2016-2017年数学北师大版必修1-2同步学案：3.4 反证法

§4　反证法
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)
3．掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　反证法
阅读教材P65～P67“练习”以上内容，完成下列问题．
1．反证法的定义
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
2．反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3 4 1表示：
→→→
图3 4 1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．(　　)
(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．(　　)
【解析】　(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法．
(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．
(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
用反证法证明否定性命题
　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
【导学号：67720020】
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【精彩点拨】　第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明．
【自主解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N＋，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
3．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
[再练一题]
1．已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
【证明】　假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.
又当x0<0时，0即0<－1＋<1,1<<2，解得这与x0<0矛盾，
所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．
用反证法证明“至多”“至少”问题
　已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.
【精彩点拨】　本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．
【自主解答】　假设x＋，y＋，z＋都小于4，
即x＋<4，y＋<4，z＋<4，
于是得＋＋<12，
而＋＋＝＋＋≥2
＋2
＋2
＝12，
这与＋＋<12矛盾，
因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
p且 q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
p或 q
[再练一题]
2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
【证明】　假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
[探究共研型]
用反证法证明“唯一性”命题
探究1　用反证法证明数学命题的步骤是什么？
【提示】　(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．
(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．
探究2　如何证明两条相交直线有且只有一个交点？
【提示】　假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．
　已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
【精彩点拨】　
【自主解答】　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
①
(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
②
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
[再练一题]
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【证明】　由于f(x)在[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，
则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，
即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[构建·体系]
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是(　　)
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②　　　　
B．②③
C．①②③
D．①②④
【解析】　根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用．
【答案】　C
2．实数a，b，c不全为0等价于(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】　不全为0即至少有一个不为0，故选D.
【答案】　D
3．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)
A．aB．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
【解析】　“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.
【答案】　B
4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．
【解析】　a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．
【答案】　a，b，c中至少有一个偶数
5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【证明】　假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】　C
2．下列命题错误的是(　　)
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】　a＋b为奇数 a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
【答案】　D
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】　D
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
【导学号：67720021】
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②
显然①②矛盾，所以C正确．
【答案】　C
5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为(　　)
A．①②③　　　　　
B．①③②
C．②③①
D．③①②
【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
【答案】　D
二、填空题
6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．
【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”．
【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．
【解析】　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“≤”．
【答案】　≤
8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】　③
三、解答题
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.
【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：
，
，
不成等差数列．
【证明】　假设，
，
成等差数列，则＋＝
2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．
所以，
，
不成等差数列．
[能力提升]
1．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
【答案】　D
2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin
A≠sin
B”．若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)
A．与已知条件矛盾
B．与三角形内角和定理矛盾
C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D．与大边对大角定理矛盾
【解析】　证明过程如下：假设sin
A＝sin
B，因为0A≠sin
B.
【答案】　C
3．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”．
乙说：“我们四人中有人考得好”．
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”．
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的
________两人说对了．
【解析】　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
【答案】　乙，丙
4．(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】　假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．