初中数学苏科版八下 利用等角解决旋转和轴对称问题 教学案（含答案）

利用等角解决旋转和轴对称问题
几何问题中常常出现隐含条件，有时可以从旋转、对称这些现象中发现其隐含的条件
，如“相等的角”，由此便能很快地解决问下面举例说明之.
一、旋转
例1
如图1，将矩形绕点顺时针旋转至矩形，点正好落在上的点处，连结.
(1)求证:
;
(2)如图2，连交于,点为的中点，连、，试探究与的数量关系，并证明你的结论;
(3)若，直接写出的长.
分析(1)
观察题目条件，发现隐含的相等的角是，这就找到了解决本题的钥匙.
因，得.
又，得.
在图1中作等腰底边上高，用互余角关系就能证之.
(2)也是从这个条件考虑构造全等三角形.
如图2，过点作于,连,
易得.
再证，得出为的中点，所以.
而矩形对角线相等，故有.
(3)因，在Rt中得，则.
在Rt中得，
则.
例2
如图3，正方形绕点逆时针旋转到正方形，且经过点，连与交于.
(1)求证:
为的中点;
(2)若，求正方形的边长.
分析(1)
点落在对角线上，图中有较多的45角，且点也落在对角线上，可得到，
有';
,
有，
从而得是的中点.，
(2)由于题中有较多的22.
5和45的角,
所以过点作交于
(如图4),则是等腰直角三角形，是底角为22.
5的等腰三角形，则，.
设，得,
则.
再过点作斜边上高;
则,
用勾股定理，得.
二、轴对称
例3
如图5，现有边长为4的正方形纸片，点为正方形边上一点(不与
点点重合).将正方形纸片折叠，使点落在上点处，点落在点处，交于点，拆痕为，连结.
(1)若，求的度数.
(2)当点在边上移动时，的周长是否变化 并证明你的结论.
分析(1)
由对折得
,
则.
(2)由,可作出如下分析:
如图6，过点作于，易证,
从而证明,
得出的周长不变，且等于正方形边长的2倍.