初中数学苏科版八下 一道反比例函数试题的三种证明方法 教学案（含答案）

对比解法
反思教学
本文用三种方法证明一道反比例函数中考题.这三种方法的思维起点不同，我们可以从解题思路的形成过程中，对比各种方法的优劣，以提高解题能力.
一、问题
(2016年淄博中考题)反比例函数(，为常数)和在第一象限内的图象如图1所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①
②四边形的面积不变;、
③当点是的中点时，则点是的中点.
其中正确结论的个数是(
)
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
二、解法
分析1
①②解答易，略.
③如图1，要证明点是的中点，因为是的中点，若，有
，则
点是的中点成立.
由于点、在同一反比例函数图象上，可联想到图2所示的，这两个三角形面积相等如何联系到？于是想到图3中，当时，有.
至此，图1中，将积转化成、两线中间的三角形，就成为求解的关健.根据两条平行线之间同底的三角形面积相等，由，，这样就把等积转化成.
同理，由，，把等积转化成
则与就是我们要寻找的三角形.
又，∴
再由图3基本图形的结论可以得到.
证明1
连结、、、
∵点、在同一反比例函数上，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵是的中点
∴是的中点
分析，③由题意可知，若成立，当点是的中点时，点是的中点成立.
我们考虑能否用代数方法求出线段、、、的长，再算出和的值，然后看和的值是否相等，这个思路更朴素一些.
如图4，不妨设，点、在反比例函数上，
则，，还可以求出，，
容易求出线段的长为
线段的长为，线段的长为，线段BD的长为
又，
所以，问题得证.
证明2
设
轴，轴
，
∵点、在反比例函数上
∴，
∴，，，
∴，
.
∴.
∵是的中点
∴是的中点.
分析3
③如图5，由题意可知，点是的中点，若成立，则点是的中点成立.于是，问题就转化成证明
点和在同一个反比例函数的图象上，容易想到的是作，；则矩形和矩形面积相等，即，
又由，容易得出
而
(或)要关联才行，显然它们之间没有直接联系，继续观察图形，可以看到、.于是把换成，问题又转化
(或)，需要.由图4可以看到
，
这样，由，可以轻松得出，进而证明了
证明3
作，，和交点为.
∵点、在同一反比例函数上，
∴
∴
∵，
，
∴
∵是的中点
∴是的中点
3对比解法，反思教学
以上证法1主要应用了图2和图3两个基本图形的结论，解题时要求能想到着两个结论，还要在图1中添加辅助线构造出图3所示的基本图形，才能证明出图1中的.证法2的起点低，用代数方法解决，设出点的坐标，用代数方法分别求出线段、、、的长，再计算线段之比，得出结论.证法3从学生熟悉的结论入手，一步一步向靠拢，当发现不能直接得出结论时，将相等的线段进行替换，欲证的转化成，而经过变形变为，从而与学生熟悉的
“无缝对接”，问题得证.
解法1的思维起点是图2和图3所示两个基本图形的结论，有了这2个两个基本图形结论的经验、就容易想到解法1.笔者用解法1教学时没有达到预期的效果，于是想到能不能用代数方法求解，探究后发现解法2的起点低，设出的坐标后，只要计算无误，就能正确解答.解法2易于理解，但不能确定什么条件下用代数方法求解，什么条件下不能用代数方法求解.这三种解法相比，解法2最简单，学生容易接受，类似的问题也可以用同样的方法解决.
解法3符合学生的思路.学生对图5中较为熟悉，从学生熟悉的入手，一环扣一环的展开思考，顺利引导学生独立证明了问题.与解法2相比，解法3稍繁琐.但在证明的过程中，学生运用了反比例函数问题中的面积法，强化了数学解题中的转化思想，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.
综上所述，在解题教学中，要从学生的实际情况出发，找到学生思维的最近发展区，根据学生现有的知识积累和解题经验寻找解题思路.这样的解题思路才是学生易于理解的思路;这样的解题教学可以发展学生的数学思维，培养学生的解题习惯，提高学生的解题能力.