第三章
万有引力定律及其应用
第一节
万有引力定律
A级 抓基础
1．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳位于( )
A．F2
B．A
C．F1
D．B
解析：根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳和行星的连线必然是行星与F2的连线，故太阳位于F2.
答案：A
2．(多选)卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G.为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( )
A．减小石英丝的直径
B．增大T形架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射
D．增大刻度尺与平面镜之间的距离
解析：利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C、D正确．
答案：CD
3．(多选)对于太阳与行星间的引力及其表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中G为比例系数，与太阳、行星有关
B．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M、m都处于平衡状态
D．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力
解析：太阳与行星间引力表达式F＝G中的G为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B、D正确，C错误．
答案：BD
4．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m1和m2，球心间的距离为r，若测得两金属球间的万有引力大小为F，则此次实验得到的引力常量为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由万有引力定律公式F＝G得G＝，所以B项正确．
答案：B
5．月球绕地球运动的周期约为27天，则月球中心到地球中心的距离R1与地球同步卫星(绕地球运动的周期与地球的自转周期相同)到地球中心的距离R2之比R1∶R2约为( )
A．3∶1
B．9∶1
C．27∶1
D．18∶1
解析：由开普勒第三定律有eq
\f(R,T)＝eq
\f(R,T)，所以＝eq
\r(3,\f(T,T))＝＝，选项B正确，A、C、D错误．
答案：B
B级 提能力
6．(2016·汕头高一检测)地球半径为R，地球附近的重力加速度为g0，则在离地面高度为h处的重力加速度是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据万有引力定律和牛顿第二定律，G＝mg0，G＝mg，解得g＝，B正确．
答案：B
7．月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，一个质量为600
kg的飞行器到达月球后，下列说法错误的是( )
A．在月球上的质量仍为600
kg
B．在月球表面上的重力为980
N
C．在月球表面上方的高空中重力小于980
N
D．在月球上的质量将小于600
kg
解析：物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对，D错；由题意可知，物体在月球表面上受到的重力为地球表面上重力的，即F＝mg＝×600×9.8
N＝980
N，故B对；由F＝G知，r增大时，引力F减小，在星球表面，物体的重力可近似认为等于物体所受的万有引力，故C对．
答案：D
8．随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其他星球成为可能．假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( )
A.
B．2倍
C．4倍
D．8倍
解析：由G＝mg得M＝，而M＝ρ·πR3，由两式可得R＝，所以M＝，易知该星球质量大约是地球质量的8倍．D对．
答案：D
9．近几年，全球形成探索火星的热潮，发射火星探测器可按以下步骤进行．第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，先使之成为一个绕地球轨道运动的人造卫星．第二步，在适当时刻启动探测器上的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增大到适当值，从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行，运行其半个周期后正好飞行到火星表面附近，使之成为绕火星运转的卫星，然后采取措施使之降落在火星上，如图所示．设地球的轨道半径为R，火星的轨道半径为1.5R，探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间？
解析：由题可知，探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时，其轨道半长轴为a＝＝1.25R.由开普勒定律可得eq
\f(R3,T)＝，即T′＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.25R,R)))\s\up12(3)·T)＝T地＝1.4T地，故t＝＝0.7T地＝8.4月．
答案：8.4月
10．月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，如果以同一初速度在地球上和月球上竖直上抛一物体．求：
(1)两者上升的最大高度之比；
(2)两者从抛出到落回原抛点的时间之比．
解析：对星球表面的物体有mg＝G，所以g＝，
故＝eq
\f(M月R,M地R)＝×＝.
(1)上升高度h＝eq
\f(v,2g)，所以＝＝.
(2)由于t＝，所以＝＝.
答案：(1) (2)第三章
万有引力定律及其应用
第三节
飞向太空
A级 抓基础
1．(多选)人们离开大气层，进行航天飞行所需的运载工具可以是( )
A．喷气式飞机
B．火箭
C．直升机
D．航天飞机
解析：喷气式飞机和直升机必须依靠空气进行飞行，不能离开大气层，A、C错误．而火箭和航天飞机依靠自身所带的燃料，不依靠空气飞行，可以飞出大气层，B、D正确．
答案：BD
2．人造卫星在太空绕地球运行时，若天线偶然折断，天线将( )
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动
D．做自由落体运动，落向地球
解析：折断后的天线与卫星具有相同的速度，天线受到地球的万有引力全部提供其做圆周运动的向心力，情况与卫星的相同，故天线仍沿原轨道与卫星一起做圆周运动，A对，B、C、D错．
答案：A
3．宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站( )
A．只能从较低轨道上加速
B．只能从较高轨道上加速
C．只能从与空间站同一高度轨道上加速
D．无论在什么轨道上，只要加速都行
解析：飞船从低轨道加速做离心运动到达空间站所在轨道对接，A选项正确．
答案：A
4．(多选)人造卫星进入轨道做匀速圆周运动时，卫星内的物体将( )
A．处于完全失重状态，所受万有引力为零
B．处于完全失重状态，但仍受到万有引力的作用
C．所受的万有引力就是维持它随卫星一起做匀速圆周运动所需的向心力
D．处于平衡状态，合外力为零
解析：做匀速圆周运动的卫星，万有引力完全提供向心力，卫星及卫星内的物体处于完全失重状态，故A、D错，B、C对．
答案：BC
5．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小
B．向心加速度变小
C．线速度变小
D．角速度变小
解析：探测器做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，则G＝mr，整理得T＝2π，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由G＝ma＝m＝mrω2，整理得：a＝G，v＝，ω＝，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误．
答案：A
6．“神舟十一号”与“天宫二号”已成功实现自动交会对接．如果对接前“神舟十一号”和“天宫二号”在同一轨道上运动，若“神舟十一号”与前面的“天宫二号”对接，“神舟十一号”为了追上“天宫二号”，可采用的方法是( )
A．“神舟十一号”加速追上“天宫二号”，完成对接
B．“神舟十一号”从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上“天宫二号”完成对接
C．“神舟十一号”加速至一个较高轨道再减速追上“天宫二号”完成对接
D．无论“神舟十一号”如何采取措施，均不能与“天宫二号”对接
解析：神舟十一号要追上天宫二号，神舟十一号应先减速，使它的半径减小，速度增大，故在低轨道上神舟十一号可接近或超过天宫二号，当神舟十一号运动到合适的位置时再加速，使其轨道半径增大，速度减小，当刚好运动到天宫二号所在轨道时停止加速，则神舟十一号的速度刚好等于天宫二号的速度，可以完成对接．B正确．
答案：B
B级 提能力
7．月球探测器在环绕月球运行过程中，轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时( )
A．r、v都略微减小
B．r、v都将保持不变
C．r略微减小，v略微增大
D．r略微增大，v略微减小
解析：当探测器飞越质量密集区上空时，月球对探测器的引力增大，由F＝知半径r将减小；根据G＝得v＝，可知v将增大，故选C.
答案：C
8．(多选)“神舟十号”飞船与“天宫一号”实施交会对接，“神舟十号”在追赶“天宫一号”的过程中，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行的周期约为90分钟，下列判断正确的是( )
A．飞船变轨前后的线速度相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：飞船点火加速变轨，前后的线速度不相等，所以A不正确．飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于完全失重状态，B正确．飞船在此圆轨道上运动的周期为90分钟，小于同步卫星运动的周期24小时，根据T＝可知，飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度，C正确．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力产生加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力产生加速度，所以两种情况下的加速度相等，D不正确．
答案：BC
9．(2016·攀枝花高一检测)(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
解析：飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，A错误；由开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B正确；由公式a＝G可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2π可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误．
答案：BC第三章
万有引力定律及其应用
第二节
万有引力定律的应用
A级 抓基础
1．(多选)与“神舟九号”相比，“神舟十号”的轨道更高，若宇宙飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，则“神舟十号”比“神舟九号”的( )
A．线速度小
B．向心加速度大
C．运行周期大
D．角速度大
解析：轨道越高，半径越大，宇宙飞船的线速度、角速度和向心加速度都越小，只有运行周期越大．故A、C正确，B、D错误．
答案：AC
2．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．它们的质量一定是相同的
B．它们的周期、高度、速度大小一定是相同的
C．我国发射的地球同步卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的地球同步卫星必须定点在赤道上空
解析：同步卫星的特点是：定位置(赤道的上方)、定周期(24
h)、定速率、定高度．同步卫星与地球保持相对静止，可知同步卫星必须位于赤道的上方．同步卫星的周期一定，与地球的自转周期相等．根据万有引力提供向心力G＝mr知，轨道半径一定，则卫星的高度一定，轨道半径一定，则卫星的速度大小一定．对于同步卫星的质量，不一定相同．故B、D正确，A、C错误．故选B、D.
答案：BD
3．(多选)地球半径为R，地面上重力加速度为g，在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其线速度的大小可能是( )
A.
B.
C.
D．2
解析：贴近地表运行的卫星的线速度是所有绕地球做匀速圆周运动卫星的最大环绕速度，其大小为v＝，所以高空卫星的线速度应小于，故A、B正确，C、D错误．
答案：AB
4．“嫦娥三号”在实施软着陆过程中，离月球表面4
m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设月球的质量为M′，由G＝Mg和F＝Mg解得M′＝，选项A正确．
答案：A
5．(多选)“嫦娥三号”在落月前的一段时间内，绕月球表面做匀速圆周运动．若已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，对于绕月球表面做圆周运动的卫星，以下说法正确的是( )
A．线速度大小为
B．线速度大小为
C．周期为T＝
D．周期为T＝
解析：“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动，可认为轨道半径等于月球半径R，月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，由G＝m，可得v＝
，A错误，B正确；由G＝mR，可得T＝
，C错误，D正确．
答案：BD
B级 提能力
6.(多选)如图所示，我国在轨运行的气象卫星有两类，一类是极地轨道卫星——风云1号，绕地球做匀速圆周运动的周期为12
h，另一类是地球同步轨道卫星——风云2号，运行周期为24
h．下列说法正确的是( )
A．风云1号、风云2号相对地面均静止
B．风云1号的向心加速度大于风云2号的向心加速度
C．风云1号的角速度小于风云2号的角速度
D．风云1号的线速度大于风云2号的线速度
解析：风云1号周期小于地球自转周期，故相对地面是运动的，A错误；风云1号轨道半径较小，向心加速度较大，角速度、线速度都大于风云2号，故B、D正确，C错误．
答案：BD
7．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析：由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C错；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．
答案：AD
8．火星直径约为地球的，质量约为地球的，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法中正确的是( )
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的大
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析：由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A项错误；由G＝m得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，B项对；由v＝判断轨道半径大的线速度小，C项错；公转向心加速度a＝G，可以判断火星的向心加速度小，D项错．
答案：B
9．研究发现，月球的平均密度和地球的平均密度差不多相等，航天飞机分别贴近月球表面和地球表面飞行，下列物理量的大小差不多相等的是( )
A．线速度
B．角速度
C．向心加速度
D．万有引力
解析：因G＝m＝mω2r＝mr＝ma.
解得v＝
，①
T＝＝2π，②
ω＝，③
a＝，④
F＝G.⑤
由v＝
＝
＝
，因r不同，则线速度不同．故A错误；由ω＝＝
＝.因ρ一样，则ω一样，故B正确；由a＝＝＝Gπrρ，因r不同，则a不同，故C错误；由F＝G＝G＝Gπrρm，可则F不一定相同，故D错误．故选B.
答案：B
10．(多选)我国成功发射了“中星2A”通信广播地球同步卫星．在某次实验中，飞船在空中飞行了36
h，环绕地球24圈．那么，同步卫星与飞船在轨道上正常运转相比较( )
A．同步卫星运转周期比飞船大
B．同步卫星运转速率比飞船大
C．同步卫星运转加速度比飞船大
D．同步卫星离地高度比飞船大
解析：宇宙飞船在太空中环绕地球运转时，飞船就相当于地球的一颗卫星，此卫星与同步卫星相比有一些不同，但也有相同之处，那就是由万有引力提供向心力．由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝
飞船的运转周期T′＝
h＝1.5
hh，故A正确；由②得＝，为恒量，得同步卫星离地高度h大，故D正确；由①得v＝
，所以同步卫星运转的速率小，B错误；由③得a＝，所以同步卫星运转的加速度小，C错误．
答案：AD
