§7 正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
7．3 正切函数的诱导公式
1．理解任意角的正切函数的定义．
2．能画出y＝tan
x的图像．(重点)
3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．(重点)
4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan
α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．
2．正切线
如图1－7－1所示，线段AT为角α的正切线．
图1－7－1
3．正切函数的图像与性质
图像
性质
定义域
值域
R
奇偶性
奇函数
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
单调性
在，k∈Z上是增加的
对称性
该图像的对称中心为，k∈Z
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan
x的定义域为R.( )
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期为π.( )
(3)正切函数y＝tan
x是奇函数．( )
(4)正切函数y＝tan
x的图像关于x轴对称．( )
【解析】 (1)y＝tan
x的定义域为.
(2)y＝tan
x的周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π.
(3)因为y＝tan
x的定义域关于原点对称，且tan(－x)＝－tan
x，故为奇函数．
(4)由图知，正切函数图像既不关于x轴对称，也不关于y轴对称．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正切函数的诱导公式
阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题．
正切函数的诱导公式
角x
函数y＝tan
x
记忆口诀
kπ＋α
tan
α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan
α
－α
－tan
α
π－α
－tan
α
π＋α
tan
α
＋α
－cot
α
函数名改变，符号看象限
－α
cot
α
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan＝cot
α.( )
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( )
(3)tan(kπ－α)＝－tan
α.( )
【解析】 (1)tan＝tan＝
tan＝cot
α，所以(1)正确．
(2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确．
(3)tan(kπ－α)＝－tan
α，故(3)正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
利用定义求正切值
如图1－7－2，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
图1－7－2
(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan
θ；
(2)若已知Q，试求tan
α.
【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．
【自主解答】 (1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，
故θ的终边与单位圆交于P′，
则tan
θ＝＝－.
(2)∵∠AOQ＝α且Q，
∴tan
α＝＝.
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan
α＝.
2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
3．tan
α＝知其中两个，可求另一个．
[再练一题]
1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos
α＝－，求tan
α的值.
【导学号：66470022】
【解】 由题意知cos
α＝＝－，∴b＝±3.又cos
α＝－<0，
∴P在第二象限，∴b＝3.
∴tan
α＝－.
利用诱导公式求值或化简
(1)化简：；
(2)求值：.
【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．
【自主解答】 (1)原式＝
＝＝－cos
α.
(2)原式＝
＝＝＝2－.
在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，＋α，－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．
[再练一题]
2．(1)化简：；
(2)若a＝，求a2＋a＋1的值．
【解】 (1)
＝＝
＝＝1.
(2)a＝
＝＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
正切函数的图像及应用
利用正切函数的图像作出y＝|tan
x|的图像，并写出使y＝的x的集合．
【精彩点拨】 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图．
【自主解答】 ∵当x∈时，y＝tan
x≤0，
当x∈时，y＝tan
x>0，
∴y＝|tan
x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
1．三点两线画图法
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．
[再练一题]
3．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tan
x)．
【解】 (1)由得
∴函数的定义域为.
(2)要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义．
则 0≤tan
x<1.由正切函数的图像可得kπ≤x
[探究共研型]
正切函数的性质
探究1 正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？
【提示】 不是，正切函数的定义域是
.正切曲线在每一个开区间(k∈Z)上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．
探究2 函数y＝tan
x的周期是多少？y＝|tan
x|的周期呢？
【提示】 y＝tan
x的周期是π，y＝|tan
x|的周期也是π.
探究3 函数y＝tan
x的图像有什么特征？
【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．
已知f(x)＝－atan
x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a>0，求f(x)在上的值域．
【精彩点拨】 通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a的符号．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝－atan
x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan
x＝－f(x)．
又定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan
x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a>0时，f(x)在上单调递减，
当a<0时，f(x)在上单调递增．
(4)当a>0时，f(x)在上单调递减，
故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像．
2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[再练一题]
4．画出函数y＝tan
|x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．
【解】 由y＝tan
|x|得，
y＝
根据y＝tan
x的图像，作出y＝tan
|x|的图像如图所示：
由图像可知，函数y＝tan
|x|是偶函数．
单调增区间为：，(k＝0,1,2,3，…)；
单调减区间为：，(k＝0，－1，－2，－3，…)．
[构建·体系]
1．tan
的值为( )
A．
B．－
C.
D．－
【解析】 tan
＝tan＝－tan＝－.
【答案】 D
2．函数y＝tan的定义域是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 由题意得x＋≠kπ＋，k∈Z，所以x≠kπ＋，k∈Z.
【答案】 D
3．已知角α的终边上一点P(－2,1)，则tan
α＝________.
【解析】 由正切函数的定义知tan
α＝＝－.
【答案】 －
4．函数y＝tan
x，x∈的值域是________.
【导学号：66470023】
【解析】 函数y＝tan
x在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan
0＝0.
【答案】 [0,1]
5．求以下各式的值．
(1)7cos
270°＋3sin
270°＋tan
765°；
(2).
【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos
90°－3sin
90°＋tan
45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
＝
＝＝2＋.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§6 余弦函数的图像与性质
6.1 余弦函数的图像
6.2 余弦函数的性质
1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)
3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
1．利用图像变换作余弦函数的图像
余弦函数y＝cos
x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin
x向左平移个单位长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
图1－6－1
2．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos
x(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos
x，x∈R的简图(如图1－6－2)．
图1－6－2
3．余弦函数的性质
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos
x的定义域为R.( )
(2)余弦函数y＝cos
x的图像可由y＝sin
x的图像向右平移个单位得到．( )
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos
x与y＝sin
x的图像形状完全相同，只是位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )
【解析】 (1)(3)正确；余弦函数y＝cos
x＝sin，即可看作是y＝sin
x向左平移个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
五点法作图
用“五点法”作函数y＝1－cos
x(0≤x≤2π)的简图．
【精彩点拨】 利用“五点法”：
列表―→描点―→连线
【自主解答】 列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
作函数y＝acos
x＋b的图像的步骤
1．列表：由x＝0，，π，，2π时，cos
x＝1,0，－1，0,1，求出y值．
2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．
3．连线：用平滑曲线．
[再练一题]
1．作出函数y＝1－cos
x在[－2π，2π]上的图像．
【解】 ①列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos
x
1
1
②作出y＝1－cos
x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－cos
x在x∈[－2π，2π]上的图像．
如图所示：
与余弦函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝log2(－1＋2cos
x)＋.
【精彩点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域，求若干个不等式的交集即可．
【自主解答】 (1)要使y＝有意义，则必须满足2cos
x＋1≥0，即cos
x≥－.
结合余弦函数的图像得y＝的定义域为.
(2)要使函数有意义，
则即
cos
x>的解集为
，
x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，
取交集得.
∴原函数的定义域为.
1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值．
2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．
3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝log(2cos
x－)．
【解】 (1)要使函数有意义，则有－cos
x≥0，
∴cos
x≤，可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故所求函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义，则有2cos
x－>0，
∴cos
x>，故所求定义域为
.
余弦函数的单调性及应用
(1)函数y＝1－2cos
x的单调增区间是________；
(2)比较大小cosπ________cos.
【精彩点拨】 (1)y＝1－2cos
x的单调性与y＝－cos
x的单调性相同，与y＝cos
x的单调性相反．
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
【自主解答】 (1)由于y＝cos
x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos
x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)由于cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos，
y＝cos
x在[0，π]上是减少的．
由<知cos>cos，
即cosπ【答案】 (1)[2kπ，2kπ＋π] (2)<
1．形如y＝acos
x＋b(a≠0)函数的单调区间
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos
x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos
x的单调性恰好相反．
2．比较cos
α与cos
β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．
[再练一题]
3．(1)比较大小：cos与cos；
(2)求函数y＝log(cos
2x)的增区间．
【解】 (1)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos.
∵0<<<π，且y＝cos
x在[0，π]上递减，
∴cos即cos(2)由题意得cos
2x>0且y＝cos
2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ∴y＝log(cos
2x)的增区间为，k∈Z.
[探究共研型]
与余弦函数有关的最值问题
探究1 余弦函数在第一象限内是减函数吗？
【提示】 不是．余弦函数y＝cos
x在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos
60°390°.
探究2 求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？
【提示】 首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值．
探究3 对于y＝Acos2x＋Bcos
x＋C型的函数如何求最值？
【提示】 利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．
求下列函数的最值．
(1)y＝－cos2x＋cos
x；
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈.
【精彩点拨】 本题中的函数可以看作是关于cos
x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．
【自主解答】 (1)y＝－2＋.
∵－1≤cos
x≤1，
∴当cos
x＝时，ymax＝.
当cos
x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos
x的最大值为，最小值为－2.
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1
＝32－.
∵x∈，cos
x∈，
从而当cos
x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos
x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.
求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
(1)sin
x，cos
x的有界性；
(2)sin
x，cos
x的单调性；
(3)化为sin
x＝f(x)或cos
x＝f(x)，利用|f(x)|≤1来确定；
(4)通过换元转化为二次函数．
[再练一题]
4．已知函数y＝－cos2x＋acos
x－a－的最大值为1，求a的值.
【导学号：66470018】
【解】 y＝－cos2
x＋acos
x－a－
＝－2＋－－.
∵－1≤cos
x≤1，于是
①当<－1，即a<－2时，当cos
x＝－1时，
ymax＝－a－.
由－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当cos
x＝时，ymax＝－－.
由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋(舍去)；
③当>1，即a>2时，当cos
x＝1时，ymax＝－.
由－＝1，得a＝5.
综上可知，a＝1－或a＝5.
[构建·体系]
1．函数y＝2cos
x－1的最大值、最小值分别是( )
A．2，－2
B．1，－3
C．1，－1
D．2，－1
【解析】 ∵－1≤cos
x≤1，
∴－2≤2cos
x≤2，
∴－3≤2cos
x－1≤1，
∴最大值为1，最小值为－3.
【答案】 B
2．函数y＝sin
x和y＝cos
x都是减少的区间是( )
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】 结合函数y＝sin
x和y＝cos
x的图像知都减少的区间为(k∈Z)．
【答案】 C
3．函数y＝的定义域是________.
【导学号：66470019】
【解析】 由题意知1＋cos
x≠0，即cos
x≠－1，结合函数图像知.
【答案】
4．满足＋2cos
x≥0(x∈R)的x的集合是________．
【解析】 ∵＋2cos
x≥0，
∴cos
x≥－，结合图像(略)知：
－π＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
【答案】
5．画出y＝1－3cos
x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．
【解】 列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－3cos
x
－2
1
4
1
－2
图像如下：
由图像可知，函数y＝1－3cos
x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，减区间为[π，2π]．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①弧度制
②负角
③零角
④y＝cos
x
⑤y＝tan
x
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
(1)点P从点(2,0)出发，沿圆x2＋y2＝4逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________；
(2)函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域为______．
【精彩点拨】 (1)先求∠POQ，再利用三角函数定义求出Q点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．
【规范解答】 (1)设∠POQ＝θ，则θ＝＝，设Q(x，y)，根据三角函数的定义，有x＝2cos
＝，y＝2sin
＝1，即Q点的坐标为(，1)．
(2)要使函数有意义，必须有
即
解得
∴＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z)．
故所求函数的定义域为(k∈Z)．
【答案】 (1)(，1) (2)(k∈Z)
[再练一题]
1．求函数f(x)＝＋的定义域．
【解】 函数f(x)有意义，则
即
如图所示，结合三角函数线知
∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z)．
故f(x)的定义域为(k∈Z)．
三角函数的诱导公式
正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．
2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，±α的诱导公式可归纳为：
k×＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．
已知f(α)＝，
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
【精彩点拨】 直接应用诱导公式求解．
【规范解答】 (1)f(α)＝＝
＝－cos
α.
(2)f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
[再练一题]
2．若sin＝，求＋
.
【解】 因为sin＝，所以cos
θ＝－.所以
＋
＝＋
＝－
＝－＝－＝.
三角函数的图像及变换
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
如图1－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图像．
图1－1
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin
x变换得来的．
【精彩点拨】 (1)先确定A，k，再根据周期求ω，最后确定φ.
(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．
【规范解答】 (1)由图像知，A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin
x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，
得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，
得到y＝sin－1的图像．
[再练一题]
3．若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ>π)在x＝处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式，并说明怎样变换f(x)的图像能得到g(x)＝3sin的图像．
【解】 因为函数f(x)最大值为3，所以A＝3，
又当x＝时函数f(x)取得最大值，所以sin＝1.
因为0<φ<π，故φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin，
将f(x)的图像向右移个单位，即得
g(x)＝3sin＝3sin的图像．
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．
已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时，x的取值集合．
【精彩点拨】 (1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin
x的单调区间求解．
(2)先求x∈时，2x＋的范围，再根据最值求a的值．
(3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值．
【规范解答】 (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ(k∈Z)．
∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ(k∈Z)．
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是.
[再练一题]
4．已知函数f(x)＝sin，(x∈R)
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 (1)∵f(x)＝sin，
∴T＝＝＝π，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)f(x)＝sin在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴函数f(x)在x＝处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．
又f＝0，f＝.
f＝sin＝－cos＝－1.
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
数形结合的思想
所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．
若集合M＝，N＝，求M∩N.
【精彩点拨】 本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M和N，然后求M∩N，或利用单位圆中三角函数线确定集合M，N.
【规范解答】 法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y＝，如图：
结合图像得集合M，N分别为
M＝，N＝，
得M∩N＝.
法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．
如图：
由单位圆三角函数线知：
M＝，N＝，
得M∩N＝.
[再练一题]
5．(1)求满足不等式cos
x<－的角x的集合；
(2)求y＝2sin
x的值域．
【解】 (1)作出函数y＝cos
x在[0,2π]上的图像，如图所示：
由于cos＝cos＝－，故当x<－.由于y＝cos
x的周期为2π，∴适合cos
x<－的角x的集合为.
(2)作出y＝sin
x的简图，如图所示：
由图像可知，
当－≤x≤时，－≤sin
x≤1，
∴－≤2sin
x≤2，
因此函数y＝2sin
x的值域为[－，2].
1．(2015·山东高考)要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin
4x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【解析】 由y＝sin＝sin
4得，只需将y＝sin
4x的图像向右平移个单位即可，故选B.
【答案】 B
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图1－2所示，则f(x)的单调递减区间为( )
图1－2
A．，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 由图像知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
【答案】 D
3．(2015·陕西高考)如图1－3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
图1－3
A．5
B．6
C．8
D．10
【解析】 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
【答案】 C
4．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像．若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．
【解】 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图像关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.§1 周期现象
§2 角的概念的推广
1．了解现实生活中的周期现象．
2.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)
3．掌握终边相同角的含义及表示．(难点)
4．会用集合表示象限角．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 周期现象
阅读教材P3～P4“例3”以上部分，完成下列问题．
1．以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某同学每天上学的时间是周期现象．( )
(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象．( )
(3)潮汐现象是周期现象．( )
【解析】 (1)由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期现象．
(2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的，并且经过一定时间，月球又回到原来的位置，因此，是周期现象．
(3)每一昼夜潮水会涨落两次，是周期现象．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 角的概念
阅读教材P6～P7“例1”以上部分，完成下列问题．
1．角的有关概念
2．角的概念的推广
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角
3.象限角的概念
(1)前提条件
①角的顶点与原点重合．
②角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)结论
角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
(3)各象限角的表示
第一象限：S＝{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S＝{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S＝{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S＝{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．
(4)终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，
k∈Z}．
如图1－2－1所示：
图1－2－1
注意以下几点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的内角必为第一、二象限角．( )
(2)第三象限角一定比钝角大．( )
(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．( )
【解析】 (1)当三角形的一个内角为90°时，就不是第一、二象限角．(2)第三象限角为负角时比钝角小．(3)据终边相同角的含义知，终边不同的角一定不相等．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
周期现象的判断
(1)下列变化中不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．
【自主解答】 (1)由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.
【答案】 D
(2)因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1
920(升)．
1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
[再练一题]
1．如图1－2－2所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．
图1－2－2
【解】 观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．
角的概念
下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180
°的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为________．(把正确结论的序号都写上)
【导学号：66470000】
【精彩点拨】 根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
【自主解答】 ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；
③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．
【答案】 ①
判断角的概念问题的关键与技巧
1．关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
2．技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
[再练一题]
2．(2016·咸阳高一检测)下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
【解析】 终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，因而C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确．
【答案】 B
[探究共研型]
象限角表示
探究1 如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行，为什么？
【提示】
不行．因为始边包括端点(原点)．
探究2 是不是任意角都可以归结为是象限角？为什么？
【提示】 不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
探究3 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．
α终边所在的位置
角α的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
【提示】 x轴正半轴：{α|α＝k·360°，k∈Z}，
x轴负半轴：{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}，
y轴正半轴：{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}，
y轴负半轴：{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．
已知α为第二象限角，问2α，分别为第几象限的角？
【精彩点拨】 由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．
【自主解答】 ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．
同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)．
①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第一象限角；
②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．
此时为第三象限角，
综上可知，为第一或第三象限角．
[再练一题]
3．本例中，是第几象限角？
【解】 ∵α为第二象限角．
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴30°＋·360°<<60°＋·360°(k∈Z)．
①当k＝3n(n∈Z)时，
30°＋n·360°<<60°＋n·360°.
此时，为第一象限角；
②当k＝3n＋1(n∈Z)时，
150°＋n·360°<<180°＋n·360°.
此时，为第二象限角；
③当k＝3n＋2(n∈Z)时，
270°＋n·360°<<300°＋n·360°.
此时，为第四象限角．
综上可知，为第一或第二或第四象限角．
终边相同的角
探究4 在同一坐标系中作出390
°，－330°，30°的角并观察，这三个角终边之间的关系？角的大小关系？
【提示】如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．
探究5 对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
【提示】 所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．
已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
【精彩点拨】 利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z.
【自主解答】 (1)－1
910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k×360°(0°≤α<360°)(k∈Z)的形式，判断角α是第几象限角即可．
[再练一题]
4．在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)360°～720°的角．
【解】 (1)与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°030°<360°，得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
[构建·体系]
1．下列变化是周期现象的是( )
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．某同学每天上学的时间
C．某交通路口每小时通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
【解析】 由周期现象的概念知A为周期现象．
【答案】 A
2．与－265°终边相同的角为( )
A．95°
B．－95°
C．85°
D．－85°
【解析】 因为－265°＝－360°＋95°，所以－265°与95°终边相同．
【答案】 A
3．25°的角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2.5周所得的角是________．
【解析】 由题意，所得的角为25°＋360°×(－2.5)＝－875°.
【答案】 －875°
4．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝________.
【导学号：66470001】
【解析】 由题意知在0～360°内对应的α＝270°，所以所有α组成的集合S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
【答案】 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
【解】 终边在x轴上的角的集合为S1＝{β|β＝n·180°，n∈Z}，终边在y轴上的角的集合为S2＝{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}．
于是终边在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}∪{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}
＝{β|β＝2n·90°，n∈Z}∪{β|β＝(2n＋1)·90°，n∈Z}
＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§9 三角函数的简单应用
1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)
2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
[基础·初探]
教材整理 三角函数模型的应用
阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题．
1．三角函数模型的应用
(1)根据实际问题的图像求出函数解析式．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
2．解答三角函数应用题的一般步骤
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x在第一象限内是增函数．( )
(2)函数y＝3sin
x－1的最大值为3.( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin
x的一条对称轴．( )
(4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.( )
【解析】 (1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝＋kπ(k∈Z)是y＝sin
x的对称轴；(4)T＝＝2.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
三角函数在物理学中的应用
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
【精彩点拨】 (1)求t＝0时所对应的电压．
(2)求函数的周期．(3)求函数的最值．
【自主解答】 (1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．
[再练一题]
1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：
图1－9－1
(1)经过多长时间，小球往复振动一次；
(2)这条曲线的函数解析式；
(3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移．
【解】 (1)由图像可知，周期T＝2×＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π
s.
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为
s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
从图像中可以看出A＝4，又＝π，所以ω＝2.
从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝，s＝4代入上式，
得sin＝1，所以φ＝.
故这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin
＝2(cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是2
cm.
[探究共研型]
三角函数的实际应用
探究1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？
【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．
(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题．
(3)最后将所得结果翻译成实际答案．
探究2 如何建立拟合函数模型？
【提示】 (1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”．
(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型．
(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．
探究3 由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的A和b.
【提示】 A＝，b＝.
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin
ωt＋b的图像．
图1－9－2
(1)试根据以上数据，求函数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
【精彩点拨】 (1)根据题意确定A，b，ω，φ.
(2)根据题意水深y≥11.5可求解．
【自主解答】 (1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12
h，
因此＝12，得ω＝.
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.
∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7
m，船底与海底的距离不少于4.5
m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港．
令y＝3sint＋10≥11.5，得sint≥，
∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
[再练一题]
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图像可近似地看成函数y＝Acos
ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【解】 (1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y＝cost＋1>1，cost>0，
2kπ－即12k－3又0≤t≤24，所以0≤t<3或9所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9[构建·体系]
1．如图1－9－3所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
图1－9－3
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
【解析】 由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5
cm，故选B.
【答案】 B
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
【解析】 ∵T＝＝，∴f＝＝80.
【答案】 C
3．如图1－9－4所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号：66470033】
图1－9－4
【解析】 设函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则由题意得
A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，
∴ω＝＝π.又π×0.1＋φ＝，∴φ＝，
∴解析式为y＝2
sin.
【答案】 y＝2sin
4．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
【解析】 在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又∵0函数图象过点(4，－2)，∴A＝2，
∵函数图象过点(0,1)，∴2sin
φ＝1.
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
【答案】 y＝2sin
5．如图1－9－5，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
图1－9－5
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【解】 (1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)b＝＝40，A×1＋40＝50 A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，
则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，
代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§3 弧度制
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
[基础·初探]
教材整理 弧度制
阅读教材P9～P11，完成下列问题．
1．弧度制的定义
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
2．角度制与弧度制的互化
(1)弧度数
①正角的弧度数是一个正数；
②负角的弧度数是一个负数；
③零角的弧度数是0；
④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．
(2)弧度数的计算
|α|＝.如图1－3－1：
图1－3－1
(3)角度制与弧度制的换算
图1－3－2
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
3.弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝l·r＝|α|r2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.( )
(3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．( )
(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．( )
【解析】 (1)正确．
(2)正确.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.
(3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．
(4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
弧度制与角度制的互化
将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
【精彩点拨】 本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
【自主解答】 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)π＝×180°＝105°.
(4)－π＝－×180°＝－396°.
角度制与弧度制互化的策略
1．原则
牢记180°＝π
rad.充分利用1°＝
rad和1
rad＝进行换算．
2．方法
设一个角的弧度数为α，角度数为n.则α
rad＝α·；n°＝n·
rad.
3．注意事项
(1)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝
rad化为弧度便可．
(2)以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．
[再练一题]
1．将112°30′化为弧度，将－π化为度.
【导学号：66470003】
【解】 112°30′＝112.5°＝112.5×＝rad，又1
rad＝，∴－π
rad＝－π×＝－75°.
用弧度制表示终边相同的角
(1)将－1
500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)在0°～720°范围内，找出与角终边相同的角．
【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即可求解；
(2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k使待求角在[0°，720°)内．
【自主解答】 (1)－1
500°＝－1
500×＝－＝－10π＋.
∵是第四象限角，∴－1
500°是第四象限角．
(2)∵＝×180°＝72°，∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与角终边相同的角为72°，432°.
[再练一题]
2．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
【解】 (1)∵180°＝π
rad，
∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.
故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.
[探究共研型]
扇形的弧长及面积公式
探究1 扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？
【提示】 |α|＝.
探究2 扇形的周长如何计算？
【提示】 扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和．
探究3 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？
【提示】 S＝lr.
如图1－3－3，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角α(0<α<2π)的弧度数．
图1－3－3
【精彩点拨】 S＝lr，l＋2r＝周长→求l，r值→α＝
【自主解答】 设长为l，扇形半径为r，由题意得：
解得或(舍)
故α＝＝(rad)，即扇形的圆心角为
rad.
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[再练一题]
3.(1)已知扇形的半径为1
cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积；
(2)已知扇形的周长为6
cm，面积为2
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
【解】 (1)∵α＝30°＝，∴l＝|α|r＝×1＝(cm)，
S＝|α|r2＝××12＝(cm2)，
故扇形的弧长为
cm，面积为
cm2.
(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得
消去l并整理得，
r2－3r＋2＝0，
解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，圆心角α＝＝＝4；
当r＝2时，l＝2，圆心角α＝＝＝1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
[构建·体系]
1．下列说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
【答案】 D
2．已知α＝－2
，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵1
rad≈57.30°，
∴－2
rad≈－114.60°.
故α的终边在第三象限．
【答案】 C
3．－π
rad化为角度应为________.
【导学号：66470004】
【解析】 －π＝－×180°＝－345°.
【答案】 －345°
4．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________倍．
【解析】 由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
【答案】
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B.
【解】 ∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，
令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4；
令k＝0，有0<α<π；
令k＝－1，有－2π<α<－π，
而－2π<－4<－π，
故A∩B＝{α|－4≤a<－π或0<α<π}．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)
3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点)
[基础·初探]
教材整理 函数y＝A
sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像
阅读教材P43～P52“思考交流”以上部分，完成下列问题．
1．参数A，φ，ω，b的作用
参数
作用
A，b
A和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]
φ
φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相
ω
ω决定了函数的周期，其计算方式为T＝，周期的倒数f＝＝为频率
2.平移变换
(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
(2)上下平移：对于函数y＝sin
x＋b的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
3．伸缩变换
(1)振幅变换：对于函数y＝Asin
x(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
(2)周期变换：对于函数y＝sin
ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A的大小决定了函数的振幅．( )
(2)ω的大小与函数的周期有关．( )
(3)φ的大小决定了函数与y＝sin
x的相对位置．( )
(4)b的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( )
【解析】 由A，ω，φ，b的几何意义知全对．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
[小组合作型]
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像
作出函数y＝2
sin在一个周期内的图像．
【精彩点拨】 列表时用整体代换的思想，把ωx＋φ看作一个整体，再用五点列表．
【自主解答】 用“五点法”作图．列表：
x
－
π
＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定x的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表．
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
[再练一题]
1．用五点法作出函数y＝2sin＋3的图像，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值．
【解】 ①列表.
x
x－
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点作图，如图所示．
把上的图像向左、向右扩展，即得到y的简图．
周期T＝2π，频率f＝＝，相位x－，初相－，最大值5，最小值1.
三角函数的图像变换
写出由y＝sin
x的图像变化到y＝3sin的图像的不同方法步骤.
【导学号：66470026】
【精彩点拨】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
【自主解答】 法一：先平移再伸缩，过程如下：
①把y＝sin
x的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像；②把y＝sin
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin
的图像；③将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图像；②把y＝sin
x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；③把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
由y＝sin
x的图像，通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移个单位．不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
[再练一题]
2．函数y＝3sin的图像是由y＝sin
x的图像如何变换得到的？
【解】 y＝3sin的图像可用下面的方法得到：
[探究共研型]
探究1 怎样求三角函数的周期和初相？
【提示】 三角函数周期可利用公式T＝，初相的求解可通过曲线所过的定点代入函数解析式，通过运算求得．
探究2 怎样求振幅？
【提示】 图像最高点(或最低点)处的纵坐标的绝对值即为振幅的值．
探究3 根据图像怎样求周期？
【提示】 相邻最高点(或最低点)处的横坐标之差的绝对值即为周期的一半，或用一个周期为端点横坐标的差的绝对值．
如图1－8－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，求函数的解析式．
图1－8－1
【精彩点拨】 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图像过的特殊点确定φ.
【自主解答】 法一：根据题意，A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，将点M代入y＝3sin(2x＋φ)中，
3＝3sin，
∴sin＝1，
∴＋φ＝，即φ＝，
从而所求函数解析式为y＝3sin.
法二：由图像知A＝3，又图像过M，N，根据五点作图法的原理(M，N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有解得从而所求函数解析式是y＝3sin.
由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b：
(1)A：一般由图像上的最大值m、最小值n来确定A＝.
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来确定．
(3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图像第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)b：设函数的最大值为m，最小值为n，则b＝.
[再练一题]
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如图1－8－2所示，则f(0)的值是________．
图1－8－2
【解析】 由题图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.
又函数图像经过点，
所以2×＋φ＝π，则φ＝.
故函数的解析式为f(x)＝sin，
所以f(0)＝sin
＝.
【答案】
[构建·体系]
1．函数y＝2sin＋1的最小正周期为( )
A．
B．π
C．2π
D．4π
【解析】 最小正周期为T＝＝π.
【答案】 B
2．最大值是，周期是6π，初相是的三角函数的表达式可能是( )
【导学号：66470027】
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
【解析】 设函数的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题意知A＝，＝6π，
ω＝，ωx＋φ＝x＋φ＝，φ＝.
【答案】 A
3．把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍，得________的图像．
【解析】
【答案】 y＝sin
3x
4．将y＝sin
2x的图像向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为________．
【解析】 y＝sin
2xy＝sin＝sin.
【答案】 y＝sin
5．请用“五点法”作出函数y＝2
sin－1在长度为1个周期的闭区间上的简图．
【解】 列表：
x
－
＋
0
π
2π
y＝2sin－1
－1
1
－1
－3
－1
描点作图如下：
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)
2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)
[基础·初探]
教材整理 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
阅读教材P53～P55“练习3”以上部分，完成下列问题．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin，x∈R的值域为.( )
(2)函数y＝2sin的周期为4π.( )
(3)函数y＝6sin，x∈R的一个对称中心为.( )
(4)函数y＝3sin，x∈R的一条对称轴为x＝.( )
【解析】 由y＝Asin(ωx＋φ)的性质，故(1)(3)(4)均正确．(2)中，T＝＝6π，因而(2)错．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
求函数y＝sin，x∈的值域．
【精彩点拨】 将2x＋看作整体u，利用y＝sin
u的图像可求．
【自主解答】 ∵0≤x≤，
∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤，∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin
u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
[再练一题]
1．已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，求a的值.
【导学号：66470030】
【解】 因为－≤x≤－.
所以－≤2x≤－，
即－≤2x＋≤.
结合函数图像知f(x)max＝a＋1，
所以a＋1＝2，即a＝2.
y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间
设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图像．
【精彩点拨】 由已知条件、结合图像，易求得φ，然后视2x＋φ为一个整体，求出单调区间．
【自主解答】 (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵－π<φ<0，
∴φ＝－.
(2)由(1)知，φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)根据y＝sin，列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示：
1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin
x的单调区间，求得函数的单调区间．
[再练一题]
2．求函数y＝sin的单调区间．
【解】 ∵y＝sin＝－sin，
∴原函数的单调区间与y＝sin的单调区间相反．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
即原函数的单调减区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得原函数的单调增区间为(k∈Z)．
即函数y＝sin的单调减区间是(k∈Z)，
单调增区间是(k∈Z)．
[探究共研型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
探究1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
【提示】 对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．
探究2 y＝sin是偶函数吗？
【提示】 是．因为sin＝cos
ωx.所以y＝sin是偶函数．
探究3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么？
【提示】 意味着图像过点(x0,0)，即点的坐标适合函数解析式．
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
【精彩点拨】 根据对称轴，对称中心的特征建立方程求解．
【自主解答】 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin
φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2，
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
1．应用范围
函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面都有体现和考查．
2．解决的方法
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sin
u的一系列性质顺利解决．
[再练一题]
3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过(0，)，求函数的解析式及单调区间．
【解】 ∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，
∴A＝2，＝3π，∴＝6π，∴ω＝，
∴y＝2sin.
又∵函数图像过点(0，)，0<φ<，
∴2sin
φ＝，∴φ＝，
∴函数解析式为y＝2sin.
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
得－π＋6kπ≤x≤π＋6kπ(k∈Z)，
所以单调增区间为(k∈Z)．
由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得
π＋6kπ≤x≤π＋6kπ(k∈Z)，
所以单调减区间为(k∈Z)．
[构建·体系]
1．函数y＝2sin＋2的最大值为( )
A．2
B．4
C．3
D．5
【解析】 由于x∈R，∴－1≤sin≤1，∴y≤2＋2＝4.
【答案】 B
2．函数f(x)＝sin的图像的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
【解析】 由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋π(k∈Z)，
令k＝－1，得x＝－.
【答案】 C
3．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.
【解析】 由题意知T＝2×＝π，所以ω＝＝2.
【答案】 2
4．y＝2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________.
【导学号：66470031】
【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即·＝.
【答案】
5．求函数y＝2sin的单调减区间．
【解】 y＝2sin＝－2sin，所以其单调减区间为y＝2sin的增区间，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
所以函数y＝2sin的单调减区间为(k∈Z)．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§5 正弦函数的图像与性质
5.1 正弦函数的图像
5.2 正弦函数的性质
1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)
2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)
3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像
阅读教材P25～P27“例1”以上部分，完成下列问题．
在函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
描出这五个点后，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.
图1－5－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( )
(2)函数y＝sin
x的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．( )
(3)函数y＝sin
x的图像关于x轴对称．( )
(4)函数y＝sin
x的图像与y轴只有一个交点．( )
【解析】 由函数y＝sin
x的图像可知，y＝sin
x的图像不关于x轴对称，与y轴只有一个交点，且图像介于直线y＝－1和y＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 正弦函数的性质
阅读教材P28～P29“例2”以上部分，完成下列问题．
性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值与最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的
奇偶性
奇函数
对称性
图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋，k∈Z
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin
x的定义域为R.( )
(2)正弦函数y＝sin
x是单调增函数．( )
(3)正弦函数y＝sin
x是周期函数．( )
(4)正弦函数y＝sin
x的最大值为1，最小值是－1.( )
【解析】 由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在(k∈Z)上是单调增函数，在R上不具有单调性．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
五点法作图
用“五点法”画出函数y＝3－sin
x(x∈[0,2π])的图像．
【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成：
列表―→描点―→连线成图
【自主解答】 (1)列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin
x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin
x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示：
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，再作出图像．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．
[再练一题]
1．作出函数y＝－1＋2sin
x，x∈[0,2π]的简图．
【解】 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
－1＋2sin
x
－1
1
－1
－3
－1
利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：
与正弦函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝.
【精彩点拨】 先根据条件，求出sin
x的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．
【自主解答】 (1)为使函数有意义，需满足1－2sin2x≥0，
即sin2
x≤，
解得－≤sin
x≤，
结合单位圆可知，－＋2kπ≤x≤＋2kπ或＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为
∪(k∈Z)．
(2)为使函数有意义，需满足
即正弦函数和单位圆如图所示：
∴定义域为∪
.
1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
[再练一题]
2．求函数y＝的定义域.
【导学号：66470014】
【解】 要使函数有意义，只需2
sin
x＋≥0.
即sin
x≥－，如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤.
所以该函数的定义域是(k∈Z)．
正弦函数的周期性与奇偶性
求下列函数的周期，并判断其奇偶性．
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin
x|(x∈R)．
【精彩点拨】 (1)利用代换z＝2x＋，将求原来函数的周期转化为求y＝sin
z的周期求解，或利用公式求解．
(2)作出函数图像观察求解．
【自主解答】 (1)法一：令z＝2x＋，
∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin
z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin
z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π.
法二：f(x)＝sin中，ω＝2，
∴T＝＝π.
又sin≠sin，
且sin≠－sin，
∴y＝sin是非奇非偶函数．
(2)作出y＝|sin
x|的图像如图：
由图像可知，y＝|sin
x|的周期为π.
其图像关于y轴对称，∴y＝|sin
x|是偶函数．
1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据．
2．常见三角函数周期的求法
(1)对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T＝来求解；
(2)对于形如y＝|Asin
ωx|的周期情况，常结合图像法来解决．
[再练一题]
3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．
(1)f(x)＝2sin；
(2)f(x)＝|sin
2x|.
【解】 (1)在f(x)＝2sin中，
∵ω＝，∴T＝＝4π.
又f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，
∴f(x)＝2sin是非奇非偶函数．
(2)作出f(x)＝|sin
2x|的图像如图：
由图知，y＝|sin
2x|的周期为，又其图像关于y轴对称，因而是偶函数．
正弦函数的单调性
(1)比较下列各组三角函数值的大小．
①sin
与sin；
②sin
1，sin
2，sin
3，sin
4(由大到小排列)．
(2)求函数y＝sin的单调递增区间．
【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y＝sin
x的单调性比较大小．
(2)将视为z，利用y＝sin
z的单调性求解．
【自主解答】 (1)①sin＝－sin，
sin＝－sin，sin>sin，
所以sin②因为sin
2＝sin(π－2)，sin
3＝sin(π－3)，
且0<π－3<π－2<.
函数y＝sin
x在上是增加的，所以sin(π－2)>sin
1>sin(π－3)>0，即sin
2>sin
1>sin
3>sin
4.
(2)y＝sin＝－sin.
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，得
2kπ＋π≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
所以原函数的单调递增区间为，k∈Z.
1．比较sin
α与sin
β的大小时，可利用诱导公式，把sin
α与sin
β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
2．比较sin
α与cos
β的大小，常把cos
β转化为sin后，再依据单调性进行比较．
3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．
4．在求形如y＝A
sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A
sin
z的单调区间求原函数的单调区间．
[再练一题]
4．比较sinπ与sin的大小．
【解】 ∵sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin.
∵0<<<.又y＝sin
x在上单调递增．
∴sin[探究共研型]
与正弦函数有关的值域问题
探究1 求函数值域时首先应注意什么？
【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域．
探究2 对于y＝A
sin2x＋Bsin
x＋C型的函数怎样求值域？
【提示】 利用换元法转化为二次函数求最值．
求下列函数的值域．
(1)y＝3－2
sin
x；
(2)y＝－sin2x＋sin
x＋.
【精彩点拨】 (1)利用|sin
x|≤1即可求解．
(2)配方求解，要注意|sin
x|≤1这一情况．
【自主解答】 (1)∵－1≤sin
x≤1，
∴－1≤－sin
x≤1，
1≤3－2
sin
x≤5，
∴函数y＝3－2
sin
x的值域为[1,5]．
(2)令t＝sin
x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋＝－2＋2，
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin
x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z.
当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin
x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝－sin2x＋
sin
x＋的值域为.
此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t＝sin
x)的值域恰好是外函数的定义域．
[再练一题]
5．求函数y＝sin2x－4
sin
x－1的值域．
【解】 y＝sin2x－4
sin
x－1
＝(sin
x－2)2－5.
由－1≤sin
x≤1，得当sin
x＝－1时函数的最大值为4，当sin
x＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4]
.
[构建·体系]
1．正弦函数y＝sin
x，x∈R的图像上的一条对称轴是( )
【导学号：66470015】
A．y轴
B．x轴
C．直线x＝
D．直线x＝π
【解析】结合函数y＝sin
x，x∈R的图像可知直线x＝是函数的一条对称轴．
【答案】 C
2．函数f(x)＝3＋sin
x的最小正周期是( )
A．
B．π
C．
D．2π
【解析】 由3＋sin(2π＋x)＝3＋sin
x知f(x)的最小正周期为2π.
【答案】 D
3．f(x)＝－2
sin
x在上的最大值为________．
【解析】 f(x)＝－2
sin
x在上是减少的，所以f(x)max＝－2·sin＝－.
【答案】 －
4．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．
【解析】 f(－x)＝[sin(－x)]2＋1＝sin2x＋1＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
【答案】 偶函数
5．比较下列各组数的大小．
(1)sin
2
016°和cos
160°；
(2)sin和cos.
【解】 (1)sin
2
016°＝sin(360°×5＋216°)
＝sin
216°＝sin(180°＋36°)＝－sin
36°，
cos
160°＝cos(180°－20°)＝－cos
20°＝－sin
70°.
∵sin
36°70°，
∴－sin
36°>－sin
70°，
即sin
2
016°>cos
160°.
(2)cos＝sin，
又<<＋<，
y＝sin
x在上是减少的，
∴sin>sin＝cos，
即sin>cos.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________4.3 单位圆与正弦函数、
余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．
2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
3．掌握诱导公式及其应用．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质
阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．
正弦函数、余弦函数的基本性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
基本性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最大(小)值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1
基本性质
周期性
周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π
单调性
在区间(k∈Z)上是增加的，在区间(k∈Z)上是减少的
在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin
x在[－π，π]上是增加的．( )
(2)y＝sin
x在上的最大值为1.( )
(3)y＝cos
x在上的最小值为－1.( )
【解析】 (1)y＝sin
x在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．
(2)y＝sin
x在上是增加的，在上是减少的，y
max＝sin＝1，故(2)正确．
(3)y＝cos
x在上是减少的，故y
min＝cos
＝0，故(3)错误．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导
阅读教材P19～P21，完成下列问题．
1．诱导公式(－α，π±α)的推导
(1)在直角坐标系中
α与－α角的终边关于x轴对称；
α与π＋α的终边关于原点对称；
α与π－α的终边关于y轴对称．
(2)公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；
sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；
sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.
2．诱导公式的推导
(1)－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．
(2)公式
sin＝cos_α，cos＝sin_α
用－α代替α↓并用前面公式
sin＝cos_α，cos＝－sin
α
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(2π－α)＝cos
α.( )
(2)sin(2π－α)＝sin
α.( )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )
【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos
α.
(2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin
α.
(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
正弦、余弦函数的性质
求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．
(1)y＝sin
x，x∈；
(1)y＝cos
x，x∈.
【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．
【自主解答】 (1)由图①可知，y＝sin
x在上是增加的，在上是减少的．且当x＝时，y＝sin
x取最大值1，当x＝－时，y＝sin
x取最小值－.
①
(2)由图②可知，y＝cos
x在[－π，0]上是增加的，在上是减少的．且当x＝－π时取最小值－1，当x＝0时，取最大值1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法
第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；
第二步：作出角的终边与单位圆的交点P(cos
x，sin
x)；
第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；
第四步：得出结论．
[再练一题]
1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
【导学号：66470010】
(1)y＝－sin
x，x∈；(2)y＝cos
x，x∈[－π，π]．
【解】 (1)y＝－sin
x，x∈的单调递减区间为，单调递增区间为.
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝0，故函数y＝－sin
x的值域为.
(2)y＝cos
x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当x＝0时，ymax＝1；当x＝－π或π时，ymin＝－1，故函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1]．
给角求值
求下列三角函数值．
(1)sin·cos·sin；
(2)sin.
【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解．
【自主解答】 (1)sin·cos·sin
＝sin·cos·sin
＝－sin·cos·
＝··
＝·＝.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin＝.
利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：
可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．
[再练一题]
2．求下列各式的值．
(1)sin
495°·cos(－675°)；
(2)sin·cos(n∈Z)．
【解】 (1)sin
495°·cos(－675°)
＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°)
＝sin
135°·cos
315°
＝sin(180°－45°)cos(360°－45°)
＝sin
45°·cos
45°＝×＝.
(2)当n为奇数时，
原式＝sin
π·＝sin·
＝sin
·cos
＝×＝；
当n为偶数时，
原式＝sin
πcos
π＝sin·cos
＝sin
·＝×＝－.
给值求值
已知cos＝，求cos·sin.
【精彩点拨】 解答本题要注意到＋＝π，－α＝π－，＋＝等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．
【自主解答】 ∵＋＝，
∴sin＝sin
＝cos＝.
∴sin＝sin
＝sin＝.
∵＋＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
∴cossin＝－×＝－.
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
[再练一题]
3．已知sin＝，求cos的值．
【解】 ∵π－α＝3π＋，
∴cos＝cos
＝－cos.
又∵＋＝，
∴cos＝－cos
＝－sin＝－.
[探究共研型]
三角函数式的化简
探究1 三角函数式本着怎样的思路化简？
【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．
探究2 怎样处理含有kπ±α的角？
【提示】 含有kπ±α形式的角的三角函数化简时，需对k分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．
化简下列各式．
(1)；
(2)cos＋cos(n∈Z)．
【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简．
(2)对n是奇数或偶数进行讨论．
【自主解答】 (1)原式＝＝－1.
(2)∵＋＝2nπ，
∴原式＝cos＋cos
＝2cos＝2cos.
①当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式
＝2cos＝－2cos；
②当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝2
cos
＝2
cos.
故原式＝
三角函数的化简，尽量化为2kπ±α的形式，否则：
(1)形如kπ±α时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；
(2)形如π±α时，应分k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)三种情形讨论．
[再练一题]
4．化简：cos＋cos，其中k∈Z.
【解】 cos＋cos＝cos＋cos.
①当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos
＝－2cos；
②当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝2cos.
综上可知，原式＝
[构建·体系]
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( )
A．sin＝－cos
α
B．sin(π－α)＝－sin
α
C．cos(π＋α)＝cos
α
D．cos(－α)＝cos
α
【解析】 由诱导公式知D正确．
【答案】 D
2．cos的值是( )
【导学号：66470011】
A．－
B．
C.
D．－
【解析】 cos＝－cos＝－cos＝－.
【答案】 D
3．y＝sin
x，x∈的单调增区间为________，单调减区间为_______．
【解析】 在单位圆中，当x由－π到时，sin
x由0减小到－1，再由－1增大到.所以它的单调增区间为，单调减区间为.
【答案】
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin＝________.
【解析】 cos(π＋α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝.
又sin＝cos
α＝.
【答案】
5．计算：sin·cos·sin.
【解】 原式＝sin·cos·sin
＝sin·cos·sin
＝sin··
＝··
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§4 正弦函数和余弦函数的定义与
诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)
2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)
3.理解周期函数的定义．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正、余弦函数
阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．
任意角的正弦、余弦函数的定义
(1)单位圆的定义
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
(2)如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
图1－4－1
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
通常表示法
y＝sin
x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
y＝cos
x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
在各象限的符号
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )
(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．( )
(3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关．( )
(4)若sin
α<0，则α为第三或第四象限角．( )
【解析】 根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin
30°就无法进行运算，改用弧度制时，＋sin就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin
α<0，α的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 周期函数
阅读教材P16～P17练习以上部分，完成下列问题．
1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(x＋k·2π)＝sin_x(k∈Z)．
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即
cos(x＋k·2π)＝cos_x(k∈Z)．
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期．( )
(2)f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2为周期函数．( )
(3)对正弦函数f(x)＝sin
x有f＝f，所以是f(x)的周期．( )
【解析】 (1)错误．k∈Z且k≠0时，2kπ是正弦、余弦函数的周期．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．f≠f(π)不满足任意性．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin
θ，cos
θ.
【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin
θ，cos
θ.
【自主解答】 当a>0时，r＝＝a，得sin
θ＝＝，cos
θ＝＝.
当a<0时，r＝＝－a，得sin
θ＝＝
－，cos
θ＝＝－.
利用三角函数的定义求值的策略
1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．
2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．
[再练一题]
1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.
【导学号：66470006】
【解】 设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，
则r＝＝|a|.
当a>0时，sin
θ＝＝＝，
cos
θ＝＝＝.
当a<0时，sin
θ＝＝－＝－，
cos
θ＝＝＝－.
三角函数值的符号判断
(1)判断符号：sin
340°·cos
265°；
(2)若sin
2α>0，且cos
α<0，试确定α所在的象限．
【精彩点拨】 (1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．
【自主解答】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，
∴sin
340°·cos
265°>0.
(2)∵sin
2α>0，
∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；
当k为奇数时，设k＝(2m＋1)(m∈Z)，有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴α为第一或第三象限角．
又由cos
α<0，可知α为第三象限角．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin
α>0；当角α的终边在y轴的右侧时，cos
α>0.
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ[再练一题]
2．(1)判断的符号；
(2)若sin
α>0，cos
α<0，判断角α所在象限．
【解】 (1)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin
2>0，cos
3<0，sin
4<0，cos
6>0，
∴>0.
(2)∵sin
α>0，∴α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上．
∵cos
α<0，∴α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上．
故当sin
α>0且cos
α<0时，α在第二象限．
[探究共研型]
利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？
【提示】 相等．
探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？
【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．
探究3 公式sin(2kπ＋x)＝sin
x，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cos
x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
【提示】 (1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．
求下列各角的三角函数值．
(1)sin；(2)cos
1
500°；
(3)sin
π；(4)cos
π.
【精彩点拨】 当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．
【自主解答】 (1)sin＝sin＝
sin
＝.
(2)cos
1
500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
(3)sin
π＝sin＝sin
＝.
(4)cos
π＝cos＝cos
＝.
1．利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．
2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．
3.
正弦
1
余弦
0
－
－
－
[再练一题]
3．求下列三角函数值．
(1)cos(－1
050°)；
(2)sin；
(3)log2(4
sin
1
110°)．
【解】 (1)∵－1
050°＝－3×360°＋30°，
∴－1
050°的角与30°的角终边相同．
∴cos(－1
050)°＝cos
30°＝.
(2)∵－＝－4×2π＋，
∴角－与角的终边相同．
∴sin＝sin＝.
(3)∵sin
1
110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin
30°＝，
∴log2(4sin
1
110°)＝log2＝log22＝1.
[构建·体系]
1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sin
α等于( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 ∵r＝＝5，∴sin
α＝.
【答案】 C
2．cos的值为( )
A．－
B．－
C．
D．
【解析】 cos＝cos＝cos＝.
【答案】 D
3．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.
【导学号：66470007】
【解析】 f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
【答案】 1
4．使得lg(cos
α·tan
α)有意义的角α是第________象限角．
【解析】 要使原式有意义，必须cos
α·tan
α>0，即需cos
α·tan
α同号，所以α是第一或第二象限角．
【答案】 一或二
5．求下列各式的值．
(1)sin
1
470°；(2)cos
.
【解】 (1)sin
1
470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin
30°＝.
(2)cos
＝cos＝cos
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________