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《探索三角形全等的条件》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）三角形全等“边角边”的条件；
（2）正确利用三角形全等的几个判定定理。
2.过程与方法
在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。【来源：21·世纪·教育·网】
【教学重点】
三角形全等“边角边”的条件。
【教学难点】
三角形全等“边角边”的条件。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】前两节的学习中，我们学习了几种判断三角形全等的方法，大家知道都有哪几种吗？
（学生回答）
【过渡】经过前两节的学习，我们掌握了“边边边”、“角边角”、“角角边”的判断方法，那么，给定三个条件下，还有其他可能吗？今天我们就来看一下21cnjy.com
二、新课教学
1．探索三角形全等的条件
【过渡】根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了角角角、边边边及两角一边外，还有哪种情况？
（学生回答）
【过渡】大家回答的都很正确，我们还有最后一种情况，即两边一角的情况。现在谁能告诉我，这个情况下又有几种可能呢？www.21-cn-jy.com
（学生讨论回答）
【过渡】总共有两种可能性，两边及夹角和两边及其一边的对角，我们对这两种情况依次进行分析。
【过渡】我们先来看一下课本P83的做一做。大家动手画一下这个三角形吧。
【过渡】我们先确定一条边的长度为3.5cm，然后做出40°的角，再截取2.5cm的长度。最后，这个三角形就画出来了。21教育网
现在，大家拿自己画的三角形与同桌的进行比较，你发现了什么？
（学生回答）
【过渡】这样的条件下，我们得到的三角形是可以完全重合的，也就是说利用这种两边及其夹角的方法可以得到三角形全等。2·1·c·n·j·y
全等三角形的判定定理4：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”。
【过渡】针对这个定理，我们需要明确的一点是这个角是两边的夹角。
【过渡】既然第一种情况解决了，那么我们来看第二种可能，两边及其中一边的对角。
我们来看课本议一议的内容。按照刚刚的做法，我们先来画一下这个条件下的三角形吧。
【过渡】通过对自己与他人所画的三角形比较，大家画的都是一样的吗？
（学生回答）
【过渡】很明显，我们通过这个条件，画出来的三角形不是唯一的，如课件上所展示的两个，就是符合条件下的两个三角形。这说明了什么呢？21世纪教育网版权所有
（学生回答）
【过渡】两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等。所以这个是不成立的。
【过渡】今天呢，我们又学习了一个新的判断三角形全等的定理：边角边。现在，我们来练习一下如何使用这个定理吧。21·世纪*教育网
【练习】如图,在下列三角形中,哪两个三角形全等
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【过渡】这个题目是希望大家能够牢记边角边的角是两边的夹角。
【典例精析】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．
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课件展示解题过程。
【知识巩固】1、如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ B ）www-2-1-cnjy-com
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A．AB=DC B．OB=OC
C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
2、下列条件不能判定两个三角形全等的是（ D ）
A．两边及其夹角对应相等 B．两角及其夹边对应相等
C．三边对应相等 D．三角对应相等
3、如图，AO=CO，DO=BO，∠COA=∠DOB，求证：△AOB≌△COD。
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证明：∵∠COA=∠DOB，∴∠COD=∠AOB，
在△AOB和△COD中，
AO＝CO
∠AOB＝∠COD
BO＝DO，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
4、已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
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（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
解：（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；
（2）△ABF≌△DEC，
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABF和△DEC中
AB＝DE
∠A＝∠D
AF＝DC，
∴△ABF≌△DEC（SAS）．
5、如图所示，在半圆O中，半径OC与直径AB垂直，E、F分别是CO、AO上的点，且OE=OF，求证：BD⊥CF．21·cn·jy·com
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证明：在△CFO和△BEO中，
OE＝OF
∠COF＝∠BOE＝90°
OB＝OC，
∴△CFO≌△BEO（SAS），
∴∠B=∠C，∠BEO=∠CFO，
∵∠B+∠BEO=90°，
∴∠B+∠CFO=90°，
∴∠BDF=90°，即BD⊥CF．
【板书设计】
1、三角形全等的条件：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）
【教学反思】
首先，本节课设计了探究活动，让学生带着问 ( http: / / www.21cnjy.com )题进行探究，调动了学生学习的积极性，而且使好奇心得以持续发展。学生在探究活动中，通过观察猜想、操作验证、归纳概括等一系列活动，使学生对问题的本质理解更为深刻。学生不仅知道了全等三角形判定的方法，而且明白为什么可以通过它们证明两个三角形全等，也对“边边角”不能作为判定两个三角形全等的方法有了深刻的理解。
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《探索三角形全等的条件》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．如图，已知AB=AD给出下列条件：
（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，
若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（ ）
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A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
4．如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，下列条件能保证△ABC≌△A ( http: / / www.21cnjy.com )DC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．（ ）21教育网
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A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①③④⑤
二、解答——知识提高运用
6．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。
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7．如图，BE、CF是△ABC的高且相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由。21cnjy.com
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8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。21·cn·jy·com
（1）求证：△AOC≌△A0E；
（2）求证：OE∥BC。
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9．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC。
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（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论。www.21-cn-jy.com
10．如图，点B、D、E、C在一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
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11．如图，在△ABC和△DEC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。2·1·c·n·j·y
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（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】∵ADAD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故选B。
2．【答案】B
【解析】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等，【来源：21·世纪·教育·网】
即当CB=CD或∠BAC=∠DAC时△ABC≌△ADC，
所以能使△ABC≌△ADC的条件有两个，
故选B。
3．【答案】D
【解析】∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
A、∵在△ABE和△CDF中
AB＝CD
∠A＝∠C
AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，正确，故本选项错误；
B、∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠DFE=180°，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AE=CF，∠A=∠C，
∴根据ASA即可证出两三角形全等，正确，故本选项错误；
C、∵∠B=∠D，∠A=∠C，AE=CF，根据AAS即可得出△ABE和△CDF全等，正确，故本选项错误；21世纪教育网版权所有
D、由BE=CD和∠A=∠C，AE=CF不能判定△ABE和△CDF全等，错误，故本选项正确；
故选D。
4．【答案】D
【解析】全等三角形有4对，如△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，21·世纪*教育网
理由是：在△AOB和△COD中
OA＝OC
∠AOB＝∠COD
OB＝OD，
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中
AB＝CD
BC＝AD
AC＝AC，
∴△ABC≌△CDA，
同理△ADB≌△CDB，
故选D。
5．【答案】C
【解析】∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴①正确；
∵AC=AC，即∠4与∠3是对应角，∴②错误；
∵∠1=∠2，3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），∴③正确；
∵AD=AB，∠1=∠2，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），∴④正确；
根据由两边和其中一边的对角不能判定两三角形全等，∴⑤错误；
正确的有①③④，
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠EAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
AB＝AE
∠BAD＝∠EAC
AD＝AC
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD=EC。
7．【答案】∵∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，∠BPF=∠CPE，
∴∠ABP=∠ACP，
在△ACQ和△PBA中，
BP＝AC
∠ABP＝∠ACP
AB＝CQ，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，
∵∠PAF+∠APF=90°，
∴∠APF+∠Q=90°，
∴AP⊥AQ。
8．【答案】（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中
AC＝AE
∠CAO＝∠EAO
AO＝AO，
∴△AOC≌△A0E．
（2）∵△AOC≌△A0E，
∴∠ACO=∠AEO。
又∵∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，
∴∠DCB=∠DOE。
∴OE∥BC。
9．【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=DB；
（2）解：BF=CE，理由如下：
根据题意得：AE=DF，
∴AF=DE，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAF和△CDE中，
AB＝DC
∠BAF＝∠CDE
AF＝DE ，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴BF=CE。
10．【答案】（有，△ABE≌△ACD；理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，
∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
AB＝AC
∠B＝∠C
BE＝CD，
∴△ABE和△ACD（SAS）。
11．【答案】（1）证明：∵AG∥DE，
∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，
∠G＝∠DEF
∠AFG＝∠DFE
AF＝DF，
∴△AGF≌△DEF，（AAS）
（2）①证明：∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，
AB＝DE
∠ABC＝∠DEC
BC＝CE，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°。
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北师大版 七年级下册
4.3 探索三角形全等的条件
导入新课
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
边边边（SSS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
还有其他的可能吗？
新课学习
想一想
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了角角角、边边边及两角一边外，还有哪种情况？
两边一角相等
两边及夹角
两边及其一边的对角
新课学习
2
4
5
三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？
（1）两边及夹角
2.5cm
40°
3.5cm
40°
新课学习
2
4
5
2.5cm
3.5cm
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
画的三角形是全等的。
A
B
C
新课学习
1
2
3
4
5
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简写成“边角边”或“SAS”。
全等三角形的判定定理4：
要注意这里的角是两边的夹角哦！
新课学习
1
2
3
4
5
用符号语言来表示：
如图，在△ABC和△DEF中
AB= DE
∠ B= ∠ E
BC= EF
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
新课学习
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
（2）两边及其中一边的对角
2.5cm
40°
3.5cm
新课学习
2.5cm
40°
3.5cm
E
D
F
40°
3.5cm
2.5cm
C
B
A
结论：两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等。
三角形ABC与三角形DEF均符合条件，但不全等。
牛刀小试
4
4
如图,在下列三角形中,哪两个三角形全等
4
4
5
5
30°
30°
4
4
30°
4
6
40°
4
6
40°
40°
①
③
②
⑥
⑤
④
①与④、③与⑤分别全等。
典例精析
如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．
分析：
与之相等的角
∠C的度数
三角形全等
∠1＝60°是已知度数，因此我们考虑与∠1的关系
典例精析
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE= ∠2+ ∠ABE
即∠ABC＝∠FBE.
∴△ABC≌△FBE(SAS)
∵ 在△ABC和△FBE中
BC=BE
∠ABC=∠FBE
AB=FB
又∵BC∥EF，
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝60°.
∴∠C＝∠BEF
要判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
课堂小结
1. 三角形全等的条件：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
知识巩固
1.如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A．AB=DC B．OB=OC
C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
B
运用边角边时，角为两条边的夹角
知识巩固
2.下列条件不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两边及其夹角对应相等 B．两角及其夹边对应相等
C．三边对应相等 D．三角对应相等
D
解析：A
SAS
ASA
B
SSS
C
知识巩固
3.如图，AO=CO，DO=BO，∠COA=∠DOB，求证：△AOB≌△COD。
证明：∵∠COA=∠DOB，∴∠COD=∠AOB，
在△AOB和△COD中，
AO＝CO
∠AOB＝∠COD
BO＝DO，∴△AOB≌△COD（SAS）．
知识巩固
4.已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
知识巩固
解：（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；
（2）△ABF≌△DEC，
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABF和△DEC中
AB＝DE
∠A＝∠D
AF＝DC，∴△ABF≌△DEC（SAS）．
知识巩固
5.如图所示，在半圆O中，半径OC与直径AB垂直，E、F分别是CO、AO上的点，且OE=OF，求证：BD⊥CF．
∴△CFO≌△BEO（SAS），
∴∠B=∠C，∠BEO=∠CFO，
知识巩固
证明：在△CFO和△BEO中，
OE＝OF
∠COF＝∠BOE＝90°
OB＝OC ，
∵∠B+∠BEO=90°，
∴∠B+∠CFO=90°，
∴∠BDF=90°，即BD⊥CF．
