初中数学苏科版八下 “3,4,5”直角三角形的奇思妙想 教学案（含答案）

“3,4,5”直角三角形的奇思妙想
提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为“3,4,5”的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.其实，我们对“3,4,5”
直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论.
一、基础准备
如图1
,
中，，，，，，，显然.延长至点，使得，连结，则是等腰三角形，.在中，
同样方法，可求得
同时
提炼如下：
,
,
,
.
用文字语言表述为:
如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为.
我们不妨用约定符号将上述结果简记为“”+“”=.(其中“”，“”分别表示正切值为，的锐角)
下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.
二、运用策略
例1
如图2，在的网格中标出了和，则
.
解法1
构造三角形，从而发现和间的关系.
如图3，显然，，
并且，,
.
解法2
利用“”+“”=的结论解决问题.
图2中，，.
根据结论“如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为，得
.
例2
如图4，正方形的边长为，点、分别在，上，若，且，则的长为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解法1
通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系式，最终求出的长.
解
如图5，延长到，使，连结、.
∵四边形为正方形，
，,
,
，,
,
,
.
设,
则，.
在中,
,
.
解得，则.
.
故选A
解法2
利用“”+“”=的结论求解.
易见图4中，
,
且.
根据“”+“”=，得,
.
在中，求得.
故选A.
点评
比较两种做法，我们发现利用“”+“”=解决问题更加方便快捷.
再来一题试试看吧!
例3
如图6，在中，，是边上的高，，则的长为
.
解法一
构造正方形，利用勾股定理求长.
如图7，分别以、为对称轴，画出、的轴对称图形，点的对称点为、，延长、相交于点，得到四边形是正方形.
根据对称的性质，可得
，.
设，则正方形的边长是,
,.
在中，根据勾股定理，可得,
解得:或(舍去).
故边长是.
解法2
构造全等三角形，利用相似求解.
如图8，过点作，垂足为，交于点.
，.
,
,
.
，.
又,
,
.
设长为，即
解得,
即,
.
故答案为
解法3
凭借直觉经验，利用“”+“”=求解.
图6中，
，
联想到“”+“”=，发现当时，恰好有
，,
从而知.
点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。像这样的选择题、填空题，我们不妨利用“如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为这一结论直接求解.既快又准确!