，
在△ABC和△FDE中，
AC＝EF
BC＝DE
AB＝DF，
∴△ABC≌△FDE（SSS）。
知识巩固
4.如图，在四边形ABCD中，点E、F在直线BD上，AE=CF，AD=CB，BE=DF。
（1）试判断△ADE与△CBF是否全等？并说明理由。
（2）试判断AD与BC是否平行，并说明理由。
知识巩固
解：（1）△ADE与△CBF全等；理由如下：
∵点E、F在直线BD上，BE=DF，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
AE＝CF
AD＝CB
DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
知识巩固
解：（2）AD与BC平行；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∵∠ADE+∠ADB=∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC。
课堂小结
1. 三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
