2.3 两角和与差的正切函数
1．能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)
2．掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正切公式
阅读教材P121例4以上部分，完成下列问题．
两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠－1
1.变形公式
tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)；
tan
αtan
β＝1－.
2．公式的特例
tan＝；
tan＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan
αtan
β，tan(α＋β)，tan
α＋tan
β三者知二，可表示或求出第三个．( )
(2)tan能用公式tan(α＋β)展开．( )
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．( )
(4)公式T(α±β)，对任意α，β都成立．( )
【解析】 由T(α±β)知，(1)对，(2)错，(4)错．
对于(3)，存在α＝，β＝－.
此时，tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β＝0.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值．
(1)；
(2)tan
23°＋tan
37°＋tan
23
°tan
37°.
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑＝tan
60°，再逆用公式，解决(2)题注意到23°＋37°＝60°，而tan
60°＝，故联想tan(23°＋37°)的展开形式，并变形，即可解决．
【自主解答】 (1)原式＝
＝tan
75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝＝2＋.
(2)∵tan(23°＋37°)＝tan
60°
＝＝，
∴tan
23°＋tan
37°＝(1－tan
23°tan
37°)，
∴原式＝(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝.
1．若化简的式子里出现了“tan
α±tan
β”及“tan
αtan
β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的正切公式的结构形式，然后逆用公式求值．
[再练一题]
1．(1)tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°；
(2)(3＋tan
30°·tan
40°＋tan
40°·tan
50°＋tan
50°·tan
60°)·tan
10°.
【解】 (1)tan
15°＋tan
30°＝tan(15°＋30°)(1－tan
15°·tan
30°)
＝tan
45°(1－tan
15°·tan
30°)
＝1－tan
15°·tan
30°，
所以原式＝1－tan
15°·tan
30°＋tan
15°·tan
30°
＝1.
(2)原式＝(1＋tan
30°tan
40°＋1＋tan
40°tan
50°＋1＋tan
50°tan
60°)·tan
10°，
因为tan
10°＝tan(40°－30°)＝，
所以1＋tan
40°tan
30°＝.
同理，1＋tan
40°tan
50°＝，
1＋tan
50°tan
60°＝.
所以原式＝
·tan
10°
＝tan
40°－tan
30°＋tan
50°－tan
40°＋tan
60°－tan
50°
＝－tan
30°＋tan
60°＝－＋＝.
给值求角
已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－.求(2α－β)的值.
【导学号：66470070】
【精彩点拨】 先由α＝(α－β)＋β，求出tan
α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值．
【自主解答】 ∵tan(α－β)＝，tan
β＝－.
∴tan
α＝tan
[(α－β)＋β]
＝
＝＝.
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
∵0<α<，又0<β<π，tan
β＝－>－1.
∴<β<π，
∴－π<－β<－，
∴－π<α－β<－，
∴－π<2α－β<－，
∴2α－β＝－.
1．本题中隐含着角α，β的范围，需通过tan
α，tan
β的值缩小其范围．
2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．
[再练一题]
2．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3
x＋4＝0的两根，
－<α<，－<β<，求α＋β的值．
【解】 ∵tan
α＋tan
β＝－3
<0，tan
αtan
β＝4>0，
∴tan
α<0，tan
β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0.
∵tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
[探究共研型]
正切公式的综合应用
探究1 β与α－β怎样建立联系？
【提示】 β＝α－(α－β)．
探究2 若α＋β＝π，则tan
α与tan
β存在怎样关系？
【提示】 tan
α＝tan(π－β)＝－tan
β.
探究3 在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？
【提示】 A＋B＋C＝π或＋＝－.
在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，判断△ABC的形状．
【精彩点拨】 可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan
A和tan
C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状．
【自主解答】 tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
又0°
而tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝.
又0°∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
1．等式中同时出现tan
A±tan
B与tan
A·tan
B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．
2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．
[再练一题]
3．在△ABC中，∠C＝120°，tan
A＋tan
B＝.求tan
A·tan
B．
【解】 因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
所以tan(A＋B)＝tan
60°＝.
又tan(A＋B)＝，
所以＝，
解得tan
A·tan
B＝.
1．若tan
α＝，tan
β＝，则tan(α＋β)＝( )
A．
B．1
C.
D．
【解析】 tan(α＋β)＝＝＝1.
【答案】 B
2．已知α∈，sin
α＝，则tan等于( )
A．
B．7
C．－
D．－7
【解析】 由α∈，sin
α＝，得cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝－，
所以tan＝
＝＝.
【答案】 A
3．已知tan＝2，则tan
α等于________．
【解析】 tan＝＝2，解得tan
α＝－3.
【答案】 －3
4．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β＝________.
【导学号：66470071】
【解析】 tan(α＋β)＝＝＝4，
所以tan
α·tan
β＝.
【答案】
5．已知tan
α＝，cos
β＝－.若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值．
【解】 ∵cos
β＝－，90°<β<180°，
∴sin
β＝＝，
∴tan
β＝＝－2，又tan
α＝，
∴tan(α＋β)＝＝－1.
∵0°<α<90°<β<180°，
∴90°<α＋β<270°，
∴α＋β＝135°.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①sin2
α＋cos2
α＝1
②＝tan
α
③Cα＋β
④S2α
⑤T2α
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
三角函数式的求值问题
三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角．
1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．
2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．
3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．
已知0<α<，0<β<，且3sin
β＝sin(2α＋β)，4tan
＝1－tan2，求α＋β的值．
【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin
β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．
【规范解答】 ∵3sin
β＝sin(2α＋β)，
∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即2sin(α＋β)cos
α＝4cos(α＋β)sin
α.
∴tan(α＋β)＝2tan
α.
又4tan
＝1－tan2，
∴tan
α＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan
α＝1.
又∵0<α<，0<β<，
∴α＋β＝.
[再练一题]
1．已知－x＋cos
x＝.
(1)求sin
2x和cos
x－sin
x的值；
(2)求的值．
【解】 (1)由sin
x＋cos
x＝，平方得1＋sin
2x＝，所以sin
2x＝－.因为－x>sin
x，
所以cos
x－sin
x＝＝.
(2)＝
＝
＝sin
2x＝－×＝－.
三角函数式的化简
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．
化简：
(1)；
(2).
【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解．
(2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简．
【规范解答】 (1)原式＝
＝
＝＝
＝＝2.
(2)原式＝＝
＝tan＝－tan
x.
[再练一题]
2．化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos
2αcos
2β.
【解】 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
三角恒等式的证明
三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．
证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．
三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．
求证：··＝tan
.
【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x，x，等角，故可将左边4x,2x，x化为的形式．
【规范解答】 左边＝··
＝
＝＝
＝＝＝tan
＝右边．
∴等式成立．
[再练一题]
3．求证：＝.
【证明】 原式等价于＝，
即＝tan
2θ，而上式左边
＝
＝
＝
＝tan
2θ＝右边，
所以原式得证.
三角函数与平面向量的综合应用
三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．
已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
【精彩点拨】 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x∈，求出最大值和最小值．
【规范解答】 (1)a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos
x|.
∵x∈，
∴cos
x>0，
即|a＋b|＝2cos
x.
(2)∵f(x)＝cos
2x－2cos
x＝2cos2x－2cos
x－1
＝22－，
且x∈，
∴≤cos
x≤1.
∴当cos
x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos
x＝1时，f(x)取得最大值为－1.
[再练一题]
4．已知向量m＝(sin
x,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的值域．
【解】 (1)f(x)＝m·n
＝Asin
xcos
x＋cos
2x
＝A
＝Asin.
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图像．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6].
转化与化归思想
三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
已知向量a＝(2sin
x，cos
x)，b＝(cos
x，2cos
x)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)画出函数g(x)＝f(x)，x∈的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．
【精彩点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后求解．
【规范解答】 f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1
＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)列表及图像如下：
x
－
－
－
2x＋
－π
－
0
π
y
0
－2
0
2
0
从图像可以看出，此函数有一个对称中心，无对称轴．
[再练一题]
5．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)因为f＝，
所以Acos
＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
f＝2cos＝－2sin
α＝－，所以sin
α＝，因为α∈，所以cos
α＝.又因为f＝2cos＝2cos
β＝，所以cos
β＝，因为β∈，所以sin
β＝，所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
1．(2015·重庆高考)若tan
α＝，tan(α＋β
)＝，则tan
β＝( )
A．
B．
C．
D．
【解析】 tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
【答案】 A
2．(2015·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x＋1的最小正周期是________，最小值是________．
【解析】 f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x＋1
＝＋sin
2x＋1＝＋sin.
故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.
【答案】 π
3．(2015·上海高考)函数f(x)＝1－3sin2x的最小正周期为________．
【解析】 因为2sin2x＝1－cos
2x，所以f(x)＝1－(1－cos
2x)＝－＋cos
2x，所以函数f(x)的最小正周期为＝π.
【答案】 π
4．(2015·四川高考)已知sin
α＋2cos
α＝0，则2sin
αcos
α－cos2α的值是________．
【解析】 由sin
α＋2cos
α＝0，得tan
α＝－2.
所以2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝－1.
【答案】 －1
5．(2015·四川高考)sin
15°＋sin
75°＝________.
【解析】 sin
15°＋sin
75°＝sin
15°＋cos
15°
＝
＝(sin
15°
cos
45°＋cos
15°
sin
45°)
＝sin
60°＝×＝.
【答案】 §3 二倍角的三角函数
1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)
2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点)
3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 二倍角公式与半角公式
阅读教材P124～P127练习2以上部分，完成下列问题．
1．二倍角公式
2．半角公式
(1)sin＝±
；
(2)cos＝±
；
(3)tan＝±
＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α∈R，总有sin
2α＝2sin
α.( )
(2)对任意α∈R，总有cos
2α＝1－2cos2α.( )
(3)对任意α∈R，总有tan
2α＝.( )
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝.( )
【解析】 (1)sin
2α＝2sin
αcos
α，所以(1)错．
(2)cos
2α＝2cos2α－1，所以(2)错．
(3)α≠＋(k∈Z)时，有tan
2α＝，所以(3)错．
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝×2sin
22°30′cos
22°30′＝sin
45°＝，所以(4)对．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
倍角及半角公式的直接应用
已知cos
α＝，α为第四象限的角，求tan
的值．
【精彩点拨】 根据条件求出sin
α，然后求出cos
α，利用半角公式求tan.
【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos
α＝，
∴sin
α＝－＝－.
∴tan
α＝＝－.
∵α为第四象限角，
∴是第二或第四象限的角，
∴tan
<0.
由tan
α＝，得tan＝.
在求半角的正切tan时，用tan＝±来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan＝或tan
＝来处理，可以避免这些问题，尤其是tan
＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan＝求半角的正切值．
[再练一题]
1．已知sin
α＋cos
α＝，且0<α<π，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值.
【导学号：66470073】
【解】 ∵sin
α＋cos
α＝，
∴sin2α＋2sin
αcos
α＋cos2α＝，
∴sin
2α＝－1＝－，且sin
αcos
α＝－<0.
又0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，
∴sin
α－cos
α>0，
∴sin
α－cos
α＝＝＝，
∴cos
2α＝cos2α－sin2α
＝(cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)
＝－×＝－，
∴tan
2α＝＝
＝.
利用倍角公式、半角公式化简
化简：(1)；
(2)＋，其中π<α<.
【精彩点拨】 (1)先把切化弦，再用二倍角公式化简．
(2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．
【自主解答】 (1)原式＝＝
＝
＝＝2.
(2)∵π<α<，∴<<，
∴＝|cos
|＝－cos
，
＝|sin
|＝sin
，
∴＋
＝＋
＝＋
＝－cos
.
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[再练一题]
2．设α∈，化简：
【解】 ∵α∈，
∴cos
α>0，cos
<0.
故原式＝
＝
＝＝＝－cos
.
[探究共研型]
三角恒等变形的综合应用
探究1 倍角公式成立的条件是什么？
【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠＋(k∈Z)．
探究2 半角公式适用条件是什么？
【提示】 cos
＝±，sin
＝
±，α∈R.
tan
＝±＝中，α≠2kπ＋π，k∈Z，
tan
＝中，α≠kπ，k∈Z.
探究3 在什么条件下，sin
2α＝2sin
α成立？
【提示】 一般情况下，sin
2α≠2sin
α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin
2α＝2sin
α才成立．
探究4 怎样把asin
x＋bcos
x化成Asin(ωx＋φ)形式？
【提示】 asin
x＋b
cos
x＝·
＝(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)＝sin
(x＋φ).
已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．
【精彩点拨】 把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质．
【自主解答】 f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由x∈，可得≤2x＋≤.
所以，当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取最大值，最大值为2.
首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
[再练一题]
3．设函数f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx
＝－·－sin
2ωx
＝cos
2ωx－sin
2ωx
＝－sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.又ω>0，所以＝4×，因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，当π≤x≤时，≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
1．tan
15°等于( )
A．2＋
B．2－
C.＋1
D．－1
【解析】 由tan
＝，得tan
15°＝＝2－.
【答案】 B
2．若sin
＝，则cos
α＝( )
【导学号：66470074】
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 cos
α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
【答案】 C
3．已知cos
α＝，270°<α<360°，则cos的值为________．
【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<<180°，所以cos<0.又cos
α＝2cos2－1，所以cos
＝
－＝－.
【答案】 －
4.已知cos
2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________.
【解析】 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
【答案】
5．求证：＝tan
θ.
【证明】 左边＝＝
＝＝tan
θ＝右边．原式得证．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§1 同角三角函数的基本关系
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α.(重点)
2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)
[基础·初探]
教材整理 同角三角函数的基本关系
阅读教材P113～P116练习2以上部分，完成下列问题．
1．关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2
α＝__1__；
(2)商数关系：＝tanα，＝cotα.
2．文字叙述
同一个角
α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角
α的正切．
3．变形形式
(1)1＝sin2
α＋cos2
α；
(2)sin2
α＝1－cos2α；cos2
α＝1－sin2α；
(3)sin
α＝±
；cos
α＝±
；
(4)sin
α＝cos
αtan
α；
(5)(sin
α±cos
α)2＝1±2sinαcosα.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．( )
(2)对任意角α，＝tan
.( )
(3)利用平方关系求sin
α或cos
α时，会得到正负两个值．( )
(4)当α≠(k∈Z)时，tan
α·cot
α＝1.( )
【解析】 (1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，所以错误．
(2)当α＝π时，cos
＝0，分母为0无意义，所以错误．
(3)求sin
α或cos
α时，应结合角的象限，判断是正或是负，因而错．
(4)正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
利用同角三角函数的基本关系求值
(1)若sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)已知tan
α＝2，求的值．
【精彩点拨】 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商数关系求正切；
第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式，再求值．
【自主解答】 (1)∵sin
α＝－，α是第三象限角，
∴cos
α＝－＝－＝－，
tan
α＝＝－×＝.
(2)法一：∵tan
α＝2，
∴＝＝＝－2.
法二：∵tan
α＝2，∴sin
α＝2cos
α，
∴＝＝－2.
同角三角函数的基本关系，揭示了同一角三角函数间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，求解时要注意根据角所在的象限，判断是一解或两解．
[再练一题]
1．已知tan
α＝2，试求：
(1)sin
α的值；
(2)和sin
αcos
α的值．
【解】 因为tan
α＝2，所以＝2，即sin
α＝2cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋2＝sin2α＝1，
所以sin
α＝±，又tan
α＝2，
所以α为第一或第三象限的角，当α为第一象限角时，
sin
α＝.当α为第三象限角时，sin
α＝－.
(2)＝＝，
sin
αcos
α＝＝＝＝.
利用sin
α±cos
α，sin
α·cos
α之间的关系求值
已知sin
θ，cos
θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
【精彩点拨】 本题主要考查韦达定理，同角三角函数的关系，由韦达定理得两根之和与两根之积的关系，通过恒等变形可得m的值．
【自主解答】 (1)∵sin
θ，cos
θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根，
∴
由①得1＋2sin
θcos
θ＝4－2，将②代入，得
1＋2m＝4－2，∴m＝－.
由③得m≤1－，
∴m＝－.
(2)原式＝＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝－1.
1．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．
2．sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，利用此关系求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值时，要注意判断它们的符号．
[再练一题]
2．已知0<θ<π，且sin
θ＋cos
θ＝，求sin
θ－cos
θ的值，及tan
θ的值.
【导学号：66470063】
【解】 ∵sin
θ＋cos
θ＝，①
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
解得sin
θcos
θ＝－.
∵0<θ<π，且sin
θcos
θ<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
∴sin
θ－cos
θ>0.
又∵(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
∴sin
θ－cos
θ＝.②
由①②得sin
θ＝，cos
θ＝－，
∴tan
θ＝＝－.
[探究共研型]
利用同角三角函数关系化简、证明
探究1 怎样理解同角三角函数关系中“同角”的含义？
【提示】 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是“任意”一个角．
探究2 平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
【提示】 平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
探究3 证明三角恒等式常用哪些技巧？
【提示】 切化弦，整体代换，“1”的代换．
探究4 证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
【提示】 由繁到简．
(1)化简tan
α·
，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝.
【精彩点拨】 (1)先确定sin
α，cos
α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
(2)逆用平方关系结合tan
α＝化简．
【自主解答】 (1)因为α是第二象限角，
所以sin
α>0，cos
α<0.
故tan
α·＝tan
α·
＝tan
α
＝·||＝·＝－1.
(2)证明：左边＝
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
1．化简三角函数式的一般要求：
(1)函数种类最少；
(2)项数最少；
(3)函数次数最低．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
[再练一题]
3．(1)化简：；
(2)求证：＝.
【解】 (1)原式
＝
＝
＝
＝
＝1.
(2)证明：法一：左边
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
法二：∵(sin
α＋cos
α－1)(1＋sin
α)
＝(sin
α－1)(1＋sin
α)＋cos
α(1＋sin
α)
＝sin2α－1－cos
α(1＋sin
α)
＝－cos2α＋cos
α(1＋sin
α)
＝cos
α(sin
α－cos
α＋1)
∴＝.
1．已知sin
α＝－，α是第三象限角，则tan
α等于( )
A．
B．－
C．
D．－
【解析】 因为α是第三象限角，所以cos
α<0，又sin
α＝－，
所以cos
α＝－＝－＝－，
所以tan
α＝＝＝.
【答案】 C
2．化简tan
·的结果是( )
A．sin
B．－sin
C．cos
D．－cos
【解析】 tan
·＝tan·，又cos>0，
所以原式＝·cos＝sin.
【答案】 A
3．已知sin
α＝，则sin2α－cos2α的值为________.
【导学号：66470064】
【解析】 因为sin
α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝1－2＝，
sin2α－cos2α＝2－＝－.
【答案】 －
4．已知tan
α＝－，则的值是________．
【解析】 ＝＝＝＝＝－.
【答案】 －
5．已知sin
α＝，cos
α＝，α是第四象限角，试求tan
α的值．
【解】 ∵sin2α＋cos2α＝1，
∴2＋2＝1.
化简，整理得，
m(m－8)＝0，∴m1＝0，m2＝8.
当m＝0时，sin
α＝，cos
α＝－，
不符合α是第四象限角，舍去．
当m＝8时，sin
α＝－，cos
α＝，
∴tan
α＝－.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________2．1 两角差的余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点)
3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数
阅读教材P118～P120练习以上部分，完成下列问题．
1．两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)
2．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(Cα＋β)
3．两角和与差的正弦公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(Sα＋β)，
(2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( )
(2)sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β一定不成立．( )
(3)sin(α－β)＝sin
βcos
α－sin
αcos
β.( )
(4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos
α＋cos
β.( )
【解析】 (1)√.
(2)×.如当α＝，β＝－时，则sin(α＋β)＝0.
sin
α＋sin
β＝sin
＋sin＝0，
∴当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β.
(3)×.sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
(4)√.如α＝，β＝时，
cos(α－β)＝cos
α＋cos
β.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
给角求值
求值：(1)sin
15°＋cos
15°；
(2)sin
119°sin
181°－sin
91°sin
29°.
【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．
【自主解答】 (1)法一：sin
15°＋cos
15°
＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin
45°cos
30°－cos
45°
sin
30°＋cos
45°cos
30°＋
sin
45°
sin
30°
＝×－×＋×＋×＝.
法二：sin
15°＋cos
15°
＝
＝sin(15°＋45°)
＝sin
60°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin
29°
＝cos
29°(－sin
1°)－cos
1°sin
29°
＝－(sin
29°
cos
1°＋cos
29°
sin
1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin
30°＝－.
1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．
2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．
[再练一题]
1．求值：(1)cos(x＋27°)·cos(x－18°)＋sin(x＋27°)·
sin(x－18°)；
(2)cos
105°＋sin
195°的值．
【解】 (1)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)·sin(x－18°)
＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]
＝cos
45°
＝.
(2)cos
105°＋sin
195°＝cos
105°－sin
15°
＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)
＝cos
60°cos
45°－sin
60°·sin
45°－sin
60°cos
45°＋cos
60°·sin
45°
＝×－×－×＋×
＝.
给值求值
已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求sin
2α的值．
【精彩点拨】 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解．
【自主解答】 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<，
∴sin(α－β)＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－.
∴sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×
＝－.
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
[再练一题]
2．已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值.
【导学号：66470067】
【解】 ∵α是锐角，且sin
α＝，
∴cos
α＝＝＝.
又∵sin(α＋β)＝＝
＝，
∴sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)
sin
α＝×－×＝.
[探究共研型]
给值求角问题
探究1 给值求角的实质是什么？
【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值．
探究2 给值求角的关键是什么？
【提示】 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．
探究3 常用的角的变换技巧有哪些？
【提示】 互余或互补关系的应用，如－α与＋α互余，＋α与π－α互补等．
已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求α.
【精彩点拨】 先计算sin
α后再根据α∈确定角α大小．
【自主解答】 ∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin
β＝－，∴cos
β＝，
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．
2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.
注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝，可能就会导致α＋β＝或.
[再练一题]
3．已知α，β都是锐角，且sin
α＝，sin
β＝.求α＋β的值．
【解】 因为α，β都是锐角，所以0<α<，0<β<，
0<α＋β<π，又sin
α＝，sin
β＝，
所以cos
α＝＝，cos
β＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝.
又0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
1．cos
66°·cos
36°＋cos
24°·cos
54°的值为( )
A．0
B．
C.
D．－
【解析】 cos
66°·cos
36°＋cos
24°·cos
54°
＝cos
66°·cos
36°＋sin
66°·sin
36°
＝cos(66°－36°)＝cos
30°
＝.
【答案】 C
2．若a＝(cos
60°，sin
60°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则a·b＝________.
【解析】 a·b＝cos
60°
·cos
15°＋sin
60°·sin
15°
＝cos(60°－15°)
＝cos
45°
＝.
【答案】
3．cos
345°的值为________.
【导学号：66470068】
【解析】 cos
345°＝cos(360°－15°)＝cos
15°
＝cos(45°－30°)
＝cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°
＝.
【答案】
4．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________.
【解析】 因为α为第三象限的角，所以sin
α＝－＝－，
所以sin＝sin
α·cos＋cos
α·sin＝
－×＋×＝－.
【答案】 －
5．已知sin＝，求.
【解】
＝
＝(cos
α－sin
α)
＝2
＝2sin
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________