九年级上册第二十四章圆导学案

《
§24.1.5（补充）与圆有关的角的综合　》教学设计
教学设计：洪建明
学习目标
1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；
2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。
一、导学探究
知识概述
一、圆心角：
1、　　　　　　　　　　的角叫圆心角.
2、圆心角定理：在　　　　　　　　中，相等的圆心角所对的　　　相等，所对的　　　　也相等；
3、圆心角定理推论：
在同圆或等圆中，两个　　　、两条　　、两条　　、两条弦的　　　中有一组量相等，其余各组量都相等。
二、圆周角
1、顶点在　　，两条边　　　　　　的角叫做圆周角．
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　．
3、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角　　　　；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧　　　　．
推论2：　　　(或　　)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是　　　．
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角　　　．
推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的　　　　．
二、精讲多动
一、加深理解
1、对圆周角的理解
①如图，∠AOB与∠ACB是对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝　　∠AOB，反之∠AOB＝　　∠ACB．
②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．
2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：
①是圆中证角相等最常用的方法之一．
②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1与∠2)．
③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，
结论不成立(如图中的)．
④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中，
(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法．
3、对圆的内接四边形定理的理解
(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角．
(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)．
(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．
(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置．
二、解题方法技巧点拨
1、圆心角和圆周角之间的换算
例1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．
例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求所对圆心角的度数．
点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.
(2)本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？该副产品有时很有用．
仿解：如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α,
∠ACB＝β.
⑴当α＝50°时，求β的度数。
⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。
2、
圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题
　　圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．
　　圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．
例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，
∠AQC＝92°，求∠ABC的度数．
分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与∠A(∠C)建立起联系。
点评：
⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．
⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角．
⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图，
∠AQC＝∠ABC＋∠A)．
⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠P＝∠ABC－∠A)．
3、与圆周角有关的证明
例4、如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙O的直径．
⑴求证：∠BAF＝∠CAE．
(2)
求证：AB·AC＝AD·AF；
(3)若过O作ON⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？
例5、如图，AB是△ABC外接圆O的直径，D为⊙O上一点，且DE⊥CD交BC于E，
求证：EB·CD＝DE·AC．
　　　　　
例6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，
AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：AB2＝BG·BC．
例7、已知：⊙O1的圆心O1在⊙O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为⊙O2的弦，交⊙O1于C，求证：O1C2＝O1E·O1D．
点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．
①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．
4、与圆的内接四边形的有关计算问题
例8、如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是________．
仿解：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．
(1)请写出四个不同类型的正确结论；
(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
（3）连CD，设∠BDC＝，∠ABC＝，探究与之间的关系式，并给给予适当的说明。
例9、已知：四边形ABCD内接于⊙O，且∠BOD＝100°．求∠A的度数．（注意：此题不止一种情形）
仿解：已知⊙O中弦AB的长等于半径长，则弦AB所对的圆周角的度数为　　　　.
5、与圆的内接四边形有关的证明问题
例10、如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，G是上任意一点，AG、DC的延长线交于F．求证：∠FGC＝∠AGD．
点评：圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形．
变式：①此题条件不变，问DG·CG是否与AG·FG相等．
②是否有AC2＝AG·AF成立？
6、巧妙构造四点共圆解题.
例11、在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。
思路点拨：由题中的条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠ACB＝1000，
圆周角∠APB＝500问题，使此题得以突破与解决。
三、优选精练
★基础演练
窗体顶端
1、下列命题中，错误的是(　)
A．90°的圆角所对的弦一定是直径；　　B．相等的圆周角所对的弦长也相等；
C．圆周角等于其所对弧的度数的一半；　D．同弧所对的圆周角也相等
2、如图，已知直线BC切⊙O于点C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC＝　　　.
3、如图所示，P为等边三角形ABC外接圆上一点，则∠APB的度数是
4、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，分别过A、B作两条直线与⊙O1交于C、E，与⊙O2交于E、F，如∠ADF＝100°，那么∠ACE＝　　　　　.
第2题图　　　　　第3题图
第4题图
第5题图
5、如图，四边形OADC中，
A、D、C三点在以O为圆心的圆周上，延长AO交⊙O于B点，已知∠BOC＝20°，那么∠ADC　　　　
6、（2009肇庆）9．如图
4，⊙O是正方形
ABCD的外接圆，点
P
在⊙O上，则∠APB等于　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　第6题图　　　　　　第7题图　　　　第8题图　　　　　第9题图
7、如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，作弦CD⊥AB，当C在半圆上移动时，∠OCD的平分线交圆周于一点E，此点(　)
A．是的中点；
　　B．是的3等分点；C．距点B和C等远；　D．距点A和C等远
8、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB＝BC，求证：△ABD∽△DPC。
9、如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积.
★★能力提升
10、（07年重庆）已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝。给出以下五个结论：∠EBC＝；BD＝DC；AE＝2EC；劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是
。
11、如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为
.
12、（2008年海南）
如图8,
AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是
.
13、（07年广西柳州、北海）如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O
于E、D，连结ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14、(2009南充市)如图8，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC=6．
（1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
15、（2009黄冈市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：
16、(2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．
(1)　如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；
(2)　如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
(3)　如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3
C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
17、（2008陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的半径．
18、(2009成都)如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE＝BF；
（3）若，求⊙O的面积。
19、（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于
E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，
AC＝8，求⊙O的半径与CE的长．
20、（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC·CD＝PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。
★★★拓展延伸
21、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证：（1）；（2）E为△ABC的内心。
22、如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证：CD＝2OF.
23、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。（1）求证：FB＝FC；（2）；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长。
24、如图，直线AB经过⊙O的圆心，且与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且
∠AOC＝30°，点P是直线AB上一个动点（不与点O重合），直线OC与⊙O相交于点Q，问：是否存在点P，使QP＝QO？如果存在，那么这样的点P共有几个？并求出∠OCP的大小；如果不存在，请说明理由.
第24题图　　　　　　第24题备用图1　　　　　第24题备用图2
《
§24.2.
1点与圆的位置关系　》教学设计
教学设计：洪建明
学习目标
1．理解并掌握圆点与圆的三种位置关系及其运用．
2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念；了解反证法的证明思想．
一、导学探究
1．（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做__________；
（2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于_______的所有点的组成的图形．
（3）圆上所有的点到圆心的距离都等于____________
2．请你画图并想一想：当点分别在圆外和圆内时，点到圆心的距离与半径分别怎样呢？
答：经过画图可知，圆外的点到圆心的距离______半径；圆内的点到圆心的距离_______半径．
结论归纳下：如设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，
则有：
点P在圆外
　d
___
r
点P在圆上
　d
___
r
点P在圆内
　d
___
r
3．按要求作图并归纳你的发现：
（1）过一个点（点A）作圆（你能作多少个）
；
（2）过两个点A、B作圆（你能作多少个）；
（3）请回忆八年级上册的一个问题：如图，△ABC中，你能否找到一点P，使点P到点A、B、C三个顶点的距离相等？请画出来．
由作图⑴⑵⑶可归纳得出的结论是：
①经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．
②直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形外心在三角形的
____________，钝角三角形外心在三角的___________．
③经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的______圆．
外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点，这个点叫做这个三角形的___________．
二、精讲多动
1、例1
（1）已知⊙O的直径为10cm，有一点P到圆心O的距离为3cm，求点P与圆有何位置关系？
（2）若有一点M到某圆的最大距离为8cm，最小距离为2cm，求这个圆的半径．
2、仿练：
⑴⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的AB距离d＝OD＝3cm．在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＞4cm．P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
⑵Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AB＝13，AC＝5，对C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？
3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画　　个圆，并且只能画　　个．
　　　　　　　　　　　　　　叫做三角形的外接圆．　　　　　　　　　　　　　叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的　　　　　　　．三角形的外心就是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
的交点，它到　　　　　　　　　　的距离相等．
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明．
4、例2．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
作法提示：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直平分线必经过____________,并平分弦所对的两条_____________．
5、例3、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，求△ABC的外接圆半径．
6、例4、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC＝10cm，求△ABC外接圆的半径．
7、仿练：如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径．
8、探究：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，那么过同一直线上的三点能不能画一个圆呢？
9、这个证明与我们以前学过的证明不同，它不是直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题的成立，这样的证明方法叫做反证法．
用反证法证明命题一般有下面三个步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
用反证法证明一个命题，在分析“从假设出发，经过推理论证，得出矛盾”这一步骤时，一定要注意推理的严密性，每一步都要有理论根据，并且一定要真正理解矛盾在哪里，和学过的什么矛盾．
10、仿练：用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角．
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C不能有两个角是直角．
三、小结
1、点与圆的三种位置关系的判定；
2、三角形的外接圆与圆的内接三角形；
3、反证法．
三、优选精练
★基础演练
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；
④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与顶点C的距离为（
）．
A．2．5
B．2．5cm
C．3cm
D．4cm
(
http:
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/
www.
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)
　　　　第2题图　　　　第3题图　　　第4题图　　　　　　　　　　　　　　第10题图　　　　　　
3．如图，若△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为　　　
4、（2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．
⊙O的半径10cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和圆O的位置关系．
（1）PO＝8cm
（2）PO＝10cm
（3）PO＝12cm
6．
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求此圆的半径R的范围．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD若AB＝AC，∠ADE＝65°，试求∠BOC的度数．
8．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．
★★能力提升
9、（2009年江西省）在数轴上，点所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（
）
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
10、如图，点A、D、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式正确的是（　　　）
A、a＞b＞c；　　B、a＝b＝c；　　C、c＞a＞b；　　D、b＞c＞a．
11、如果点A到⊙O的最短举例是3cm，最长距离是6cm，则⊙O的半径是　　　　　cm．
12、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与顶点C的距离为　　　　　cm．
13、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为为d，且方程没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是　　　　　　　　．
14、棱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H四点在以O为圆心的同一个圆上．
15、如图，⊙O′经过坐标原点，点O′的坐标为（1，1），试判断P（－1，1）
Q（1，0），R（2，2）与⊙O′的位置．
16、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝4，BC＝9，M为AB的中点，以CD为直径画⊙P．
⑴当CD的长取何值时，点M在⊙P外？
⑵当CD的长取何值时，点M在⊙P上？
⑶当CD的长取何值时，点M在⊙P内？
17、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝90°，B为的中点，P为直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值．
18、用反正法证明：圆内不是直径两条弦不能互相平分．
★★★拓展延伸
19、如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AB＝48cm，CD＝30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这个圆的半径
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
20、如图，用三个边长为1的正方形组成的一个品字型轴对称图形，求能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径．
《
§24.2.1直线与圆的位置关系　》教学设计
教学设计：洪建明
学习目标
1、了解直线和圆的位置关系的有关概念．
2、理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：相交dr．
一、导学探究
一、导学探究
1．我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
　　
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)
则有：（1）_____________d>r，如图______所示；
（2）___________　d＝r，如图_______所示；
（3）_____________d2.我们知道点和圆有三种位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？
如图所示，固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
(1)
如图（a），直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆______，这条直线叫做圆的______线．
(2)
如图（b），直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆______，这条直线叫做圆的_________，这个点叫做___________．
(3)
如图（c），直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_______
(4)
点到直线l的距离是指过这点向直线所作的垂线段的长，按照这个定义，请在图上作出圆心O到l的距离。设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出如下结论:
①直线l和⊙O相交___________；
②直线L和⊙O相切___________；
③直线L和⊙O相离___________；
二、精讲多动
1、直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：（让学生自己将上面三种情况的示意图画出来）
①如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图（1）所示．
②如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
③如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图（3）所示．此时这条直线叫做圆的割线．
图23.2.6
用眼睛直观判断直线与圆的位置关系只是给人以感性的认识，如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？“位置关系”与“数量关系”的互相转化
如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：
若
直线l与⊙O相离；
若
直线l与⊙O相切；
若
直线l与⊙O相交；
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。
2、练习
⑴已知⊙O的直径为12cm
①若圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O
的位置关系为________；
②若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O
的位置关系为________；
③若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与
⊙O
的位置关系为________．
⑵已知⊙O的直径为10cm．
①若直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d
________；
②若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离d
________；
③若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离d
________．
⑶如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O
与直线A
B有怎样的位置关系？
3、例1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm
，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有怎样的位置关系？为什么？（用数形结合分析）
（1）r＝2cm
（2）r＝2.4cm
（3）r＝3cm
4、仿练：如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB又分别有怎样的位置关系？
5、例2．如图，已知PA是∠BAC的平分线，角的一边AB与⊙O相切，求证：另一边AC也与⊙O相切.
点评：不知直线是否经过圆上的点，要证为切线，则作垂直，证半径.
6、小结：根据本节课的知识填写下列表格：
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点的名称
直线的名称
三、优选精练
★基础演练
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3,AB＝5,若以C为圆心，r为半径作圆，那么：
（1）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是：_____________
（2）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是：_____________
（3）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是：______________
2．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙O的位置关系是（
）
A．点D在⊙A外
B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内
D．无法确定
(
http:
/
/

)
第3题图）
　第4题图　　　　　第6题图　　　　第7题图
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（
）
A．
B．
C．
D．3
5、直线l上有一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则l与⊙O的位置关系是　　　　　
6、（2009肇庆）9．如图
4，⊙O是正方形
ABCD的外接圆，点
P
在⊙O上，则∠APB等于（
）
A．
30°
B．
45°
C．
55°
D．
60°
7、（2009年浙江省绍兴市）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点．若点的坐标是（），则点的坐标是（　　）
A．
B.
C.
D.
8、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，现以A为圆心，使B、C、D三点至少有一个在圆内，至少有一个在圆外，求⊙A的半径r的取值范围。
9、如图已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，现以M为圆心，以r为半径作圆，则直线OA与⊙M是什么位置关系？为什么
(1)r
＝2cm；
(2)r＝4cm；
(3)r＝2.51cm
；
10、在射线OM上取一点A使OA＝4cm，再以A为圆心作一直径为4cm的⊙A.若过点O作另一条射线OB，试问当OB与OA所夹的锐角∠AOB分别取什么值时，射线OB与⊙A（1）相离；（2）相切；（3）相交。
11、如图2，正方形ABCD中，边长为1，以A点为圆心，1为半径的圆与直线BC的位置关系怎样？以A为圆心，半径为多少时的圆与直线BD相切？
12、圆的半径长为，如果直线与圆有公共点，直线与圆心的距离为,则（
）
A、
B、
C、
D、
13、已知等腰三角形中，＝5，底边等于6，若以点为圆心，以4为半径作⊙A，则与⊙A（
）
A、相交
B、相切
C、相离
D、不能确定
14、平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系内，直线y＝－x与⊙O的位置关系是　　　　　　　.
★★能力提升
15、如下图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO＝6cm，如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足什么条件时，⊙P与直线CD①相离？②相切？③相交？
16、如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝BC，E、F分别为AB、AC的中点，试问以EF为直径的圆与BC有怎样的位置关系？
17、如图，点A是一个半径为300m的森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两个村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村庄连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？试通过计算进行说明.
18、如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距离台风中心海里的圆形区域（包含边界）都属于台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB＝100海里.
⑴若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求出这艘轮船最初遇到台风中心的时间；若不会，请说明理由.
⑵若轮船自A处立即提高船速，向位于北偏动60°的方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前抵达D港，问船速至少应提高到多少？
19、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？
20、如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动.
⑴当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；
⑵当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；
⑶⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标？若不能，说明理由.
★★★拓展延伸
21、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝4，BC＝9，CD＝13，以AB为直径作⊙O，是判断⊙O与CD的位置关系并证明你的结论.
22、如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘轮船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏动30°的方向.轮船如不改变航向，继续航行，又没有触礁的危险？请通过计算说明.（参考数据：0
23、如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm，半圆O以2cm/s的速度从左至右运动，在运动的过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t秒，当t＝0秒时，半圆O在△ABC的左侧，且OC＝8cm.
⑴当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的直线相切？
⑵当△ABC所在的直线与半圆O所在的直线相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积.
《§24.2.2.2切线的判定》教学设计
教学设计：石勇军
学习目标：使学生掌握切线的判定定理并会运用定理解决相关问题。
一、导学探究
问题：如图，在⊙O中，过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离为多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
分析：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，这时直线l就是⊙O的切线，于是得到：
切线的判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
小结：
切线的判定方法：
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；
和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（d＝r）；
经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线（判定定理法）；
应根据题目的特点选择合适的判定方法。
二、精讲多动
例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，
求证：直线AB是⊙O的切线。
点评：已知直线经过圆上的点，要证为切线，则连半径，证垂直.
学生仿解：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，求证：AT是⊙O的切线。
·
例2：如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为
AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
求证：以AB为直径的圆与边CD相切。
点评：不知直线是否经过圆上的点，要证为切线，则作垂直，证半径.
学生仿解：1.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O直径，求证：⊙O与CD相切。
三、优选精练　　★基础演练
1、下列说法正确的是（　　）
A.垂直于圆的半径的直线和圆相切；　　　　　　B.经过圆的半径外端的直线和圆相切
C.经过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线
D.经过直径的端点和这条直径垂直的直线是圆的切线
2.（2007海南课改）如图，⊙的半径为4，，点，分别是射线，上的动点，且直线．当平移到与⊙相切时，的长度是（　　）
A．
B．
C．
D．
第2题图　　　　　　　第3题图　　　　　　　　　第4题图　　　　　　第5题图
3.（2007辽宁大连课改，3分）如图，是的两条切线，是切点，若，则的度数为（
）　　A．
B．
　　　C．
D．
4.（2007河北课改，2分）如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为（
）
A．2
B．1
C．1.5
D．0.5
5.（2007山东临沂课改，3分）如图，在中，，，以为直径的圆与相切，与边交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2009年黑龙江佳木斯）10、如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论正确的个数是(
）
①AD⊥BC
②∠EDA=∠B
　　③OA=AC
④DE是⊙O的切线
A．1
个
B．2个　　　C．3
个
D．4个
★★能力提升
如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上的一点，以O为圆心，BO长为半径作圆，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转　　　　度时与⊙O相切。
第7题图　　　　　　第8题图　　　　　　第9题图　　　　　第10题图
8.
（2007山东潍坊课改，3分）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线．
若大圆半径为，小圆半径为，则弦的长为
．
9.（2007内蒙呼和浩特课改，）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点，且，，连结交小圆于点，则扇形的面积为
10.(2007内蒙鄂尔多斯课改，3分)如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于，如果，则图中阴影部分的面积为
（结果用表示）．
11.
（07湖北宜昌）如图，某建筑工地上一钢管的横截面是圆环形．王师傅将直尺边缘紧靠内圆，直尺与外圆交于点（与内圆相切于点，其中点在直尺的零刻度处）．请观察图形，写出线段的长（精确到），并根据得到的数据计算该钢管的横截面积．（结果用含的式子表示）
12.（2007甘肃白银3市）如图，AB是⊙O的弦，交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E，当时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论．
13.（2008年宁德）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
14.（黄冈中考题）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂直足为F，点E在AB上，且EA＝EC，延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。
15、(2009年本溪)如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．
（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
（2）当时，求的长．
16
(
2007内蒙包头非课改
)
如图，已知是的直径，为弦，且平分，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为，，试求的度数．
17.（07年北京市)已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，
OC＝BC，AC＝CB。　　　(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长。
18.（07年甘肃天水）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90
．BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB于点E．
（1）求证：AC是△DBE外接圆的切线；
（2）若AD＝6，AE＝6，求BC的长．
19.(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
20.(2009年本溪)22．如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．
（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
（2）当时，求的长．
21、如图，
AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）证明CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．
★★★拓展延伸
21.（2008年龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.
22.（2009年包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
《§22.24.2.2.3切线的性质及性质判定的综合》教学设计
教学设计：石勇军
学习目标：使学生掌握切线的性质定理并会综合运用切线的判定、性质定理解决相关问题。
导学探究
问题1：如果直线l是⊙O的切线，切点为A，则半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
分析：（用反证法）
　假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的
性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛盾，因此，半径OA与直线l垂直。
归纳：
切线的性质：圆的切线　　　　　　　　　　　.
二、精讲多动
例1：如图，⊙O中，AB为直径，过B点作⊙O切线，连接CO，
若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD为⊙O的切线。
学生仿解1：
1、（2007湖北十堰课改，）如图，是的切线，切点是，过点作于点，交于点．求证：是的切线．
2、（2008湖南常德）如图4，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，
求证：PC是⊙O的切线．
例2：（2007年台山市）如图，直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与
B（0，-3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过
秒后动圆与直线AB相切.
学生仿解2：
如图，直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（3，0）与
B（0，-2），现有一半径为1的动圆的圆心p位于直线AB上当⊙P与x轴相切时，则P坐标为　　　　　　　　；当⊙P与y轴相切时，则P坐标为　　　　　　　　。
　例2图　　　　　　　　　　　仿解2图　　　　　　　　　　　第1题图　　　　第2题图
三、优选精练　　
★基础演练
1、(2007
浙江宁波课改)如图，AB切⊙O于点B，AB=4
cm，AO=6
cm，则⊙O的半径为
cm．
2、（2007甘肃白银3市非课改）如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和切线，BC交⊙O于D，AB＝8，AC＝6，则AD＝
．
3、（2007河南课改）如图，切于点，点是上一点，且，
则
度．
4、（2007吉林）如图，为的切线，为切点．若，，则
．
5、（2007江苏扬州课改，）如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若，则______．
第3题图　　　　　　第4题图　　　　　　第5题图　　　　　　第6题图
6、（2009年山西省）如图，是的直径，AD是的切线，点在上，，
则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
7、（2007江苏南京课改）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，
与轴交于，两点，则点的坐标是（　　）　　
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
　　第7题图　　　　　　　第8题图　　　　　　　　　第9题图　　　　　　　第10题图
8、（2009年衢州）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是　　　　　　　　．
9、（2007江苏常州课改）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
　　　　C．
　　D．
10、（2009安顺）如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，
垂足为E。　　　　⑴求证：DE是⊙O的切线；
⑵作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。
11、（2009年广西梧州）如图（8）所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O
上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．求证：DC=BC；
12、（2007甘肃庆阳课改）如图是的直径，是的延长线上一点，过作的切线，切点为，过作的切线，交于点，若，求：的长．
13、（2009年长沙）在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
14、（2009年茂名市）已知：如图，直径为的与轴交于点点把分为三等份，连接并延长交轴于点
（1）求证：；
（2）若直线：把的面积分为二等份，求证：
15、如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm，当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
16、(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线∶=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.
（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
（2）当为何值时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？
17、（2009年兰州）如图16，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
18、（2009桂林百色）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC
．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC
于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
(
http:
/
/
www.
/
)
19、（2007广东茂名课改）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E，
AE＝2，
EC＝1．
（1）求证：∽；　
（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．
（3）延长AB到H，使BH
＝OB．求证：CH是⊙O的切线．
★★★拓展延伸
20、（2007福建三明课改，12分）如图①，②，在平面直角坐标系xoy中，点的坐标为(4，0)，以点A为圆心，4为半径的圆与轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，是x轴上的一动点，连结CP．
（1）求∠OAC的度数；（2分）
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3分）
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问为何值时，△OCQ是等腰三角形？（7分）
21、（2007四川成都）如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG＝BF，且⊙O的半径长为，求BD和FG的长度．
22、已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（－，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。
①　当点D运动到与A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。
《§24.2.2.2.4切线长定理及三角形内切圆》教学设计
教学设计：石勇军
学习目标：理解三角形内切圆相关概念，掌握切线长定理并会用定理解决相关问题。
一、导学探究
问题1：如图纸上有一⊙O，PA为⊙O的一切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的半径吗？利用图形的轴对称，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
概念：　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
归纳：切线长定理：
　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
问题2：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
二、精讲多动
例题讲解:
例1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB.分别相切于点D，E，F且AB＝9cm
，BC＝14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长
学生仿解:
（2009年广西钦州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是　　　　．
例题讲解:
例1：已知⊙I和三角形ABC的三条边分别相切于D、E、F，⊙I的半径为r，三角形ABC三条边长分别为a，b，c，△ABC的面积S，试用含a，b，c，S的式子表示△ABC的内切圆的半径r。
学生仿解:
已知⊙O为直角三角形ABC的内切圆，切点为D，E，F，半径为r，∠C＝90°，AB，BC，AC的长分别为c，a，b，试用含a，b，c的式子表示内切圆的半径r。
三、优选精练
★基础演练
1、（2007湖北孝感课改，3分）如图，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，且
∠MBN
=70°，则=
．
2、(08年江苏省宿迁市)已知直角三角形两条直角边的长是和，则其内切圆的半径是______．
3、（09湖北荆门）Rt△ABC中，．则△ABC的内切圆半径______．
4、（2007四川成都）如图，内切于，切点分别为．已知，，连结，那么等于（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
　　第1题图　　　　　　　第3题图　　　　　　　第4题图　　　　　　　　第5题图
★★能力提升
5、（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比
例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于
.
6、（2009年新疆）如图，，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是__________cm．
7、如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止。当点P运动的时间为_______时，BP与⊙O相切。
8、如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点是D，E，F，AO交
BC于G；若AC＝3，CG＝1，则⊙O的半径等于　　　　　
9、如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，内切圆O分别切AB，BC，CA于D，E，F
，若AD=5，BD＝3，则△ABC的面积等于　　　　　　　　
第6题图　　　　第7题图　　　　　　　　　第8题图　　　　　　　第9题图
10、在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB、BC、AC分别切圆于D、E、F，若AD=4cm，BD=6cm，求AC、BC的长。
11、如图正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆，过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点,与DC相交于E点，求三角形ADE的面积。
12、（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，
请在图中画出这个圆形花坛．
13、(2007湖北襄樊非课改，11分)如图-（1），内接于，点是的内切圆的圆心，交边于点，交于点，经过点作的切线分别交延长线于点．　　　　（1）求证：；
（2）探究：与和之间的关系；
（3）当图-（1）中的时，如图-（2），若，，求的长．
14、(2009年潍坊)如图所示，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结．
（1）求证：；
（2）若圆的半径为10cm，，求的面积．
15、如图，已知点I为△ABC的内心，射线AI交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E。
①求证：ID=BD；
②设△ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y。当点A在优弧BC上运动时，求函数y与自变量x的关系式，并指出自变量x的取值范围。
16、（2007福建厦门）已知：如图，是的切线，是切点，连结OA、OB、OP，
（1）若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；
（2）过O作OC，OD分别交AP、BP于C、D两点，
①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；
②连结CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O
的位置关系，并说明理由．
17、（湖北省十堰市）(8分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
⑴求证：MN是⊙O的切线；
⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
18、（07广东河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？
（2）求四边形CDPF的周长；
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．
是否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？
如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
19、（2007广西南宁课改，10分）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，以为直径的半圆与轴交于点，以为一边作正方形．
（1）求两点的坐标；
（2）连接，试判断直线是否与相切？说明你的理由；
（3）在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
★★★拓展延伸
20、（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)，
MN为折痕，点M，N分别在边BC，
AD
上，连接AP，MP，AM，
AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)与
是否相等？请你说明理由；
(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)
图1　　　　　　　　　　　　　　　图2
《§24.3.1弧长和扇形面积》教学设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　编写人：吴任前
学习目标：
1．掌握弧长、扇形面积的计算公式
2．会用弧长、扇形面积的计算公式解决实际问题
一、导学探究
1．由教材P110问题引入．
2．圆周长公式为C=
，圆面积公式为S=
．
3．1°圆心角所对弧长为l=
，n°圆心角所对弧长为
．
4．归纳弧长公式l=．
5．阅读教材可知由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
6．1°圆心角扇形面积为
，n°圆心角扇形为
．
7．归纳扇形面积S=．
8．可以用弧长l，半径表示扇形面积吗？S=·．
二、精讲多动
例1：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两）
例2：如图△ABC是正△，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？
练一练：
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对圆心角是81°，求这段圆弧的半径R．
3．如图正△ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点D，E，F，求圆中阴影部分面积．
4．若一个扇形的弧长是12，它的圆心角是120°，那么这个扇形的面积是多少？
三、优选精练
基础演练：
1．两个半径为1的⊙O1与⊙O2相外切，又同时分别与⊙O相切，切点分别为A、B、C且∠O=90°，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．2
第1题
　
第2题
　　
　
第3题
第4题图
2．如图⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形的面积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为：（
）
A．6
B．10
C．12
D．20
4．如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q关系为（
）
A．P=Q
B．P＞Q
C．P＜Q
D．不能确定
5．已知⊙O的半径为6，扇形OAB的面积等于12，则所对的圆周角的度数是（
）
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
6．如果一扇形的圆心角为60°，半径，则这个扇形的面积为
cm2
7．如果一扇形弧长为10cm，半径为36cm，则该弧的所对的圆周角度数为
度．
二、能力提升
1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分面积．
2．如图⊙O的半径为12cm，以⊙O的半径OA为直径作⊙O’交半径OC于B点，若∠AOC=45°，求围成的阴影图形的面积．
3．如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆弧的三等分点，若AB=12，求阴影部分面积．
4．半圆O1和半圆O2内切于点P，如图，大圆的弦AB切小圆于点Q，AB∥O1O2，且AB=l，求S阴．
5．如图，已知点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=4cm，PC=2cm，求S阴．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．
7．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AC于点E，交⊙O于点C、D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠DOB=30°，BC=1，求S阴．
《§24.3.2圆锥的侧面积和全面积》教学设计
教学设计：吴任前
学习目标：
掌握圆锥的相关概念，掌握圆锥和圆柱的侧面展开图，会计圆锥的侧面积和全面积．
一、导学探究
1．举出日常生活中具有圆锥形象的物体，圆锥由一个
和一个
围成的．
2．教师讲解相关概念：
（1）母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，所有母线长相等．高：圆锥的顶点和底面圆圆心的连线段的长．
（2）探究圆锥的侧面展开图
a．将一圆锥的侧面沿一条母线剪开可知圆锥的侧面展是以
为半径，弧长为
为扇形．
b．圆锥的侧面展开图面积S侧=其中C为底面圆周长，l为圆锥母线长．
c．圆锥的全面积为S全=（r为底面圆半径）
二、精讲多动
例1：一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比
（2）锥角的大小
（3）圆锥的全面积
例2：如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=2cm，BC=7cm，AD=3cm，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积．
练一练：
1．如图，把半径为1的四分之三圆形纸片沿半径OA剪开，依次用得到的半圆纸片和四分之一圆形纸片做成两个圆锥的侧面，则这两个圆锥的底面积之比为（
）A．5：1
B．4：1
C．3：1
D．2：1
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得到的几何体的全面积．
三、优选精练
基础演练：
1．已知圆锥的母线为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为
．
2．现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆半径为
．
3．小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是
．
4．如右上图，有一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一个圆锥侧面，那么圆锥的高是
．
5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是
．
6．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，则圆锥侧面积S=
cm2．
7．小明用一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形模型的侧面，则这个圆锥底面半径是
cm．
能力提升：
8．某厂要选一块矩形铁片用来加工成一个底面半径为10cm，高为20cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计），要想用料最省，矩形的边长应分别是
．
9．将半径为2的圆形纸片裁成面积为1：3的两个扇形，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为
．
10．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬长的最短路线的长度是
．
11．李明同学和马强同学合作，将半径为1m，圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积（接缝忽略不计）时，李明认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距离OC如图，马强说这样计算不正确，你同意谁的说法？写出正确的计算过程．
12．已知圆锥的底面半径OA=10cm，母线PA=30cm，由底面圆周上一点A出发，绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？
13．如图，在菱形ABCD中，∠A=135°，AB=，以点C为圆心的分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的表面，圆锥的高是多少？
14．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若两个圆锥的表面积之比为1：6，求两圆锥底面半径之比．
15．如图（1），O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=24cm，AB=25cm，若的长为底面周长的，如图（2）所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果保留和根号）
《§24.4
圆章复习》教学设计
教学设计：吴任前
学习目标：
1．使学生对圆章知识系统化、网络化
2．使学生掌握圆章基本题型、基本解题技巧
一、本章知识图解
圆
二、典型例题
例1：如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦CM⊥AB，CN是直径，F是的中点．（1）求证：CF平分∠NCM；（2）．
例2：如图，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
例3：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4cm．
（1）求圆心到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
例4：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．
例5：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花的残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．
例6：线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=6cm，求：（1）⊙O的半径；（2）圆中阴影部分面积．
三、优选精练
基础演练：
1．如图，⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B=_______．
第1题
　
第4题
　第5题
　
第6题
2．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为_______．
3．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系为_______．
4．如图，⊙O半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是_______．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是_______．
6．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为_______．
第7题
第8题
第9题
7．如图，△ABC内接于圆O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD=_______．
8．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数为_______．
9．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则S阴=_______．（结果保留π）
10．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是_______．
能力提升：
1．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
②
2．“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小贾乘坐最底部的车厢（离地面0.5m）．
（1）经过2min后小贾到达点Q，此时他离地面多高？
（2）在摩天轮转动的过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？
3．如图所示，⊙O半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上的任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求∠ACB的大小；否则，说明理由．
（3）记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长．
相等的弧
相等的弦
相等的圆心角
相等的圆周角
E
D
C
B
A
O
第10题图
（第11题图）
°
°
O
A
(第13题图)
O
B
C
D
E
P
B
C
E
A
（14题）
C
B
A
F
G
D
O
E
（第15题图）
A
C
B
D
E
F
O
A
B
C
.A
.B
.A
例2
A
B
C
D
E
7题
8题
·
O
O′
x
y
A
B
C
D
P
·
M
·M
第16题图
A
B
C
D
A
O
B
·M
O
A
l
A
O
C
B
A
O
B
T
A
B
D
C
E
A
CA
B
D
O
A
B
C
D
O
E
C
O
B
A
A
M
N
C
B
O
B
P
E
A
B
C
O
O
B
A
B
C
20
0
10
20
30
40
cm
A
B
E
D
P
O
C
F
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
D
B
O
C
(第17题图)
B
A
D
E
C
（第18题图）
A(3,
0)
O
x
y
B(0,
-2)
A(4,
0)
O
x
y
B(0,
-3)
O
A
A
l
A
C
O
D
O
B
A
D
C
O
B
A
A
C
B
P
O
Ｏ
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
A
B
O
C
DA
EA
B
A
O
x
l
y
P
A
O
x
l
y
（备用图）
O
D
G
C
A
E
F
B
P
A
B
C
D
y
O
x
A
O
P
A
O
B
P
B
C
A
A
B
C
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B
C
D
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O
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D
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C
B
E
A
B
C
D
O
E
F
G
A
B
D
C
O
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F
A
O
C
B
·
A
·
P
B
O
·
·
A
F
E
C
D
O
B
A
B
C
G
E
F
P
O
D
图-（1）
A
B
C
G
E
F
P
O
D
图-（2）
A
C
B
E
I
·
O
A
C
P
D
B
·
M
·
A
F
C
O
P
E
D
B
图1
·
P
D
O
G
E
M
F
B
A
C
图2
图3
F
C
B
A
E
D
_
B
_
O
_
O
'
_
C
_
A
_
C
_
D
_
E
_
F
_
G
_
H
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