初中数学苏科版八下 二次根式的双重非负牲在解题中的运用 教学案（含答案）

二次根式的双重非负牲在解题中的运用
式子表示非负数的算术平方根，它是一个非负数，而是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参考.
一、确定自变量的取值范围
例1
若下列式子有意义，试确定的取值范围.
(1)
(2)
(3)
(4)
解
(1)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得且,
所以，的取值范围为且;
(2)依题意，得不等式组,
解这个不等式组得.
所以的取值范围为:
;
(3)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得;
(4)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得且;
评注
初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况:(1)分式中的分母不能为零;(2)二次根式中被开方数要大于等于零;(3)零指数幂的底数不能为零.抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.
例2
(1)若等式成立，求的取值范围;
(2)若，求的取值范围;
(3)若，试求的取值范围
解
(1)，又,
，.
又,
∴的取值范围为:且;
(2).
当时,
原式;
当时,
原式;
当时,
原式;
∴x的取值范围为.
(3)
当时，原式.
又，,
∴x的取值范围为.
评注
这组题用到了二次根式的双重非负性、的化简和如何去掉绝对值，解不等式和不等式组，只有理解了这些知识，才能作出正确的解答.注意一定要等于(去掉根号带上绝对值).
二、求代数式的值
例3
(1)已知，为实数，且，求的值.
(2)已知，为实数，且满足，那么
.
解
(1)依题意，得不等式组
,
解这个不等式组，得，,
.
(2)原方程可以变形为
,
，，,
.
评注
解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”.
三、化简
对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形:
1.默认条件
例4
.
这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.
2.给定条件
例5
若，化简:
解
原式.
，则，,
∴原式.
3.题目隐含条件
例6
化简:(1)；(2).
解
(1)
，,
∴原式.
(2)
，,
∴原式.
评注
由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验.解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难为易.
四、分类讨论
例7
化简:.
解
原式,
当时，原式;
当时，原式;
当时，原式.
例8
化简:.
解
原式.
当，时，原式;
当，时，原式.
评注
分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.