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《探索三角形全等的条件》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）三角形全等“角边角”和“角角边”的条件；
（2）利用“角边角”和“角角边”解决问题。
2.过程与方法
在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。21世纪教育网版权所有
【教学重点】
三角形全等“角边角”和“角角边”的条件。
【教学难点】
三角形全等“角边角”和“角角边”的条件。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课的学习当中呢，我们探索了全等三角形的一个条件，即边边边，大家还记得它的内容吗？
（学生回答）
【过渡】大家记得都特别清楚，那如果题目中 ( http: / / www.21cnjy.com )没有给出三条边相等的信息，而是给出了某一个或两个角，那么我们能不能得到三角形全等呢？今天我们就来探讨一下这个问题。
二、新课教学
1．探索三角形全等的条件
【过渡】上节课呢，我们分析了给出三个条件下 ( http: / / www.21cnjy.com )，会有几种可能，并探索了三边相等的情况下，三角形的全等。现在我们来回忆一下，如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
（学生回答）
【过渡】我们先来分析两个角一条边的情况。首先，大家动手来画这样一个三角形。
若三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗？
【过渡】按照要求，大家都能画出所需要的三角形，现在，各自拿着自己画的三角形与同桌的进行比较，这两个三角形有什么关系呢？是否全等呢？21cnjy.com
（学生回答）
【过渡】通过比较，我们发现，所画的三角形是能够重合的，这就说明按照这种方法画的三角形全等。这就是利用两角一边判断三角形全等的定理：21·cn·jy·com
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”。
【过渡】大家能用数学语言来表述这个定理吗？
（学生回答）
【过渡】分析刚刚的问题，我们发现，这是两个角与夹边的。如果这条边是其中一个角的对边，又会是什么样的情况呢？21教育网
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？
大家按照这个条件来画一下三角形吧。
【过渡】和刚刚一样，大家来对比一下自己画的三角形与别人的，有什么关系呢？
（学生回答）
【过渡】通过刚刚的比较，我们发现，利用两个角及其中一个角的对边，同样能够得到全等的三角形。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。
【过渡】这两个定理在使用时，一定要注意区分边与角的关系，正确区分并利用。
【过渡】现在，我们来看课本P82的想一想吧。大家觉得这个思路正确吗？
课件展示。
【过渡】这个思路就是按照上述的角边角定理进行判定的。现在给大家一个练习，大家一块证明一下吧。
【练习】如图，HI∥BJ，JI∥BH，求证：△BIH≌△IBJ。
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【过渡】这个问题也是利用角边角进行判定。
2. 如图,AD = AE， ∠B = ∠C ，那么BE与CD相等吗 为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】这个问题也是利用角角边进行判定。
【知识巩固】1、如图，已知：∠A=∠D，要使△ABC≌△DCB，只需增加一个条件是（ C ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AC=DB B．BC=CB
C．∠ABC=∠DCB D．AB=DC
2、求证：在两个锐角三角形中，如果有两角及其中一角的对边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。
如图所示：已知：在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF，∠B=∠E，AM、DN分别是△ABC和△DEF的高，且AM=DN；www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：△ABC≌△DEF。
证明：∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的高，
∴∠AMB=∠DNE=90°，
在△ABM和△DEN中，
∠B＝∠E
∠AMB＝∠DNE
AM＝DN
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
∠BAC＝∠EDF
AB＝DE
∠B＝∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
3、如图，AD∥BC，∠A=∠DEC=90°，DE=EC，试说明AD+BC=AB。
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵∠DEC=∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，
∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B+∠A=180°，∴∠B=∠A=90°，
在△AED和△CEB中，
∠A＝∠B
∠ADE＝∠BEC
DE＝EC ，
∴△AED≌△CEB，∴AE=BC，BE=AD，
∵AE+BE=AB，∴AD+BC=AB。
【板书设计】
1、三角形全等的条件：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
【教学反思】
在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能 ( http: / / www.21cnjy.com )够按照之前的学习办法，能够进行有条理的思考并进行简单的推理，使学生在自主探索三角形全等的条件的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。
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《探索三角形全等的条件》练习
一、选择——基础知识运用
1．在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（ ）21世纪教育网版权所有
A．一定全等 B．一定不全等 C．不一定全等 D．以上都不对
2．如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（ ）
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A．BD=AD B．AB=AC
C．∠1=∠2 D．以上答案都不对
3．如图所示，∠E=∠F， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，添加下列条件后仍不能使△ABD≌△CAE的条件是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AD=AE B．AB=AC C．BD=AE D．AD=CE
5．如图，AC平分∠BAD，∠B=∠D，AB=8cm，则AD=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
二、解答——知识提高运用
6．已知，如图，△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=AC，动点D、E、F在AB、BC、AC上移动，移动过程中始终保持BD=CE，∠DEF=∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由。
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC。
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA．求证：∠DEC=∠BEC。21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=BD，求证：BF=AC。
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC。求证：ED平分∠FEC。www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．等边△ABC中，点E在AB上，点D在CA的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：
（1）如图1，当E为AB中点时，试确定线段AD与BE的大小关系，请你直接写出结论：AD BE；
（2）如图2，若点E为线段AB上任意一点，（1）中结论是否成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由。2·1·c·n·j·y
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=70°，
在△ABC和△NME中，
∠B＝∠M
∠C＝∠E
AC＝EN，
∴△ABC≌△NME（AAS），
故选A。
2．【答案】B
【解析】选择AB=AC；理由如下：
在△ABD和△ACE中，
∠A＝∠A
AB＝AC
∠B＝∠C ，
∴ABD≌△ACE（ASA）；
故选：B。
3．【答案】C
【解析】在△ABE和△ACF中，
∠E＝∠F
∠B＝∠C
AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠FAN=∠EAM，∴①正确；
在△AEM和△AFN中，
∠E÷∠F
AE＝AF
∠EAM∠＝∠FAN，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴EM=FN，AM=AN，
∴②正确；
在△ACN和△ABM中，
∠CAN＝∠BAM
∠C＝∠B
AN＝AM，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴③正确，
④不正确；
正确的结论有3个。
故选：C。
4．【答案】A
【解析】∵∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴∠B=∠CAE，
A、AD和AE不是对应边，即不能判断△ABD≌△CAE，故本选项正确；
B、在△ABD和△CAE中
∠D＝∠E
∠B＝∠CAE
AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），故本选项错误；
C、在△ABD和△CAE中
∠B＝∠CAE
∠D＝∠E
BD＝AE，
∴△ABD≌△CAE（AAS），故本选项错误；
D、在△ABD和△CAE中
∠D＝∠E
∠B＝∠CAE
AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（AAS），故本选项错误；
故选A。
5．【答案】B
【解析】∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
在△ADC和△ABC中，
∠B＝∠D
∠DAC＝∠BAC
AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AD=AB=8cm。
故选：B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】存在始终与△BDE全等的三角形，△CEF≌△BDE；理由如下：
∵∠CED=∠B+∠BDE，∠DEF=∠B，
∴∠CEF=∠BDE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△CEF和△BDE中，
∠C＝∠B
CE＝BD
∠CEF＝∠BDE，
∴△CEF≌△BDE（ASA）。
7．【答案】∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE
∠C＝∠E
AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AE=AC。
8．【答案】证明：在△ACD和△ACB中，
∠DAC＝∠BAC
AC＝AC
∠DCA＝∠BCA，
∴△ACD≌△ACB，（ASA）
∴BC=CD，
在△DCE和△BCE中，
BC＝CD
∠DCA＝∠BCA
CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（ASA），
∴∠DEC=∠BEC。
9．【答案】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
∠BDF＝∠ADC
BD＝AD
∠DBF＝∠DAC，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC。
10．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEB=∠FEC=90°，
∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
∠BDF＝∠ADC
∠DBF＝∠DAC
BF＝AC，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠BED=∠BAD=45°，
∴∠CED=90°-45°=45°=∠BED，
∴ED平分∠FEC。
11．【答案】（1）AD=BE；
（2）过点E作EF∥AC交BC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECA，
∴∠D=∠FEC，
∵∠BFE=∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠CFE=120°，
在△AED和△FCE中，
∠D＝∠FEC
∠EAD＝∠CFE
ED＝EC，
∴△AED≌△FCE（AAS），
∴AD=FE，
∴AD=BE。
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北师大版 七年级下册
4.3 探索三角形全等的条件
导入新课
A
B
C
D
E
F
三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS“。
如果给出的是角与边的关系，能得到三角形全等吗？
新课学习
想一想
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
两角及其中一角的对边
两角夹一边
每种情况下能画出全等的三角形吗？
新课学习
2
4
5
若三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗
2cm
60°
80°
动动手
80°
新课学习
1
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
2cm
60°
A
B
C
新课学习
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”。
全等三角形的判定定理2：
要注意这里的边是两角的夹边哦！
新课学习
如图，在△ABC和△DEF中
用符号语言来表示：
∠B= ∠E
BC=EF
∠C= ∠F
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
新课学习
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
动动手
3cm
60°
45°
新课学习
3cm
60°
45°
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
新课学习
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
全等三角形的判定定理3：
要注意这里的边是其中一角的对边，要注意区分！
新课学习
如图，在△ABC和△DEF中
∠B= ∠E
AC=DF
∠C= ∠F
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
用符号语言来表示：
在 和 中
新课学习
例: 如图,O是AB的中点， ∠A = ∠B ，△AOC与△BOD全等吗 为什么？
两角和夹边对应相等
(已知)
(中点的定义)
(对顶角相等)
△AOC
△BOD
∠A = ∠B
AO = BO
∠AOC = ∠BOD
△AOC≌△BOD
(ASA)
牛刀小试
如图，HI∥BJ，JI∥BH，求证：△BIH≌△IBJ。
证明：∵HI∥BJ，JI∥BH，
∴∠HIB=∠JBI，∠HBI=∠JIB，
在△BIH和△IBJ中，
∠HIB＝∠JBI
BI＝IB
∠HBI＝∠JIB
∴△BIH≌△IBJ（ASA）
在 和 中
2. 如图,AD = AE， ∠B = ∠C ，那么BE与CD相等吗 为什么？
两角和其中一角的对应边对应相等
(已知)
(公共角)
(已知)
△ABE
△ACD
∠B = ∠C
∠A = ∠A
AE= AD
∴ △ABE≌△ACD
(AAS)
∴ BE=CD
（全等三角形对应边相等）
牛刀小试
课堂小结
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
知识巩固
1.如图，已知：∠A=∠D，要使△ABC≌△DCB，只需增加一个条件是（ ）
A．AC=DB B．BC=CB
C．∠ABC=∠DCB D．AB=DC
C
根据已知结合图形及判定方法选择条件
知识巩固
2.求证：在两个锐角三角形中，如果有两角及其中一角的对边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。
如图所示：已知：在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF，∠B=∠E，AM、DN分别是△ABC和△DEF的高，且AM=DN；
求证：△ABC≌△DEF。
在△ABM和△DEN中，
∠B＝∠E
∠AMB＝∠DNE
AM＝DN
知识巩固
证明：∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的高，
∴∠AMB=∠DNE=90°，
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
∠BAC＝∠EDF
AB＝DE
∠B＝∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
知识巩固
3.如图，AD∥BC，∠A=∠DEC=90°，DE=EC，试说明AD+BC=AB。
知识巩固
证明：∵∠DEC=∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，
∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B+∠A=180°，∴∠B=∠A=90°，
在△AED和△CEB中，
∠A＝∠B
∠ADE＝∠BEC
DE＝EC ，
∴△AED≌△CEB，∴AE=BC，BE=AD，
∵AE+BE=AB，∴AD+BC=AB．
