初中数学苏科版八下 四边形四边关系问题探析 教学案（含答案）

四边形四边关系问题探析
由于受到思维定势的影响，许多同学一看到求多边形边长的取值范围的问题时，就想到用三角形的两边之和大于第三边，或三角形的两边之差小于第三边.其实对于某些问题来说，用“两点之间，线段最短”更为直接简单.
一、问题的提出
问题1
在一个四边形中，已知其中三边长为3、5、12，则第四边的长度的取值范围是
.
分析
本题可以将问题进行如下的转化，如图1，在四边形中，已知，，，求第四边的长度的取值范围.
解答
连结，设，根据三角形的任意两边之和大于第三边，得
,
.
只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如图1所示的四边形.
.
解得.
笔者认为以上解法缺少理论依据.于是本人对本题进行了研究，提出如下方法求解.
另解
如图2，连结，设，在中，根据三角形的任意两边之和大于第三边.得
.
而在中，有
.
只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如图1所示的四边形.
.
解得.
但是，笔者想到一个反例，将四边形的边长进行了适当调整，得到一个不同的结果.
如图3，在四边形，已知，，，求第四边的长度的取值范围.
连结，设，在中，根据三角形的任意两边之和大于第三边，得
.
而在中，有
.
只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如图3所示的四边形.
.
解得.
由此可见，上面的解法不正确.
为了得到本题的正确解答过程，笔者采用了追本溯源的策略，找到三角形两边之和大于第三边的理论依据，即两点之间的所有连线中，线段最短.为此笔者做了如下解答:
解法1,
即.
解得(如图4).
在解上面的不等式组时，我们发现下面的一个重要的结论:不在同一条直线上的四条线段满足较小的三条线段之和大于最长的线段，那么由这四条线段可以构成四边形.
解法2
由于不知道最大边是或是，故有
,
即.
解得(如图4).
二、对结论的拓展
类比三角形的三边关系和四边形的四边关系，我们得到下面两条结论:不在同一条直线上的条线段满足较小的条线段之和大于最长的线段，那么由这条线段可以构成边形.
问题2
在一个边形中，已知条边长为、、…
()，则第边的长度的取值范围是
.
解
由于不知道最大边是，或是.
,
解得:
(如图5).
三、解题体会
1、数学定理、公式等的附加约束条件越多，其适应范围就越窄;反之，数学定理、公式等的附加约束条件越少，其适应范围就越宽.
2、得到一个结论或一种方法，不论有多少个是正确的，只要有一个反例，那么这个结论就是错误的.
3、对问题的理解越深，解决问题的方法越简单.