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通过正比例关系求解相关实际问题
班级：___________姓名：___________得分：___________
1.判断下面的说法是否正确。（对的画“√”，错的画“×”
（1）梨的单价一定，购买的梨的总价和数量成正比例。（ ）
（2）每小时织布的米数一定，织布的总数和织布的时间成正比例。（ ）
（3）一个人的年龄和身高成正比例。（ ）
（4）三角形的面积一定，底和高成正比例。（ ）
2.
（1）上图中点A表示（ ）本书的总价是（ ）元，点B表示（ ）本的总价是（ ）元。
（2）上图中的（ ）和（ ）是 ( http: / / www.21cnjy.com )两种相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。因为总价与数量和比的比值一定，所以（ ）和（ ）成正比例。
3．下面的图象表示一个水龙头打开后的时间和出水量之间的关系。
（1）看图填表：
（2）这个水龙头打开的时间与出水量成（ ）比例关系。
4.下面是一辆汽车行驶的时间和路程的变化图。
时间/时 0.5 1 1.5 2.5
路程/千米 80 120
（1）从图中找出下表相对应的数并填入表内。
（2）观察上表，（ ）是一定的。
（3）时间和路程成（ ）比例
5．下面各图反映了x、y两种量的关系。
A B
图（ ）中，x、y成正比例。
6．下面是一列动车行驶情况的统计图。
（1）这列动车每小时行驶（ ） 千米。这列动车行驶的路程和时间成（ ） 比例。
（2）按这样的速度，从广州到武汉大约1000千米路程，要行驶（ ） 小时。（得数保留一位小数）
7．（1）小明去图书馆每小时行驶（ ）千米，用了（ ）分钟，这段时间内他骑车行驶的路程和时间成（ ）。21世纪教育网版权所有
（2）他在书店图书馆用去（ ）分钟。
（3）小明从图书馆返回家中的速度是每小时（ ）千米，用了（ ）分钟，这段时间内他骑车行驶的路程和时间成（ ）。
8．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分 1 2 3 4 5 6 7 ……
路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……
（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？
（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？
路程/千米
42
35
28
21
14
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/分
9.某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5 ……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨21教育网
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？
（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？
10.王师傅每小时做30个零件， 2小时、3小时……各需要多少个？
（1）完成下表。
工作时间/时 1 2 3 4 5
工作总量/个 30
（2）工作时间与工作总量成正比例吗？
（3）根据上表先在右图中描出各点，再顺次连接各点，你发现了什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）点(8，240)在这条直线上吗？这一点表示什么？
参考答案
1．答案：（1）√（2）√（3）×（4）×
2. 答案： （1）3 4.5 6
（2） 吨数/吨
6 ●
5
4
3 ●
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/时
（3）因为 = 每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。
3．答案：（1）8，45；（2）正。
解析：水龙头打开的时间与出水量这两种相关联 ( http: / / www.21cnjy.com )的量，水龙头的出水量÷打开的时间＝每秒的出水量，每秒出水量一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例关系。
4.答案：（1）20 40 60 2 100 3
（2）速度（或比值）
5.答：A
解析：成正比例关系的图像是一条直线。
6. 答案：（1）300 正 （2）3.3
7．答案：（1）8 30 正比例 （2） 70 （3）12 20 正比例
8．答案：（1）描点、连线如图。
路程/千米
42 ●
35 ●
28 ●
21 ●
14 ●
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/分
（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。
（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。
解析：根据提供的各组数据描出图像的许多个点 ( http: / / www.21cnjy.com )，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，
（4）根据图像判断，5小时造纸7.5吨
9.答案：（1） 2 20 10 100
(2)总价 数量 总价 数量 总价 数量
10．答案：（1）60 90 120 150
（2）＝工作效率(一定) 成正比例
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )
（4）点(8，240)在这条直线上，表示8时加工240个零件。
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【义务教育教科书苏教版六年级下册】
正比例图像
学校：________
教师：________
复习回顾
判断下面两种量能否成正比例，并说明理由。
数量一定，总价和单价
和一定，一个加数和另一个加数
比值一定，比的前项和后项
小明跳高的高度与他的身高
书的总页数一定，已看的页数与未看的页数
长方形面积一定，长和宽
成正比例
不成正比例
成正比例
不成正比例
不成正比例
不成正比例
一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 …
路程/千米 80 160 240 320 400 480 560 …
你能根据表中的数量变化说说为什么路程和时间是成正比例的量吗？
复习回顾
新知讲解
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 …
路程/千米 80 160 240 320 400 480 560 …
A
B
图中A点表示什么 B点表示什么 其他各点呢
新知讲解
A
B
连接图中各点，你有什么发现
正比例的图像是一条直线!
新知讲解
A
B
根据图像判断,这辆汽车2.5小时行驶多少千米
这辆汽车2.5小时行驶200千米
新知讲解
A
B
行驶440千米需要几小时
行驶440千米需要5.5小时。
梳理小结
图像判断时注意
一看：看准对应的点
二画：纵轴（横轴）的垂线
三读：读出正确数据
新知讲解
烧煤的天数与烧煤总量如下图：
（1）烧煤总量和烧煤的天数成正比例吗？为什么？
（2）3天需要烧煤多少吨？30吨煤可烧多少天？
新知讲解
烧煤的天数与烧煤总量如下图：
（1）烧煤总量和烧煤的天数成正比例吗？为什么？
因为图像呈一条直线，所以烧煤总量和烧煤的天数成正比例。
答案揭晓
新知讲解
烧煤的天数与烧煤总量如下图：
（2）3天需要烧煤多少吨？30吨煤可烧多少天？
3天需要烧煤18吨，30吨煤可烧5天。
答案揭晓
牛刀小试
小玲用计算机打字的个数和所用的时间如下表。
时间/分 2 4 6 8 10 12 14 …
数量/个 100 200 300 400 500 600 700 …
（1）小玲打字的个数和所用的时间成正比例吗？为什么？
（2）根据表中的数据，在下图中描出打字数量和时间所对应的点，再把它们按顺序连起来。
（3）估计小玲5分钟打了多少个字？打750个字要多少分钟？
牛刀小试
时间/分 2 4 6 8 10 12 14 …
数量/个 100 200 300 400 500 600 700 …
牛刀小试
小玲用计算机打字的个数和所用的时间如下表。
时间/分 2 4 6 8 10 12 14 …
数量/个 100 200 300 400 500 600 700 …
（1）小玲打字的个数和所用的时间成正比例吗？为什么？
=每分钟打字的个数
时间
数量
（一定）
所以小玲用计算机打字的个数和所用的时间成正比例。
100
2
=
50
200
4
=
50
300
6
=
50
…
牛刀小试
根据图像判断，小玲5分钟可以打多少字？打750字需要多少分钟？
小玲5分钟可以打250字，打750字需要15分钟。
下图是甲、乙两辆摩托车的行程图。
（1）甲车半小时可以行驶多少千米？
（2）乙车4小时可以行驶多少千米？
牛刀小试
拓展提高
可以分别找出与时间对应的两车的路程，然后用路程除以对应的时间，分别求出两车的速度，再分别求出甲车半小时和乙车4小时行驶的路程。
牛刀小试
拓展提高
（1）50÷1=50（千米/时）
50÷2=25（千米）
（2）60÷1.5=40（千米/时）
40×4=200（千米）
答：甲车半小时可以行驶25千米，乙车4小时可以行驶200千米。
牛刀小试
巩固练习
下图的比例尺是1:300000，你能算出图中标出点的实际距离吗？
先找出图中标出点所对应的图上距离，然后再求出实际距离
巩固练习
1:300000
答案揭晓
A点：1×300000=300000CM=3000M
B点：2×300000=600000CM=6000M
C点：3×300000=900000CM=9000M
D点：A×300000=1200000CM=12000M
巩固练习
用老师为你准备的空白表格和方格纸，完成下列作业。
（1）根据生活实际，设计出两种成正比例关系的量，列表算出对应数据。
（2）根据表中的数据，描出所对应的点，再把它们按顺序连接起来。
（3）同桌之间相互提问题，看图像估计数值。
课堂总结
今天我们认识了正比例图像，并解决了相关实际问题。回顾一下，我们是怎样画出正比例图像的？通过学习，你有哪些收获？
布置作业
教材P60练习十第5题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
正比例图像 第 2 课时 总第 课时
教学目标：
知识与技能目标：能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。
过程与方法目标：使学生能根据具有正 ( http: / / www.21cnjy.com )比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。初步体会正比例图像的实际应用，进一步培养观察能力和估计能力。21cnjy.com
情感态度与价值观目标：使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，养成积极主动地参与学习活动的习惯。
教学重点：能认识正比例关系的图像。
教学难点：利用正比例关系的图像解决实际问题。
教学准备：课件
教学过程：
一、复习回顾
1．判断下面两种量能否成正比例，并说明理由。
数量一定，总价和单价
和一定，一个加数和另一个加数
比值一定，比的前项和后项
小明跳高的高度与他的身高
书的总页数一定，已看的页数与未看的页数
长方形面积一定，长和宽
2．出示例1的表格
谈话：上节课我们认识了正比例，你能根据表中的数量变化说说为什么路程和时间是成正比例的量吗？
学生交流
导入：上节课，我们从“数”的角度学 ( http: / / www.21cnjy.com )习了正比例的意义，那么如果把有正比例的关系的数据在方格纸上画出来，图像会是怎样呢？今天我们从“形”的角度继续学习正比例的意义，相信你一定会有新的发现。21·cn·jy·com
【设计意图】
通过复习正比例的意义，让学生产生对正比例关系、数据的对应关系的熟悉感，同时为探索新知做好学习的准备。2·1·c·n·j·y
二、新知讲解
1.认识正比例图像。
（1）描点
出示教材第58页例2的方格图。
提问：表中的横轴表示哪个数量？纵轴呢？
指出：在方格图上，横轴表示汽车行驶的时间，纵 ( http: / / www.21cnjy.com )轴表示行驶的路程。汽车1小时行驶80千米就可以用方格中的一个点来表示；先在横轴上找到表示1小时的点，再在纵轴上找到80千米的点，这样沿方格线就能找到两个数量相交的点，可以把它表示为A点。点A就表示1小时行驶80千米。
追问：我们是怎样找到表示1小时行驶80千米的点A的？
说明：我们根据时间和路程的对应数值，能在这个方格图上描出对应的点。（板书：描点）
让学生在方格纸中找一找代表其它几组数据的点，并指名板演。
提问：如果用B点表示5小时行驶400千米，你能图上找出来吗？其他的点你能说说表示的意义吗？
提问：当汽车还没启动的时候，也就是汽车行驶时间为0时，汽车行驶的路程是多少，那么图中哪个点可以表示这种状态？（描出原点）
② 画图。
提问：观察每个点的位置，你发现有什么特点？
让学生连接图中各点，展示交流，说说有什么发现。
根据学生的回答小结：这是根 ( http: / / www.21cnjy.com )据例1每组数据找点画出的直线，这条直线是表示路程和时间正比例关系的图像。从直线上的每个点中，我们既能知道汽车行驶的时间，又能知道行驶的路程。这两个量紧密联系，对应的时间和路程用同一个点，点不同，时间和路程也都发生变化，但是它们的比值却是不变的，所以我们就说它是正比例图像。21教育网
2.正比例图像的应用。
提问：从图像看，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？你是怎样找的？
小组讨论交流方法。
学生汇报，教师小结。
数字在2和3的正中间这个 ( http: / / www.21cnjy.com )位置同学们首先要看准，从这点作横轴的垂线，看这条线与图像交于哪一点，再由这一点向纵轴画垂线，看一看这条垂线与纵轴的交点。这点表示的千米数就是汽车2.5小时行驶的路程。
学生动手画一画，找一找。
引导：行驶440千米需要多少小时？
学生独立完成，汇报交流。
指出：在图像上找对应数值时，可以先根据已知数值找出图像上的对应点，再根据这个对应点找另一种量的对应数值。www.21-cn-jy.com
3.梳理小结
提问：同学们回顾一下，这条直线表示的图像是怎样画成的？在图像上任意长出一点，说出它表示的一组数值的意义吗？【来源：21·世纪·教育·网】
小结：我们在根据图像判断时，要注意以下几点：一看：看准对应的点，二画：纵轴或者横轴的垂线，三读：读出正确数据。21·世纪*教育网
4、烧煤的天数与烧煤总量如下图：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）烧煤总量和烧煤的天数成正比例吗？为什么？
（2）3天需要烧煤多少吨？30吨煤可烧多少天？
学生小组交流，指名回答
【设计意图】
向学生动态地展示正比例图像的绘制过程， ( http: / / www.21cnjy.com )引导学生用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生体会成正比例关系的量的变化规律，获得对正比例图像的认同，逐步利用正比例关系的图像判断两种量的对应数值，理解直线表示的正比例的实际意义。www-2-1-cnjy-com
三、牛刀小试
1．完成练一练
让学生独立完成并交流：
（1）根据表中数据判断两种量是否成正比例；
（2）用描点法画出表中两种量的正比例图像
（3）利用图像找出两种量里的对应数值，体会正比例图像的意义和作用。
提问：比较例2和“练一练”这两题正比例图像，你发现有什么相同的地方？
说明：正比例图像可以用一条直线表示，直线上的任何一点都表示成正比例的量的一组对应数值。
2、如图是甲、乙两辆摩托车的行程图。
（1）甲车半小时可以行驶多少千米？
（2）乙车4小时可以行驶多少千米？
学生分组讨论，解答，汇报
指出：可以分别找出与时间对应的两车的路程，然后用路程除以对应的时间，分别求出两车的速度，再分别求出甲车半小时和乙车4小时行驶的路程。
四、巩固练习
1.下图的比例尺是1:300000，你能算出图中标出点的实际距离吗？
学生小组论，汇报解题的方法
指出：先找出图中标出点所对应的图上距离，然后再求出实际距离
2.设计画图
提出要求：用老师为你准备的空白表格和方格纸：
（1）根据生活实际，设计出两种成正比例关系的量，列表算出对应数据。
（2）根据表中的数据，描出所对应的点，再把它们按顺序连接起来。
（3）同桌之间相互提问题，看图像估计数值。
交流，全班展示表格和图像，并解释。
五、全课总结
今天我们认识了正比例图像，并解决了相关实际问题。回顾一下，我们是怎样画出正比例图像的？通过学习，你有哪些收获？21世纪教育网版权所有
六、作业
练习十第5题
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