第2课时 提多项式公因式
基础题
知识点1 多项式公因式
1．将x(x＋1)－2(x＋1)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(C)
A．x－1
B．x－2
C．x＋1
D．x＋2
2．写出下列多项式中各项的公因式：
(1)3m(a－b)－9n(b－a)；
解：公因式为3(a－b)．
(2)2a(－a＋b)2－(a－b)3.
解：公因式为(a－b)2.
知识点2 提多项式公因式因式分解
3．因式分解b2(a－3)＋b(a－3)的正确结果是(B)
A．(a－3)(b2＋b)
B．b(a－3)(b＋1)
C．(a－3)(b2－b)
D．b(a－3)(b－1)
4．把多项式(1＋x)(1－x)－(x－1)提取公因式(x－1)后，余下的因式是(B)
A．(x＋1)
B．－(x＋2)
C．－(x＋1)
D．x
5．下列因式分解正确的是(A)
A．2(x－y)＋x(x－y)＝(x－y)(2＋x)
B．3(x－y)＋x(y－x)＝(x－y)(3＋x)
C．2(x－y)＋x(x－y)＝(x－y)(2－x)
D．a(a－b)2＋ab(a－b)＝a(a－b)
6．把下列多项式因式分解：
(1)a(a－b)＋b(b－a)；
解：原式＝(a－b)(a－b)
＝(a－b)2.
(2)2(x－1)2＋4b(1－x)2；
解：原式＝2(x－1)2(1＋2b)．
(3)6x2y(x＋y)－9xy2(x＋y)．
解：原式＝3xy(x＋y)(2x－3y)．
中档题
7．下列各组多项式中没有公因式的是(D)
A．3x－2与6x2－4x
B．3(a－b)2与11(b－a)3
C．mx－my与ny－nx
D．ab－ax与ab－bx
8．多项式(x＋2)(2x＋1)－(x＋2)可以因式分解成(x＋m)(2x＋n)，则m－n的值是(A)
A．2
B．－2
C．4
D．－4
9．把下列多项式因式分解：
(1)2x(x＋y)－4(x＋y)2；
解：原式＝－2(x＋y)(x＋2y)．
(2)(a＋b)(a＋b－1)－a－b＋1；
解：原式＝(a＋b－1)2.
(3)(x－a)2＋4m(x－a)＋(m＋n)(a－x)．
解：原式＝(x－a)(x－a＋3m－n)．
10．化简求值：(3x－1)2(2x－3)－(3x－1)(2x－3)2－x(3x－1)(2x－3)，其中x＝.
解：原式＝(3x－1)(2x－3)[(3x－1)－(2x－3)－x]
＝(3x－1)(2x－3)×2
＝2(3x－1)(2x－3)．
当x＝时，原式＝2×(3×－1)×(2×－3)
＝－.
综合题
11．阅读下列材料：
因式分解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2.
解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
请用以上的方法因式分解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
解：原式＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－1]
＝(1＋x)2[1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－2]
＝(1＋x)n＋1.第2课时 用完全平方公式因式分解
基础题
知识点1 用完全平方公式因式分解
1．(张家界中考)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(D)
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．因式分解：
(1)(长沙中考)x2＋2x＋1＝(x＋1)2；
(2)(南充中考)x2－4(x－1)＝(x－2)2．
3．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
4．把下列多项式因式分解：
(1)y2＋y＋；
解：原式＝(y＋)2.
(2)16－8xy＋x2y2；
解：原式＝(4－xy)2.
(3)－x2＋4xy－4y2；
解：原式＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－(x－2y)2.
(4)4a4－12a2y＋9y2；
解：原式＝(2a2－3y)2.
(5)(a＋b)2－14(a＋b)＋49.
解：原式＝(a＋b－7)2.
知识点2 综合运用提公因式法与公式法因式分解
5．(菏泽中考)将多项式ax2－4ax＋4a因式分解，下列结果中正确的是(A)
A．a(x－2)2
B．a(x＋2)2
C．a(x－4)2
D．a(x＋2)(x－2)
6．因式分解：
(1)(泸州中考)2a2＋4a＋2＝2(a＋1)2；
(2)(泰安中考)9x3－18x2＋9x＝9x(x－1)2．
7．把下列多项式因式分解：
(1)2a3－4a2b＋2ab2；
解：原式＝2a(a2－2ab＋b2)
＝2a(a－b)2.
(2)(2x－5)2＋6(2x－5)＋9；
解：原式＝[(2x－5)＋3]2
＝(2x－2)2
＝4(x－1)2.
(3)16x4－8x2y2＋y4；
解：原式＝(4x2－y2)2
＝(2x＋y)2(2x－y)2.
(4)(a2＋ab＋b2)2－9a2b2.
解：原式＝(a2＋ab＋b2＋3ab)(a2＋ab＋b2－3ab)
＝(a2＋4ab＋b2)(a－b)2.
中档题
8．下列因式分解正确的是(B)
A．x3－x＝x(x2－1)
B．－a2＋6a－9＝－(a－3)2
C．x2＋y2＝(x＋y)2
D．a3－2a2＋a＝a(a＋1)(a－1)
9．因式分解：
(1)(东营中考)4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝(3x－3y＋2)2；
(2)(南京中考)(a－b)(a－4b)＋ab＝(a－2b)2．
10．(泰州中考)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是1．
11．把下列各式因式分解：
(1)(2a＋b)2－8ab；
解：原式＝4a2＋4ab＋b2－8ab
＝4a2－4ab＋b2
＝(2a－b)2.
(2)5xm＋1－10xm＋5xm－1；
解：原式＝5xm－1(x2－2x＋1)
＝5xm－1(x－1)2.
(3)9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2；
解：原式＝[3(a－b)＋2(a＋b)]2
＝(5a－b)2.
(4)3a(x2＋4)2－48ax2.
解：原式＝3a[(x2＋4)2－16x2]
＝3a(x＋2)2(x－2)2.
12．利用因式分解计算：
(1)×3.72－3.7×2.7＋×2.72；
解：原式＝×(3.7－2.7)2
＝.
(2)1982－396×202＋2022.
解：原式＝(198－202)2
＝16.
13．利用因式分解求值：
(1)已知x－y＝－，求(x2＋y2)2－4xy(x2＋y2)＋4x2y2的值；
解：因为x－y＝－，
所以原式＝[(x2＋y2)－2xy]2＝(x－y)4＝.
(2)已知x(x－1)－(x2－y)＝7，求－xy的值．
解：因为x(x－1)－(x2－y)＝7，
所以x2－x－x2＋y＝7，
即x－y＝－7.
原式＝(x－y)2＝×49＝.
综合题
14．对于二次三项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a)．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3分解因式；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3)．
(2)原式＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1.
因为(x＋1)2≥0，所以原式有最小值，此时x＝－1.3.2 提公因式法
第1课时 提单项式公因式
基础题
知识点1 公因式
1．多项式ax－a中各项的公因式是(A)
A．a
B．x
C．ax
D．－ax
2．写出下列多项式中各项的公因式：
(1)ma＋mb；
(2)4kx－8ky；
(3)5y3＋20y2；
(4)a2b－2ab2＋ab.
解：(1)公因式为m.
(2)公因式为4k.
(3)公因式为5y2.
(4)公因式为ab.
知识点2 提单项式公因式因式分解
3．(武汉中考)把a2－2a因式分解，正确的是(A)
A．a(a－2)
B．a(a＋2)
C．a(a2－2)
D．a(2－a)
4．在下列括号内填写适当的多项式：
(1)ab＋2a＝a(b＋2)；
(2)－4x2＋6xy＝－2x(2x－3y)．
5．因式分解：
(1)(广州中考)2mx－6my＝2m(x－3y)；
(2)(湘潭中考)2a2－3ab＝a(2a－3b)．
6．把下列多项式因式分解：
(1)3ay－3by；
解：原式＝3y(a－b)．
(2)6a2b2－15a2b3＋3a2b.
解：原式＝3a2b(2b－5b2＋1)．
中档题
7．下列各组代数式中没有公因式的是(C)
A．4a2bc与6abc2
B．ab与a2b3
C．a与b
D．2x与4x
8．多项式8xmyn－1－12x3myn的公因式是(D)
A．xmyn
B．xmyn－1
C．4xmyn
D．4xmyn－1
9．用提公因式法因式分解正确的是(C)
A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3ab)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y)
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x)
10．因式分解：6x3y－12xy2＋3xy＝3xy(2x2－4y＋1)．
11．把下列多项式因式分解：
(1)2x2y5－6y3z；
解：原式＝2y3(x2y2－3z)．
(2)3xn＋2＋27xn；
解：原式＝3xn(x2＋9)．
(3)－6m2n－15n2m＋30m2n2.
解：原式＝－3mn(2m＋5n－10mn)．
12．利用因式分解计算：2100－2101.
解：原式＝2100×(1－2)
＝2100×(－1)
＝－2100.
综合题
13．用简便方法计算：123×6.28＋628×1.32－15.5×62.8.
解：原式＝12.3×62.8＋62.8×13.2－15.5×62.8
＝62.8×(12.3＋13.2－15.5)
＝62.8×10
＝628.第3章 因式分解
3．1 多项式的因式分解
基础题
知识点1 最大公因数
1．36和54的最大公因数是
(C)
A．3
B．6
C．18
D．36
2．把60写成若干个质数的积的形式为2×2×3×5.
知识点2 因式与因式分解的概念
3．(河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
4．若x－2和x＋3是多项式x2＋x＋m仅有的两个因式，则m的值为(C)
A．1
B．－1
C．－6
D．－5
5．下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
(1)a(x＋y)＝ax＋ay；
(2)x2＋2xy＋y2－1＝x(x＋2y)＋(y＋1)(y－1)；
(3)ax2－9a＝a(x＋3)(x－3)；
(4)x2＋2＋＝(x＋)2.
解：(1)是整式的乘法，故(1)不是因式分解．
(2)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(2)不是因式分解．
(3)把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3)是因式分解．
(4)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(4)不是因式分解．
知识点3 因式分解与整式乘法的关系
6．(3x－y)(3x＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果(C)
A．9x2＋y2
B．－9x2＋y2
C．9x2－y2
D．－9x2－y2
7．在(x＋y)(x－y)＝x2－y2中，从左向右的变形是整式乘法，从右向左的变形是因式分解．
8．已知(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则x2－3x＋2因式分解为(x－2)(x－1)．
9．如果多项式2x＋B可以分解为2(x＋2)，那么B＝4．
10．检验下列因式分解是否正确．
(1)x2－2x＝x(x－2)；
(2)x2－1＝(x＋1)(x－1)；
(3)x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)；
(4)a2－2ab＋4b2＝(a－2b)2.
解：(1)因为x(x－2)＝x2－2x，
所以因式分解x2－2x＝x(x－2)正确．
(2)因为(x＋1)(x－1)＝x2－1，
所以因式分解x2－1＝(x＋1)(x－1)正确．
(3)因为(x＋y)(x－2y)＝x2－2xy＋xy－2y2＝x2－xy－2y2，
所以因式分解x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)正确．
(4)因为(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2≠a2－2ab＋4b2，
所以因式分解a2－2ab＋4b2＝(a－2b)2不正确．
11．小明在解答“分解因式：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)；
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
解：(1)因为3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，
所以分解不正确．
(2)因为(2x＋3)(2x－3)＝(2x)2－9＝4x2－9，
所以分解正确．
中档题
12．(毕节中考)下列因式分解正确的是(B)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋＝(x－)2
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
13．若N＝(x－2y)2，则N为(C)
A．x2＋4xy＋4y2
B．x2－4y2
C．x2－4xy＋4y2
D．x2－2xy＋4y2
14．如图所示，由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a、b的小长方形组成的大长方形，整个图形可表达出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是(B)
A．a2＋2ab＝a(a＋2b)
B．a(a＋2b2)＝a2＋2ab2
C．a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)
D．a(a＋2b)－ab＝a(a＋b)
15．将xn－yn因式分解的结果为(x2＋y2)(x＋y)(x－y)，则n的值为4．
16．我们知道：a(b＋c)＝ab＋ac，反过来则有ab＋ac＝a(b＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是多项式的因式分解．请你根据上述结论计算：2
0172－2
017×2
016＝2_017．
17．下列各式由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)；
(2)a(a－2b)＝a2－2ab；
(3)(a－1)2＝a2－2a＋1；
(4)a2－6a＋9＝(a－3)2.
解：(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．
18．学习了多项式的因式分解后，对于等式x2＋1＝x(x＋)，小峰和小欣两人产生了激烈的争论，小峰说这种变形不是因式分解，但又说不清理由；小欣说是因式分解，因为右边是乘积的形式．你认为谁的说法正确，为什么？
解：小峰的说法正确，小欣的说法不正确．因为因式分解是把一个多项式化为若干个多项式乘积的形式，等式右边中的x＋不是多项式(分母含有字母x)，因此这种变形不是因式分解．
19．已知x2＋mx－n可以分解为一次因式(x－5)和(x＋8)的乘积，求(13m－n)2
017的值．
解：由题意知x2＋mx－n＝(x－5)(x＋8)，
因为(x－5)(x＋8)＝x2＋3x－40，
所以x2＋mx－n＝x2＋3x－40.
所以m＝3，n＝40.
所以(13m－n)2
017＝－1.
20．如果x2－ax＋5有一个因式是x＋5，求a的值，并求另一个因式．
解：因为5＝1×5，5＝(－1)×(－5)，
又x2－ax＋5有一个因式是x＋5，
因此5只能分解为1×5，
所以x2－ax＋5可以分解为(x＋5)(x＋1)，
即x2－ax＋5＝(x＋5)(x＋1)．
而(x＋5)(x＋1)＝x2＋6x＋5，
所以a＝－6，且另一个因式为x＋1.
综合题
21．两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，试求原多项式．
解：设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)．
因为2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)
＝2x2－20x＋18，
所以a＝2，c＝18.
又因为2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)
＝2x2－12x＋16，
所以b＝－12.
所以原多项式为2x2－12x＋18.3.3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
基础题
知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1．下列多项式中能用平方差公式进行因式分解的是(B)
A．a2＋b2
B．－x2＋y2
C．－m2－n2
D．x－x2
2．把x2－4y2因式分解的结果是(B)
A．(x＋4y)(x－4y)
B．(x＋2y)(x－2y)
C．(x－4y)2
D．(x－2y)2
3．把多项式(x－1)2－9分解因式的结果是(B)
A．(x＋8)(x＋1)
B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x－10)(x＋8)
4．因式分解：
(1)(张家界中考)x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(2)1－36a2＝(1＋6a)(1－6a)．
5．把下列多项式因式分解：
(1)9m2－4n2；
解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)．
(2)(x＋2y)2－(x－y)2；
解：原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)]
＝3y(2x＋y)．
知识点2 两次运用平方差公式因式分解
6．把a4－1因式分解的结果为(C)
A．(a2－1)(a2＋1)
B．(a＋1)2(a－1)2
C．(a－1)(a＋1)(a2＋1)
D．(a－1)(a＋1)3
7．若16－xn＝(2＋x)(2－x)(4＋x2)，则n的值为(C)
A．2
B．3
C．4
D．6
8．把x4－16y4因式分解．
解：原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
知识点3 先提公因式后运用平方差公式因式分解
9．(台州中考)把多项式2x2－8因式分解，结果正确的是(C)
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2)
D．2x(x－)
10．因式分解：
(1)(深圳中考)3a2－3b2＝3(a＋b)(a－b)；
(2)(恩施中考)9bx2y－by3＝by(3x＋y)(3x－y)．
11．把下列多项式因式分解：
(1)(长沙中考)x2y－4y；
解：原式＝y(x＋2)(x－2)．
(2)x2(a－b)＋4(b－a)．
解：原式＝x2(a－b)－4(a－b)
＝(a－b)(x2－4)
＝(a－b)(x＋2)(x－2)．
中档题
12．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是(A)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
13．对于任意整数n，多项式(n＋7)2－(n－3)2的值都能(A)
A．被20整除
B．被7整除
C．被21整除
D．被(n＋4)整除
14．因式分解：
(1)(威海中考)(2a＋b)2－(a＋2b)2＝3(a＋b)(a－b)；
(2)(株洲中考)(x－8)(x＋2)＋6x＝(x＋4)(x－4)．
15．把下列多项式因式分解：
(1)－16＋a2b2；
解：原式＝(ab＋4)(ab－4)．
(2)a3b－16ab；
解：原式＝ab(a2－16)
＝ab(a＋4)(a－4)．
(3)3m4－48；
解：原式＝3(m4－16)
＝3(m2＋4)(m2－4)
＝3(m2＋4)(m＋2)(m－2)．
(4)－9x2＋(x－y)2；
解：原式＝(x－y＋3x)(x－y－3x)
＝－(4x－y)(2x＋y)．
(5)xn－xn＋2；
解：原式＝xn(1－x2)
＝xn(1＋x)(1－x)．
(6)－(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3.
解：原式＝(x－y)3－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)3－(x＋y)2(x－y)
＝(x－y)[(x－y)2－(x＋y)2]
＝－4xy(x－y)．
16．用平方差公式进行简便计算：
(1)4012－5992；
解：原式＝(401＋599)×(401－599)
＝－198
000.
(2)152－4×2.52.
解：原式＝152－52
＝(15＋5)×(15－5)
＝200.
17．技术员小张在制造某种机器零件时，要在半径为R的圆形钢板中钻9个半径为r的圆形小孔，之后再将剩余部分涂上油漆(一面)，小张已测量出R＝34
cm，r＝2
cm，试求需要涂上油漆部分的面积(结果保留π)．怎样计算较简便？
解：πR2－9πr2＝π(R2－9r2)＝π(R＋3r)(R－3r)＝π(34＋6)×(34－6)＝40×28π＝1
120π(cm2)．
答：需要涂上油漆部分的面积为1
120π
cm2.
综合题
18．计算：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)．
解：原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)
＝××××××…××××
＝×
＝.
