初中数学苏科版八下 数塔中的方程问题 教学案（含答案）

数塔中的方程问题
下面结合一道“数塔”问题，构造一元二次方程探究第几行的数字是一个已知数，对此问题进行分析、探究并进行一些拓展，供参考.
例1
把数字按照如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、25
、…，则在中间这列数中，第
行的数是761，写出推理过程.
解
观察数字组成的塔形排列，易于发现仅仅在奇数行，中间是一个数字，位于矩形围出的范围内，数字1、5、13、25、…都是奇数，如果每个数字都减去1，得出数字是:0,4,12,24,…，分别除以2得出数字0,2,6,12
,…，则变为:0,1×2,2×3,3×4,…，因此下一个数字应当1
+2×4×5
=41，验证如下:左起29到36，右起37到45，猜想成立，因此奇数行第行中间数字是，令，即是，解得:=
20或者是(应舍去)，只取，即是在中间这列数中，第20行的数字是761.
例2
观察下列数塔，写出第行中间的数字规律.确定第几行中间的数字是1261？
解
观察数字1、3、7、13、21、31、43、…，上面数字都减去1，得出数字0,2,6,12,20,30,42,…分别是数字0×1、1×2、2×3、3×4、4×5、5×6、6×7,…，因此第行中间数字是.
令，即是，解得：或者是(应舍去)，只取，即是在中间这列数中，第36行的数字是1261.
例3
观察下列数塔，写出第行中间的数字规律.确定第几行中间的数字是211
解
观察数字1、4、11、22、37、…，上面数字都减去1，得出数字0、3、10、21、36、…，分别可以写成0,1×3,2×5,3×7,4×9，…可以发现第行中间的数字规律是.令，
即是，解得或者是(应舍去)，只取，即是在中间这列数中，第11行的数字是211.
例4
观察下列数塔，写出第行中间的数字规律.确定第几行中间的数字是1221.
解
观察数字1、5、15、31、53、…，上面数字都减去1,
得出数字0、4、14、30、52、…，分别可以写成0,1×4,2×7,
3×10,4×13,
…，可以发现第行中间的数字规律是.令即是，解得或者是(应舍去)，只取，即是在中间这列数中，第21行的数字是1221.一般规律:从1开始的连续正整数构成的“数塔”，中间数字具有下面的规律:①如果第一行是数字1，从第二行开始，下面一行比上面相连一行多个数字(是正整数)，则第行中间数字是;判断第几行中间的数字是形如的数字(、都是正整数)，只需解关于的一元二次方程，得出正整数解即可(如果没有正整数解，则此种情况不存在).特别地，当时，方程
的正整数解是.另一个解是（为负数，需舍去）;只取.②如果第一行是数字1，从第二行开始，下面一行比上面相连一行多个数字(是正整数)，则第行中间数字是;判断第几行中间的数字是形如的数字(、都是正整数)，只需解关于的一元二次方程
得出正整数解即可(如果没有正整数解，则此种情况不存在).特别地，当时，方程的正整数解是.另一个解是，即
(为负数，需舍去).只取.
举例:如当时，把1
,2,3,4分别代入得出第1行中间数字是1，第2行中间数字是:1+2×1×6=13，第3行中间数字是:1+2×2×11=45，第4行中间数字是:1+2×3×(5×3+1)=
97.
验证如下:第3行与第4行中间一排数字是56到81的26个数字，第4行是从82到112的31个数字，中间数字是(82+112)
÷2
=97，…，推测第几行中间数字是1021，即可解
方程:，得出或者是
(舍去)，即是第11行中间数字是1021.