19.2.1平行四边形的性质 同步练习

沪科版8年级下册数学19.2.1平行四边形的性质同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 如图，在?ABCD中，∠D=120°，则∠A的度数等于（　　）
A．120° B．60° C．40° D．30°
2. 如图，?ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3. 平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4. 如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
5 .如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）【版权所有：21教育】

A．10 B．14 C．20 D．22
6. 如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（　　）21*cnjy*com
∠E=∠CDF B. EF=DF C. AD=2BF D. BE=2CF
7. 如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．21教育名师原创作品
A．36° B．52° C．48° D．30°
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC=2S△CEF．

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=cm，则平行四边形ABCD的周长是 　．21·世纪*教育网

10. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是　 　．

11. 在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则?ABCD的周长等于　 　．
12. 如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　．

13. 如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
14. 如图，?ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为　 ．

三、计算题(本大题共4小题)
15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24，△OAB的周长是18，试求EF的长．

16. 如图，E，F是?ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，请你写出图中的一对全等三角形并对其进行证明．
17. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
（1）求AB的长．
（2）求图中阴影部分的面积．

18. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．

参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. B
分析：根据平行四边形的邻角互补即可得出∠A的度数．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故选B．
2. B
分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=5，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．21世纪教育网版权所有
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=5﹣3=2，
故选：B．
3. B
分析：根据平行四边形的邻角互补即可得出∠A的度数．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故选B．
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．
解：根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，
则有：x+2x=180°
∴x=60°，
即较小的内角是60°
故选B．
4. A
分析：要求∠DAE，就要先求出∠ADE，要求出∠ADE，就要先求出∠DBC．利用DB=DC，C=70°即可求出．21教育网
解：∵DB=DC，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC=70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°那么∠DAE=90°﹣∠ADE=20°
故选A．
5 .B
分析：直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
6. D
分析：首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先证明△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF=BC，再利用等量代换可得AD=2BF；根据题意不能证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．www.21-cn-jy.com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，故A成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，故B成立；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，故C成立；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，故D不成立；
故选：D．
7. A
分析：利用平行四边形的性质来解答即可。
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．故选A。
8. B
分析：①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；
②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；【来源：21·世纪·教育·网】
③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；
④根据EF=FM，得到S△EFC=S△CFM，根据MC＞BE，得到S△BEC＜2S△EFC．
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故选：A．

　
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：由平行四边形ABCD得到AB=CD，AD=BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE=∠AEB，即AB=AE=3cm，即可求出AD的长，就能求出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
∴AD=AE+DE=3+=4.5cm，
∴AD=BC=4.5cm，
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=2（3+4.5）=15（cm）；
故答案为：15cm．
10. 分析：由题意可得OA=OC，OB=OD，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得结论．21cnjy.com
解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11.分析：根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
解：如图1所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴?ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴BC=3﹣2=1，
∴?ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则?ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
12. 分析：由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．2-1-c-n-j-y
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，
∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
13. 解：∵若CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC，
∴∠BCE=∠EFA，∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，∴∠E=∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠EFA，
∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=3，∵AB=AE，AF∥BC，∴BC=2AF=6．
14. 分析：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，求出BM=AB=1，AM=BM=，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，得出点P与A重合即可；【来源：21cnj*y.co*m】
②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，由勾股定理求出BP即可；
（2）当∠BCP=90°时，CP=AM=，由勾股定理求出BP即可．
解：分两种情况：
（1）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=1，
∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC==2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP===2；
（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM=，
∴BP==；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2或．



三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：根据平行四边形的性质可知OA=OC=AC，OB=OD=BD，求出OB+OA=12，求出AB的长，由三角形中位线定理即可得出EF的长21*cnjy*com
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12，
∵△OAB的周长是18，
∴AB=18﹣（AO+BO）=18﹣12=6，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点
∴EF=AB=3．
16. 分析：图中的相似三角形有：△ADE≌△CBF、△ABF≌△CDE、△ABC≌△CDA
解：①△ADE≌△CBF （或△ABF≌△CDE，△ABC≌△CDA）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAE=∠BCF
在△ADE 和△CBF中
∴△ADE≌△CBF （SAS）
②△ABF≌△CDE
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC
∴∠BAF=∠DCE
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE
在△ABF 和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
③△ABC≌△CDA
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC与△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA）
注：学生答三种情况之一即可．
17. 分析：（1）首先根据等边三角形的性质可得DF=DC=FC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；2·1·c·n·j·y
（2）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACF=S△ACD，进而可得答案．【出处：21教育名师】
解：（1）∵△CDF为等边三角形，
∴DF=DC=FC，∠D=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠FAC=∠BCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD=AD=3cm，
∵AB=3cm；
（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3cm，
∴S△ACF=S△ACD=×AC?CD=×3×3=（cm2）．

　
18. 分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE=∠E．得出AB=BE，即可得出结论；
（2）同（1）证出DA=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．www-2-1-cnjy-com
解：（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．
∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．
∴∠DAF=∠DFA．
∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF．
∴AG=．
∴AF=2AG=2．
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4．