3.2 平面向量基本定理
1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 平面向量基本定理
阅读教材P85～P86“例4”以上部分，完成下列问题．
如果e1，e2(如图2－3－7①)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图2－3－7②)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
图2－3－7
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的一组基底e1，e2中可以有一个向量为零向量．( )
(2)任意两个向量都可以作为基底．( )
(3)平面向量的基底不是唯一的．( )
(4)零向量不可作为基底中的向量．( )
【解析】 (1)×，因为零向量与任何向量均共线．
(2)×，两不共线的向量才可作为平面的一组基底．
(3)(4)均正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量基本定理的理解
如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
【精彩点拨】 根据平面向量基本定理的内容来判断．
【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．
(3)正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．
(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．
1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．
2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．
[再练一题]
1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
【解析】 ①中，设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；
②中，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，
则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；
③中，∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
∴无解．
∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．
【答案】 ③
运用基底表示向量
如图2－3－8，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
图2－3－8
【精彩点拨】 利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a，b的关系．
【自主解答】 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a；
＝－＝－＝b－a；
＝－＝－－
＝－－＝a－b.
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决．
[再练一题]
2．如图2－3－9，在 ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
图2－3－9
【解】 设＝a，＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得：＝b，＝a，＋＝，即b＋a＝c.①
＋＝，即a＋b＝d.②
由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
[探究共研型]
平面向量基本定理应用
探究1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？
【提示】 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
探究2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
【提示】 不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
探究3 基底给定时，向量分解形式唯一吗？
【提示】 向量分解形式唯一．
如图2－3－10，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．
图2－3－10
【精彩点拨】 要证E为线段BD的三等分点，只需证B＝B，可设B＝μB.选取，A作为基底，通过A＋B＝A，建立相应的方程组，并进行运算，求出μ＝即可．
【自主解答】 设A＝a，A＝b，则
B＝A－A＝b－a，
A＝A＋D＝A＋A＝b＋a.
因为A，E，F与B，D，E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使A＝λA，B＝μB.
于是A＝a＋λb，B＝μb－μa.
由A＋B＝A，得(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，
得1－μ＝，且μ＝λ.
解得λ＝μ＝，∴B＝B，
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．
1．利用向量证明几何问题是其工具性的体现．操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底．
2．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
[再练一题]
3．已知D，E，F分别是△ABC的BC，CA，AB边上的中点．试用向量法证明：AD，BE，CF交于一点．
【证明】 如图，令＝a，＝b为基底，
则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，
设AD与BE交于点G，且＝λ，＝μ，
则有＝λa－b，＝－a＋μb.
又有＝＋
＝a＋(μ－1)b，
∴
解得λ＝μ＝.
∴＝a－b，
＝＋
＝－a＋a－b＝－a－b
＝×(－a－b)．
而＝(－a－b)，
∴＝，
∴点G∈CF，∴AD，BE，CF交于一点．
[构建·体系]
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
【解析】 根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形知①③正确．
【答案】 B
2．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
【解析】 因为(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
所以(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
所以由①－②得x－y－3＝0，
即x－y＝3.
【答案】 A
3.在△ABC中，若D，E，F依次是的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.
【导学号：66470048】
图2－3－11
【解析】 ＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
【答案】 e1＋e2
4．已知向量i，j不共线，实数λ，μ满足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，则λ的值为________，μ的值为________．
【解析】 由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得
λi＋(3－5μ)j＝0，因为i，j不共线．
所以λ＝0,3－5μ＝0，即μ＝.
【答案】 0
5．设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
【解】 如图，＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
＝－
＝－＝a－b.
＝－＝－(＋)＝a＋b.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①单位向量
②坐标表示
③数乘向量
④坐标
⑤夹角公式
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．
2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．
3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．
4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．
已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将OB分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b(如图2－1)，
图2－1
(1)用a，b表示向量，；
(1)若＝λ，求实数λ的值．
【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．
(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解．
【规范解答】 (1)∵A为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)若＝λ，则＝－＝λ－
＝λa－(2a－b)
＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，∴存在实数m，使得＝m，
即(λ－2)a＋b＝m，
∴(λ＋2m－2)a＋b＝0.
∵a，b不共线，
∴解得λ＝.
[再练一题]
1．(1)若a，b是不共线的两个向量，且a与b的起点相同，则实数t为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？
(2)已知A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，与共线，求x的值．
【解】 (1)由题易知，存在唯一实数λ.使得
a－tb＝λ＝λa－λb，
∴
∴t＝，即当t＝时，三向量共线．
(2)＝(2,4)，＝(4－x,12)．
∵∥，∴2×12＝4(4－x)，
∴x＝－2.
向量的夹角、垂直及长度问题
1.求夹角问题
求向量a，b夹角θ的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cos
θ＝(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos
θ＝＝.
2．垂直问题
这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
3．向量的模
(1)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)若a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，
|a|＝.
(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(3)若|a|＝1，|b|＝，(2a－b)⊥b，求a与b的夹角．
【精彩点拨】 (1)利用模与数量积进行转化求解．
(2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算．
(3)利用垂直关系结合数量积运算求解．
【规范解答】 (1)因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝13，
即(a＋b)2＝13，|a|2＋2a·b＋|b|2＝13.又因为a与b的夹角为120°，|a|＝3，所以9＋2×3×|b|·cos
120°＋|b|2＝13，|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍)．
(2)设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos
θ＝－6，所以cos
θ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.
【答案】 (1)4 (2)
(3)由(2a－b)⊥b，则(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0，所以2|a||b|cos
θ－|b|2＝0，
即2×cos
θ－2＝0，所以cos
θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
[再练一题]
2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为π，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
【解】 ∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.
∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos
π＝|b|×4×＝－4.
∴|b|＝2.
∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c，
∴16＝n×(－4)，因此n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，
得0＝8m－4a·b.①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②
由①②，得m＝±，
∴a·b＝±2，
∴cos
θ＝＝±.
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝或π.
向量的实际应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．
3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0
s时分别在P0，Q0处，问当⊥时，所需的时间为多少？
【精彩点拨】 求出t
s后，P，Q两点坐标由数量积为0建立方程求解．
【规范解答】 e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||＝(t，t)，
＝||＝(3t,2t)．
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．
由于⊥，∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，
解得t＝2，
即当⊥时，所需时间为2
s.
[再练一题]
3.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
图2－2
【证明】 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则
D(1,0)，＝(2，－2)．
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又因为＝(－1,2)，
由题设⊥，所以·＝0，
所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝，
所以＝，
所以＝－＝.
又因为＝(1,0)，
所以cos∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝.
又因为∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
所以∠ADB＝∠FDC.
待定系数法在向量中的应用
1.待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于一些数学问题，若已知所求结果具有的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．
2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．
如图2－3，在△ABC中，M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
图2－3
【精彩点拨】 本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出，，因为点A，P，M共线，若有＝λ，则λ为AP∶PM的值．
【规范解答】 设＝e1，＝e2，
∴＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2.
∵A，P，M与B，P，N共线，
∴＝λ＝－λ(e1＋3e2)，＝μ＝μ(2e1＋e2)．
∵＝＋＝＋，
∴μ(2e1＋e2)＋λ(e1＋3e2)＝2e1＋3e2，
∴
∴＝，
∴AP∶PM＝4∶1.
[再练一题]
4．设平面内给定的三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
【解】 ∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(4n－m,2m＋n)，
∴解得
1．(2015·陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
【解析】 根据a·b＝|a||b|cos
θ，又cos
θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．
【答案】 B
2．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
【解析】 在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos
120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.
【答案】 D
3．(2015·福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13
B．15
C．19
D．21
【解析】 ∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C(t,0)，
则＝＋＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1).·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.
当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.
【答案】 A
4．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
【解析】 在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°
可得AD＝DC＝1.
建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，
＝－(2,0)＝，
＝－＝(1,0)．
∵＝λ＝，∴E.
∵＝＝，∴F.
∴·＝·
＝＋λ＝＋＋λ
≥＋2＝.
当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，符合题意．
∴·的最小值为.
【答案】 §1 从位移、速度、力到向量
1．1 位移、速度和力
1．2 向量的概念
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 向量的概念
阅读教材P73～P75“练习”以上部分，完成下列问题．
1．向量的有关概念
名称
定义
表示方法
零向量
长度为零的向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合
a与b平行或共线，记作a∥b或a＝λb，λ∈Z
2.向量及其表示
(1)定义
既有大小，又有方向的量叫作向量．
(2)有向线段
具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
(3)向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．
(4)向量的表示法
①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
②向量也可以用黑体小写斜体字母如a，b，c，…来表示，书写用
，
，
…来表示．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数量同向量一样可以比较大小．( )
(2)向量与向量是相等向量．( )
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(4)向量就是有向线段．( )
【解析】 (1)错误．向量不能比较大小．
(2)错误.与方向相反不是相等向量．
(3)错误．两条直线平行或重合．
(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的有关概念
给出下列几种说法：
①温度、速度、位移这些物理量都是向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③向量的模一定是正数；
④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
其中说法正确的是________．(填序号)
【精彩点拨】 解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．
【自主解答】 ①错误，只有速度、位移是向量．
②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
③错误.0的模|0|＝0.
④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．
【答案】 ④
1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．
2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．
[再练一题]
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；
(2)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)向量的长度与向量的长度相等；
(4)单位向量都相等．
【解】 对于(1)，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；
对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；
对于(3)，向量与方向相反，但长度相等．所以(3)对；
对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错.
向量表示
(1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．
(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200
km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
①作出向量，，；
②求||.
【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解．
(2)先作出表示东南西北的方位图及100
km长度的线段，然后解答问题．
【自主解答】 (1)设线段AD的长度是3，则长度为1的向量有＝＝，＝＝，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有＝，＝共有2个互不相等的非零向量，长度为3的向量有，，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．
【答案】 6
(2)①向量，，如图所示．
②由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200(km)．
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．
[再练一题]
2．小李离家从A点出发向东走2
km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4
km，到达C点，又改变方向向西走2
km到达D点．
(1)作出，，；
(2)求小李到达D点时与A点的距离．
【解】 作，，，如图所示：
(2)依题意，四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝4，
即小李到达D点时离A点4
km.
[探究共研型]
相等向量与共线向量
探究1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
【提示】 方向相同或相反．
探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？
【提示】 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个向量不能比较大小．
探究3 平行四边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？
【提示】 平行四边形的对边平行且相等，表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．
探究4 如果非零向量与是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？
【提示】 不一定共线．
如图2－1－1所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
图2－1－1
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请分别一一列出与a，b，c相等的向量．
【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息：
①六边形ABCDEF是正六边形；
②＝a，＝b，＝c；
③求各相应向量．
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．
【自主解答】 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；
与b相等的向量有，，；
与c相等的向量有，，.
1．向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．
2．共线向量有四种情况
方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
3．向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．
4．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．
[再练一题]
3.如图2－1－2所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
图2－1－2
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
【解】 (1)∵||＝||＝||，且，与的方向相同，∴与相等的向量是，.同理，与相等的向量是.
(2)∵AO∥DE∥BF，A，O，C三点共线，
∴与共线的向量是，，，.
[构建·体系]
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量．
【答案】 D
2．下列说法中正确的是( )
A．零向量没有方向
B．零向量的模等于零
C．单位向量的模等于1厘米
D．单位向量的方向都相同
【解析】 零向量也有方向，其方向是任意的，因此A错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1厘米，因此C错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D错误．所以只有B是正确的．
【答案】 B
3．给出下列命题：
①若|a|>|b|，则a>b；②若a＝b，则a∥b；③若|a|＝0，则a＝0；④0＝0；⑤向量大于向量；⑥方向不同的两个向量一定不平行．
其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【导学号：66470038】
【解析】 ①不正确．向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．
【答案】 ②③
4．设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量相等的向量是________．
【解析】 因为K，L分别是AB，BC的中点，所以KL∥AC，KL＝AC，同理MN綊AC，所以KL∥MN.KL＝MN，所以＝.
【答案】
5．如图2－1－3所示，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．
图2－1－3
(1)用有向线段表示与向量相等的向量；
(2)用有向线段表示与向量共线的向量．
【解】 (1)与向量相等的向量是向量，.
(2)与共线的向量为，，，，，，.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§2 从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
2．2 向量的减法
1．掌握向量的加法、减法运算．(重点)
2．理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 向量加法
阅读教材P76－P77“例2”以上部分，完成下列问题．
向量求和法则及运算律
类别
图示
几何意义
向量求和的法则
三角形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
向量求和的法则
平行四边形法则
已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的和，可能是一个数量．( )
(2)两向量相加，就是两向量的模相加．( )
(3)＋＝.( )
(4)矩形ABCD中，＋＝.( )
【解析】 (1)两向量之和，仍是向量，(1)错；(2)不共线两向量相加，遵循平行四边形法则；由向量加法的三角形法则可知(3)正确；由向量的平行四边形法则可知(4)正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
教材整理2 向量减法
阅读教材P79～P80“练习”以上部分，完成下列问题．
1．相反向量
定义
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－0)＝0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a
2.向量减法
定义
向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何意义
如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)＝－.( )
(3)a－b的相反向量是b－a.( )
(4)|a－b|＜|b＋a|.( )
【解析】 (1)正确．两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量，是向量．
(2)正确．根据向量减法的几何意义可知＝－.
(3)正确．(a－b)＋(b－a)＝0.
(4)错误．|a＋b|与|a－b|的大小关系不确定．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的加法、减法运算
(1)在平行四边形ABCD中，＋－等于( )
A．
B．
C.
D．
(2)化简：＋＋－－＝________.
(3)如图2－2－1，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c.
图2－2－1
【精彩点拨】 利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解．
【自主解答】 (1)在 ABCD中，＝，＝，
∴＋－＝(－)＋＝.
(2)法一：原式＝＋＋－(＋)
＝0－＝.
法二：在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，则
原式＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)
＝－＋－＋－－＋－＋＝－＝.
【答案】 (1)C (2)
(3)作法：
①作＝a，＝b；
②作＝c；
③连接CB，
则＝a＋b－c.
1．求解这类问题，要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，两向量起点一定相同．
2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O，将向量起点统一．
3．运用向量加法、减法运算法则作图时，应注意是“首尾相连”还是“首首相连”等．
[再练一题]
1.(1)如图2－2－2，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点，求作：
图2－2－2
①＋；
②＋.
(2)如图2－2－3，已知向量a，b，c，求作a＋b＋c.
图2－2－3
【解】 (1)①延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
②在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．
(2)在平面内任取一点O，作向量＝a，再作＝c，则＝a＋c，然后再作＝b，连接OC，于是向量＝a＋b＋c即为所求(如图所示)．
利用已知向量表示其它向量
在五边形ABCDE中，设＝a，＝b，＝c，＝d，用a，b，c，d表示.
【精彩点拨】 先表示出向量，然后用向量加法表示出.
【自主解答】 因为＝＋，＝＋＋，
所以＋＝＋＋，
即b＋d＝a＋c＋，
所以＝b＋d－a－c.
1．用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．
2．用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．
[再练一题]
2.如图2－2－4所示，已知O为平行四边形ABCD内的一点，＝a，＝b，＝c，则可以用a，b，c表示为________．
图2－2－4
【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，所以－＝－，所以＝－＋＝a－b＋c.
【答案】 a－b＋c
[探究共研型]
向量加法、减法的综合应用
探究1 向量减法的实质是什么？
【提示】 加法的逆运算．
探究2 |a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
【提示】 当a与b不共线时，有＜|a－b|＜|a＋b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有|a－b|＝|b|－|a|.
已知 ABCD中，∠ABC＝60°，设＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值．
【精彩点拨】 根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解．
【自主解答】 依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2.
因为∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以BC＝AB.
所以 ABCD为菱形，AC⊥BD，
所以|a|2＝2＋2，
即4＝1＋，
所以|a－b|＝2.
本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a，b是两个不共线的向量，在平面内任取一点A作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，那么＝a＋b，＝a－b.恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键．
[再练一题]
3．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值.
【导学号：66470041】
【解】 如图，设＝a，＝b，
则||＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则||＝|a＋b|.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，
即||2＋||2＝||2，
所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，
从而OA⊥OB，
所以 OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，
即|a＋b|＝4.
[构建·体系]
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )
A．＝＋
B．＝＋
C.＝＋
D．＝＋
【解析】 由向量三角形法则知＝＋.
【答案】 B
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1
B．
C．3
D．2
【解析】 ∵＋＝，∴|＋|＝||＝，故选B.
【答案】 B
3．设a表示向东走4
km，b表示向南走3
km，则|a＋b|＝________km.
【导学号：66470042】
【解析】 |a＋b|＝＝5.
【答案】 5
4．化简：
(1)＋－＝________；
(2)－－－＝________.
【解析】 (1)＋－＝＋(－)＝＋＝0.
(2)－－－＝(－)－(＋)
＝－0＝.
【答案】 0
5.如图2－2－5，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋.
【解】 如图，＋＝＋＝，
＋＝，
＋＝＋＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§4 平面向量的坐标
4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
4．3 向量平行的坐标表示
1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)
3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 平面向量的坐标表示
阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．
如图2－4－1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
图2－4－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．( )
【解析】 (1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．
(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．
(3)错误．两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示
阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题．
1．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：
①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；
②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；
③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
2．向量平行的坐标表示
(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.
(2)文字语言描述向量平行的坐标表示
①定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
②定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2＝x2y1.( )
(2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.( )
【解析】 (1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1.
(2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向．
(3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→
得相应向量的坐标
【自主解答】 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos
60°，2sin
60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．
[再练一题]
1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，.
【解】 如图所示，以点O为原点，所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．
∵||＝1，∠AOB＝150°，
∴B(－cos
30°，sin
30°)，
即B.
∵||＝3，
∴C(－3sin
30°，－3cos
30°)，
即C.
又∵A(2,0)，
∴＝－(2,0)＝，
＝－＝.
向量坐标的线性运算
已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标.
【导学号：66470051】
【精彩点拨】 先求出的坐标，然后求，的坐标，最后求出，及的坐标．
【自主解答】 ∵A(－1,2)，B(2,8)，
∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，
＝－＝＝(1,2)，
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行．
2．若已知线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．
[再练一题]
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)
求3a＋b－3c的坐标；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，
∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
[探究共研型]
向量平行的坐标表示
探究1 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共线(其中b≠0)，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？
【提示】 这两个向量的坐标应满足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b x1y2－x2y1＝0.
探究2 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？
【提示】 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】 由a，b的坐标→求ka＋b，a－3b坐标→
由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向
【自主解答】 法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)
＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．
[再练一题]
3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解】 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
[构建·体系]
1．下列各组向量共线的是( )
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(2,3)，b2＝(3,2)
C．a3＝(1,2)，b3＝(7,14)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6,4)
【解析】 因为b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3与b3共线．
【答案】 C
2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝( )
A．(8，－1)
B．(0,7)
C．(7,0)
D．(－1,8)
【解析】 a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)
＝(0,7)．
【答案】 B
3．已知A(4,1)，B，C，若A，B，C共线，则x＝________.
【导学号：66470052】
【解析】 因为＝，＝，所以(x－4)＝，解得x＝－1.
【答案】 －1
4．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________．
【解析】 ＝＝，＝＋＝，即C.
【答案】
5．已知A(1,2)，B(3，－6)，向量a＝(x＋3，y－4)．若a＝2，求x，y的值．
【解】 由题意得＝(3，－6)－(1,2)＝(2，－8)，所以2＝2(2，－8)＝(4，－16)．
又因为a＝(x＋3，y－4)，a＝2.
所以解得
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§6 平面向量数量积的坐标表示
1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)
3．了解直线的方向向量的概念．(难点)
[基础·初探]
教材整理 平面向量数量积的坐标表示
阅读教材P98～P99，完成下列问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)a2＝x＋y，即|a|＝；
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝；
(4)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cos
θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.( )
(3)两向量a与b的夹角公式cos
θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.( )
【解析】 (1)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(2,2)，显然cos
θ＝＜0，但a与b的夹角是180°，而并非钝角．
(2)正确.＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝.
(3)正确．两向量a与b的夹角公式cos＝有意义需x＋x≠0且y＋y≠0，即a≠0，且b≠0.此说法是正确的．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量数量积的坐标运算
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b.
【精彩点拨】 根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b.
【自主解答】 (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.
法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.
进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；
(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[再练一题]
1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：
(1)(2a－3b)·(a＋2b)；
(2)(a＋b)2.
【解】 法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝
(－10,5)，
a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，
∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.
(2)∵a＋b＝(10，－5)，
∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.
法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.
(1)(2a－3b)·(a＋2b)
＝2a2＋a·b－6b2
＝2×20＋30－6×45＝－200.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.
向量的夹角及垂直
已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角．
【精彩点拨】 (1)利用|a|＝求解．
(2)利用cos
θ＝求解．
【自主解答】 (1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝＝3.
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π，
即a与c的夹角为π.
1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算．
2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；
(2)再求出两向量的模；
(3)由公式cos
θ＝，计算cos
θ的值；
(4)在[0，π]内，由cos
θ的值确定角θ.
[再练一题]
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
【解】 a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos
θ＜0，且cos
θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos
θ＞0，且cos
θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
[探究共研型]
向量的模
探究1 由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？
【提示】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝||＝.
探究2 向量的模的坐标表达式是什么？
【提示】 向量a＝(x1，y1)的模是|a|＝.
探究3 求向量的坐标一般采用什么方法？
【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解．
设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a·b＝x1x2＋y1y2求得c的坐标表示，然后求模．
【自主解答】 (1)a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
所以a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，所以|c|＝＝.
求向量的模的两种基本策略
1．字母表示F的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
2．坐标表示F的运算
若a＝(x，y)，则a·b＝a2＝|a|2＝x2＋y2，
于是有|a|＝.
[再练一题]
3．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝________.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．
【解析】 (1)因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，a∥b，所以1×m－2×(－2)＝0，
所以m＝－4，所以2a＋3b＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，
所以|2a＋3b|＝＝4.
【答案】 4
(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得
解得或
所以a＝(2，4)或a＝(－2，－4)．
[构建·体系]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 a·b＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1.
【答案】 A
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a·b的夹角θ＝( )
【导学号：66470057】
A．120°
B．30°
C．150°
D．60°
【解析】 因为a·b＝(－，－1)·(1，)＝－2，
|a|＝＝2，|b|＝＝2.
所以cos
θ＝＝＝－.
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.
【答案】 C
3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝________.
【解析】 法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)，
所以(a＋b)(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.
法二：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7.
【答案】 －7
4．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝________.
【解析】 ∵a⊥b，
∴－3＋x＝0，
∴x＝3.
【答案】 3
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
【解】 (1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，
∴b·c＝(2，－2)·(6,6)
＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0·a＝0.
(2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)
＝(1＋2λ，2－2λ)，
∵(a＋λb)⊥a，
∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，
得λ＝.
(3)法一：设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝
＝＝－.
∴向量a在b方向上的投影为
|a|cos
θ＝·＝－.
法二：∵a·b＝(1,2)·(2，－2)
＝－2，|b|＝2.
∴向量a与b方向上的投影为
|a|cos
θ＝＝＝－.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
1．理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)
3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 数乘向量
阅读教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列问题．
1．数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则向量数乘满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a都是向量．( )
(3)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
(4)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．( )
(5)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( )
(6)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( )
【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)正确；(5)当b＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a＝0，b≠0时，就不存在实数λ，使b＝λa，故(6)错误．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的线性运算
计算：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【精彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算．
【自主解答】 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a
＝b－c.
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解．
[再练一题]
1．化简：
(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)；
(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)．
【解】 (1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.
(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)＝a＋b＝a＋b.
向量共线定理及应用
已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e0，判断a与b是否共线？
【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断．
【自主解答】 若a与b共线，则存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在．
所以a与b不共线．
1．本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
[再练一题]
2．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线．
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
【解】 (1)证明：由已知得
＝－
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)
＝e1－4e2.
∵＝2e1－8e2，
∴＝2，又与有公共点B.
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，由＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得解得k＝12.
[探究共研型]
向量线性运算的综合应用
探究1 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点的位置关系如何？
【提示】 A，B，C三点共线．
探究2 根据数乘向量的几何意义由＋＝λ(＋)可以得到什么结论？
【提示】 ＋与＋共线．
探究3 向量共线定理有哪两个方面的应用？
【提示】 (1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线．(2)表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线(a≠0)则必存在一个实数λ.使b＝λa.
已知O是坐标原点，过△OAB的重心的直线交OA于点P，交OB于点Q，＝a，＝b，＝m
a，＝n
b，求证：＋＝3.
【精彩点拨】 解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理把用表示出来，再用向量求和法则，将其用a，b表示出来，然后表示出，，最后利用Q，G，P三点共线，即可得证．
【自主解答】 如图，设G是△ABC的重心，连接OG并延长，交AB于点F，则
＝＝×(a＋b)＝(a＋b)，
＝－＝(a＋b)－n
b＝a＋b，
＝－＝m
a－(a＋b)＝a－b.
∵Q，G，P三点共线，
则存在实数k使＝k，
∴a＋b＝ka－kb，
∴
化简得m＋n＝3mn，
∴＋＝3.
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
[再练一题]
3．已知△ABC中，AB＝5，AC＝5，BC＝6，内角平分线的交点为O，若＝λ＋μ，求实数λ与μ的和．
【解】 如图，AB＝AC＝5，由已知可得，D为BC的中点，由角的平分线性质定理知，＝＝，
即＝.
于是，＝＝(＋)
＝＝＋，
即λ＝，μ＝.
故λ＋μ＝＋＝.
[构建·体系]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【解析】 a与λ2a的方向相同．
【答案】 C
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
【导学号：66470045】
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【解析】 ＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.
所以A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
【解析】 因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝.
又因为b与a的方向相反，所以a＝－b.
【答案】 －
4．在四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为________(填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一)．
【解析】 因为＝2，所以四边形ABCD中有AB∥DC，AB＝2CD，所以四边形ABCD是梯形．
【答案】 梯形
5．如图2－3－1所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝3CD.若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
图2－3－1
【解】 因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§5 从力做的功到向量的数量积
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．
3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 向量的夹角及数量积
阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．
1．向量的夹角
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角
范围
0°≤θ≤180°
特例
θ＝0°
a与b同向
θ＝180°
a与b反向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直
2.向量的数量积
(1)射影
|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)．
(2)数量积
已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos
θ
叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ，其中θ是a与b的夹角．
(3)规定
零向量与任一向量的数量积为0.
(4)几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos
θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos
θ的乘积．
(5)性质
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b a·b＝0.
③|a|＝＝.
④cos
θ＝(|a||b|≠0)．
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
(6)运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则：
①交换律：a·b＝b·a；
②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)设a与b的夹角为θ，则cos
θ>0 a·b>0.( )
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( )
(5)＝.( )
【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量．
(2)×.∵a·b＝|a||b|cos
θ＝0，∴a＝0或b＝0或cos
θ＝0.
(3)√.
(4)×.由数量积定义知，错；
(5)×.＝＝.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
求向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.
【精彩点拨】 利用两个向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos
θ，|a|2＝a2及运算律计算．
【自主解答】 由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5.
(1)a·b＝|a||b|cos
θ＝4×5×cos
60°＝10.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21.
(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cos
θ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
[再练一题]
1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：
(1)a·b；
(2)a在b方向上的射影；
(3)(a－2b)·(a＋b)；
(4)(a－b)2.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos
120°＝10×4×＝－20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos
120°＝10×＝－5.
(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos
120°－2|b|2
＝100－10×4×－2×42＝88.
(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos
120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋42
＝100＋40＋16＝156.
与向量的模有关的问题
已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|.
【精彩点拨】 利用公式|a|2＝a2进行计算．
【自主解答】 a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4.
(1)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2·a·b＋|b|2
＝42＋2×(－4)＋22＝12，
所以|a＋b|＝2.
(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方．
2．一些常见等式应熟记：
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
[再练一题]
2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|.
【导学号：66470054】
【解】 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61，
所以a·b＝－6.
|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
[探究共研型]
向量的夹角和垂直问题
探究1 向量的夹角范围是多少？
【提示】 [0，π]．
探究2 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】 a·b＝0 a⊥b.
探究3 |a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？
【提示】 |a·b|≤|a|·|b|，|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|.
由|cos
θ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|.
求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．
已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.
【精彩点拨】 先求|a|，|b|及a·b，再由公式cos
θ＝求解．
【自主解答】 ∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝cos
60°＝，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－.
又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7，
b2＝(2e2－3e1)2＝4e－12e1·e2＋9e＝7，
∴|a|＝|b|＝，
则cos
θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π.
1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos
θ＝求cos
θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos
θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2．两向量垂直 a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．
[再练一题]
3．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角；
(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．
【解】 (1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝.又因为|a|＝1，所以|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，
所以|a－b|＝.又因为(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，所以|a＋b|＝.
设a＋b与a－b的夹角为α，
则cos
α＝＝＝.
[构建·体系]
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】 由向量数量积的运算性质，知A，C，D错误．
【答案】 B
2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为( )
A．4
B．4
C．4
D．8＋
【解析】 a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉．由a·b＝|a|·|b|cos
θ＝40且|b|＝10，得|a|cos
θ＝4.
【答案】 A
3．已知|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则a与b的夹角是________.
【导学号：66470055】
【解析】 设a与b的夹角为θ，cos
θ＝＝＝－.
又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°.
【答案】 120°
4．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________.
【解析】 因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.
【答案】 5
5．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a－b|；
(2)若a与a＋b垂直，求θ.
【解】 (1)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2－2|a||b|cos＋|b|2
＝1－2×＋2
＝3－，
∴|a－b|＝.
(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，
∴a2＋a·b＝0.
∵a·b＝－|a|2＝－1.
∴cos
θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§7 向量应用举例
7．1 点到直线的距离公式
7．2 向量的应用举例
1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)
3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．
[基础·初探]
教材整理 向量应用举例
阅读教材P101～P103，完成下列问题．
1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝.
2．直线的法向量
(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．
(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
3．向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)△ABC是直角三角形，则·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )
(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．( )
(4)直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量是(A，B)．( )
【解析】 △ABC是直角三角形，若∠A＝90°，则·≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量在平面几何中的应用
已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线．
图2－7－1
【自主解答】 设△BCD外接圆的圆心为O，
半径为R，连接OB，OC，OD，取＝b，
＝c，＝d，
则|b|＝|c|＝|d|，
又由题意，知和分别为120°和90°的弧．
∴b·d＝0，b·c＝|b||c|cos
120°＝－R2.
又∵＝＋＝c＋3＝c＋3(d－c)＝3d－2c，
＝－＝b－3d＋2c.
∴·＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，
即⊥，∴AB是⊙O的切线．
1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系．
2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．
[再练一题]
1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，
(1)求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
【解】 以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)．
(1)证明：∵D为AB的中点，
∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，
∴E，设F(x,0)，则
＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F共线，∴＝λ，
解得(x，－m)＝λ，
∴
即x＝，即F，＝，
∴||＝，
即AF＝.
向量在物理中的应用
某人在静水中游泳，速度为4km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4
km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
【精彩点拨】 解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．
【自主解答】 (1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8
km/h.
(2)如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4.
∴cos∠BAO＝，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4km/h.
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
[再练一题]
2．一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1
000
km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
图2－7－2
【解】 法一：由题意得||＝1
000，||＝2
000，∠BAC＝60°，
∴||2＝|－|2＝||2＋||2－2||·||·cos
60°
＝2
0002＋1
0002－2×1
000×2
000×＝3×106，
∴||＝1
000(km)，∠ABC＝90°.
取AC的中点D，由||＝2||且∠BAD＝60°，
知为正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000km，方向为南偏西30°.
法二：建立如图所示坐标系，并取a＝500，则＝(2acos
150°，2asin
150°)＝(－a，a)，
＝(4acos
210°，4asin
210°)
＝(－2a，－2a)，
∴＝(－a，－3a)，||＝2a，
即||＝1
000(km)．
又cos
C＝＝＝，∠C＝30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°，所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000km，方向为南偏西30°.
[探究共研型]
向量在解析几何中的应用
探究1 教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|
【提示】 如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则|＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|，
∴d＝|·n0|.
探究2 你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？
【提示】 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．
探究3 用向量法解决几何问题常用到哪些知识？
【提示】 相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到．
已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及点A(1,1)，M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
【精彩点拨】 要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．
【自主解答】 设N(x，y)，M(x0，y0)，
由＝2，得
(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴
即代入⊙C方程，得
(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，
即x2＋y2＝1.
∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
[再练一题]
3．已知过点A(0,2)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，若O为坐标原点，且·＝12，求k及直线l的方程．
【解】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，l的方程为y＝kx＋2，由得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12，
y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，
∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，
∴(1＋k2)×＋2k×－8＝0，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
[构建·体系]
1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为( )
A．5N
B．5N
C．5N
D．5N
【解析】 根据向量的平行四边形法则，合力F的大小为×5＝5(N)．
【答案】 D
2．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【解析】 由·＝0，得⊥，又＝，所以与平行且相等，从而四边形ABCD是矩形．
【答案】 C
3．过点P(1，－1)且垂直于向量n＝(2，－1)的直线方程为________.
【导学号：66470059】
【解析】 所求直线的方向向量为m＝(1,2)，
∴所求直线的斜率为k＝2，
∴所求直线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
【答案】 2x－y－3＝0
4．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的轨迹方程为________．
【解析】 由题意得＝(x－1，y－1)．
因为⊥a，所以·a＝0，
所以(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2(y－1)＝0，
即x＋2y－3＝0(x≠1)．
【答案】 x＋2y－3＝0(x≠1)
5．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若C＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
【证明】 以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．
则A(b,0)，B(0，a)．
∴＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)，
∴||＝＝c.
故c2＝a2＋b2.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
