初中数学苏科版七下 例说完全平方公式的运用 教学案（含答案）

例说完全平方公式的运用
完全平方公式的原型是.我们在充分理解它的基础上，还要熟
悉它的变形式:
完全平方公式的运用是灵活多变的，在很多的中考题里都会有不同的形式出现，我们要充分理解和灵活运用.理解是运用的前提，运用是理解的升华.下面笔者举例谈谈完全平方公式的运用.
一、完全平方公式中系数的运用
例1
如果多项式是一个完全平方式，则的值是多少
分析
这里是首末两项是和2的平方，那么中间项就为加上或减去和2的乘积的2
倍.
解
是一个完全平方式，
注
本题大部分学生都只会求出一个答案4，缺少.问题在哪里呢 第一，被项的符号迷惑;其二没有真正理解完全平方公式的结构特征，完全平方项的符号相同，积的2倍项与符号无关.这道题如果改成多项式是一个完全平方式，求的值;出错的学生会更多，他们往往被这个负号带入了死胡同；关键在于没有充分理解公式的特征:在本题的结构下，任意给出其中两项，未知的第三项均可以求出，要注意积的2倍的符号，有两种情况，不可漏解.如，若是一个完全平方式，求的值，就可以运用同样的方法求解.
二、完全平方公式在求值中的运用
例2
已知。.求:
(1)
;
(2)的值
分析
要求出结论，只要求出的值即可，但是这样做很复杂，联想到完全平方公式及倒数的相关知识，就可以顺利解答此题;
解
(1)
(2)
注
很多学生缺乏整体意识和适当的变形，对互为倒数的两数之积为1的性质掌握不够，而若运用解一元二次方程的方法，试图通过求的值来求解，必然带来很大的麻烦
三、将条件及结论变形，再运用完全平方公式求值
例3
已知，求的值.
分析
由条件变形为:，由结论变形为，再由完全平方公式变形为，就可以求出结论.
解
,
.
,
原式=.
注
解答本题时，很多学生会走最熟悉的路径，即解一元二次方程，运用求的值来求解，但计算比教复杂;也有学生由，代入，就可以得出，化简得出结论;实际运用倒数法，结合完全平方公式求解，显得比较简单.
四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用
例4
已知，求的值.
分析
本题要求代数式的值，先求出、的值是很难的，而运用完全平方公式，将结论变形为，就可以轻松求出结果.
解
原式.
注
也有学生对条件变形求解:，再代入，就可以得到，即可求出结果.但是这样做比较复杂，不是命题者的初衷.
五、完全平方公式在求差法中的运用
例5
已知、、是的三边，试比较和的大小.
分析
要比较大小运用两式子相减，然后再因式分解，判定符号后即可得到两式的大小.
解
,
.
、、是的三边，
,
,
,
.
注
本题考查了因式分解、三角形的三边关系及平方差和完全平方公式的运用.作差、因式分解及分组构造完全平方公式是解题的关键.
六、拆项构造完全平方公式在非负数中的运用
例6
若，求的值.
分析
求代数式的值，求出、的值是关键,一个等式两个未知数，就联想到构造完
全平方公式再利用非负数求解.
解
,
,
,
,
.
故
原式=.
注
本题考查了非负数性质的运用，拆项法构造完全平方公式的运用，解答时将常数5拆成4和1是难点.
七、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用
例7
已知、、是的三边，满足，求证:
.
分析
将拆分成和，再构成两个完全平方公式，由等式的性质就可以求出结论.
证明
,
,
,
.
、、是的三边,
,
.
注
本题需要对多项式进行分组，运用完全平方公式进行变形，难点在分组，关键是在拆项，抓住和两个系数是拆项的突破点.
八、配方法构造完全平方公式求值的运用
例8
已知:
，求的值.
分析
将条件通过恒等变形得到，利用非负数的性质即可求出结论.
解
①
，
②
由①–②，得
，
，
.
故
原式.
注
本题考查了配方法的运用，非负数的性质，解答本题的关键是利用完全平方公式进行恒等变形.
九、添项法构造完全平方公式分解因式的运用
例9
分解因式:
.
分析
本题是二项式，不能运用平方差公式分解，可以将其转化为,
在运用公式法分解即可.
解
原式=.
注
解答本题采用的是添项法，在解答中采用添项的方法，构建完全平方公式是解题的突破点，也是难点可以运用同样的方法解答.
十、配方法构建完全平方公式在证明中的运用
例10
已知、、为三角形的三边，且，求证:
为等边三角形.
分析
可将题目所给的关于、、的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而就可以判断的形状.’
解
，
，，
，
，
，
是等边三角形.
注
本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为偶次幂的和，再由非负数的性质求解，解答难点是对条件进行变形和因式分解.
综上可见，完全平方公式及落变形的运用，是学习中的一个难点，这就需要我们仔细分析公式的结构特点，以及常用的变形形式.只有熟悉了结构，才能理解结构的变形，通过对变形的理解，才能运用自如，得心应手.