初中数学苏科版八下 含复合二次根式的代数式的化简问题 教学案（含答案）

含复合二次根式的代数式的化简问题
对于含复合二次根式的代数式的化简，除了熟悉基本公式外，还应根据含复合二次根式的代数式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，才能化难为易，化繁为简.本文介绍几种常用方法，供读者参考.
一、公式法
复合二次根式的变形公式是
①
其中，，.
由公式①可知，
.
这是化简含复合二次根式的代数式的两个基本公式.
例1
(2013年全国初中数学联合竞赛)计算(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解由公式①，知
;
.
∴原式,
故选B.
例2
(2016年全国初中数学联合竞赛四川初赛)化简的值为
.
解
由公式②知，
原式.
点评
当两个复合二次根式的被开方数分别为，
(，，)时，利用公式②化简较为简洁.
说明
本题还可变形为，
由公式②，知
.
例3
(第19届希望杯全国数学邀请赛初二第2试)当时，化简代数式:
解
注意到，由公式②知，
原式
.
点评
利用公式②解决问题的关键是将复合二次根式中被开方数“凑”成，的形式，然后直接利用公式计算.
二、配方法
例3
(第20届希望杯全国数学邀请赛初二第1试)计算，结果等于(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
,
,
,
故选B.
说明
对于例2，也可用配方法化简.
.
点评
在复合二次根式中，如果存在正数、，使得，，则，从而达到化简复合二次根式的目的.
三、平方法
例4
(第20届希望杯全国数学邀请赛初二第2试)将的整数部分记为，的小数
部分记为，易知.若，那么等
于(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
说明本题可利用公式②化简.
.下略.
因此，公式②是化简这类代数式的通法.
解
由，知
.
注意到，所以，所以.故选A.
点评
平方法是一种重要的解题方法.对于被开方数为和差型的复合二次根式之和或差，常以退为进，先求出它的平方，再开平方即可.
四、和差代换法
例5
(第24届希望杯全国数学邀请赛初三第2试)的值为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
令，
则，
从而可知，
，
,
故选A.
说明
本题可利用公式②化简.
.
点评
和差代换在解题中有着广泛的应用，对于实数，，，如果它们满，则可设、.对含复合二次根的代数式，当含有或隐含着上述条件时，利用和差代换法化简，往往能减少运算量，简化解题过程，从而提高解题速度.
五、待定系数法
例6
(第23届希望杯全国数学邀请赛初二第2试)化简:(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
设
则,
，.
由，知,
.
同理可知，.
,
故选B.
说明
本题可利用公式②化简.
点评
待定系数法是一种非常重要的解题方法.将一个代数式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出待定系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数.利用待定系数法解决问题，充分体现了方程思想在解题中的应用.
六、换元法
对于例6，也可利用换元法化简
∵,
故令，,
.
.
注意到，所以
即.
点评
换元法是一种非常重要的解题方法.在解决一些复杂的代数式问题时，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化.在减少代数式的项数，降低代数式的结构复杂程度等方面有独特作用.
对于某些含有复合二次根式的代数式的化简，需要综合运用多种方法灵活处理.