19.3.3正方形 同步练习

沪科版8年级下册数学19.3.3正方形同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
2. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　）

A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
3. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）21世纪教育网版权所有

A．3 B．4 C．5 D．6
4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的值是（ ）．www-2-1-cnjy-com

A． +1 B．-1 C．+2 D．-2
6. 如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG，若AB=6，则FG的长度为( )．21教育名师原创作品

A．3 B．4 C．2 D．5
7. 如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=　 ．

10. 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是　 　．
11. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 　cm．

12. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为　 ．
13. 如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于　　．

14. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是　 　．21*cnjy*com

三、计算题(本大题共4小题)
15. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，∠CBF=20°．
（1）∠ACB的大小=　　（度）；
（2）求证：△ABE≌△ADE；
（3）∠AED的大小=　　（度）．

16. 用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

17. 如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．21*cnjy*com
（1）求证：AE=BF；
（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．

18. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．

参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.B
分析：先回顾一下菱形和正方形的性质，知道矩形的特殊性质是正方形具有而菱形不具有的性质，根据矩形的特殊性质逐个判断即可．
解：菱形的性质有①菱形的对边互相平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，邻角互补，③菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质（①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等），
A、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误；
B、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确；
C、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误；
D、菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；
故选B．
2. B
分析：根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．
解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=67.5°﹣45°=22.5°．
故选B．
3. B
分析：根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE=BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4．
故选B．

4. C
分析：可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．21cnjy.com
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．

5. B
分析：过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
解：过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO=FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，
∴CO=AC=，
∴CF=CO=，
∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣，
∴DE==﹣1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°=∠DBC=∠DAC，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE=∠DCE=22.5°，
∴∠BCE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠CBE=45°，
∴∠BEC=67.5°，
∴BE=BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴BE=1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，
∴DE=﹣1，
故答案为：﹣1．故选B.

6. A
分析：根据正方形的性质得到FG∥BC，而FF、G分别为BE，CE的中点，则可得到FG为△BCE的中位线．21·cn·jy·com
解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵F、G分别为BE，CE的中点，
∴FG=3，
故答案为：3,故选A.
7. C
分析：小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．2·1·c·n·j·y
解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
面积由“增加→不变→减少”变化．
故选：C．
8. D
分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；21·世纪*教育网
③同②证明△EHF≌△DHC即可；
④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．2-1-c-n-j-y
解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，
则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选：D．

二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°﹣45°=45°；
故答案为：45°．
10.分析：先由∠A=∠B=∠C=90°，得出四边形ABCD是矩形，再根据正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可得出结果．www.21-cn-jy.com
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴可填：AB=BC．
故答案为AB=BC．
11. 分析：根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC=cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD=cm，
所以菱形的边长=cm．
故答案为：13．
12.分析：分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20或20．

13. 分析：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．
解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴MN⊥AB，
∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），
∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AD=．
故答案为：．

14. 分析：首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点An的坐标，即可得出点B6的坐标．21教育网
解：方法一：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，
∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，
即点A4的坐标为（7，8）．
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．
∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．
故答案为：（63，32）．
方法二：
∵B1C1=1，B2C2=2，
∴q=2，a1=1，
∴B6C6=25=32，
∴OC1=1=21=1，
OC2=1+2=22﹣1，
OC3=1+2+4=23﹣1…
OC6=26﹣1=63，
∴B6（63，32）．
三、计算题(本大题共4小题)
15.分析： （1）根据正方形的对角线平分一组对角即可解决问题．
（2）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．
（3）根据∠AED=∠AEB=∠EBC+∠ACB即可解决问题．
解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB=BCD=×90°=45°．
故答案为45．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD．
（3）解：∵△EAB≌△EAD，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°．
∴∠AED=65°．
故答案为65．
16. 分析：（1）可通过证CG=HE，来得出BG=FH的结论，那么关键是证明三角形DCG和DHE全等，已知的条件有DC=DF，一组直角，而通过同角的余角相等我们可得出∠GDC=∠HDF，由此可构成两三角形全等的条件，因此可得出GC=FH，进而可得出BG=EH
（2）结论仍然成立，也是通过证明三角形FDH和三角形DCG全等来得出结论的，即可得FH=CG，已知EF=BC，那么就能得出BG=EH．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）BG=EH．
∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，
在△CDG和△FDH中

∴△CDG≌△FDH（ASA），
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．
（2）结论BG=EH仍然成立．
同理可证△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BC+CG=EF+FH，
∴BG=EH．

17. 分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，AF=DE，然后根据图形列式整理即可得证；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF=AE，AF=DE，然后结合图形写出结论即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
（2）AF+BF=EF；
∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF+EF=BF．
18. 分析：（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；【出处：21教育名师】
（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=DM=，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=即可．【版权所有：21教育】
解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，

∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
在△ADG与△ABE中，，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE；
（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，

∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM=，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=，
∵DG=DM+GM=+，
∴S△ADG=DG?AM=（+）=1+．