4.2 平移
基础题
知识点1 平移
1．下列现象是平移的是(B)
A．闹钟的钟摆的运动
B．电梯从底楼上升到顶楼
C．碟片在光驱中运行
D．卫星绕地球运动
2．下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是(A)
A B C D
3．如图，三角形DEF是由三角形ABC经过平移得到的，则平移的距离是(A)
A．线段BE的长度
B．线段EC的长度
C．线段BC的长度
D．线段EF的长度
4．如图，一只小金鱼从右边游到左边，需向左游8格．
知识点2 平移的性质
5．如图，已知CD由线段AB平移得到，下列结论错误的是(C)
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AD∥BC
6．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，则(B)
A．FG＝5，∠G＝70°
B．EH＝5，∠F＝70°
C．EF＝5，∠F＝70°
D．EF＝5，∠E＝70°
7．下列说法错误的是(D)
A．平移不改变图形的形状
B．图形经过平移，新图形与原图形中的对应线段，对应角分别相等
C．图形平移后，连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等
D．平移可能改变图形的大小
8．如图，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC＝35°，则∠DEF＝35°．
知识点3 平移的作图
9．下列平移作图错误的是(C)
A
B
C D
10．在方格纸中，将三角形ABC向右平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1.
解：如图，所画三角形A1B1C1即为所求．
中档题
11．下列著名商标设计中，与其他三个设计方法不同的一个是(A)
A B C
D
12．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝14，EC＝6，则BE的长度是(B)
A．2
B．4
C．5
D．3
13．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块(C)
A．向右平移1格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移4格
C．向右平移2格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移3格
14．下列图形中，周长最长的是(B)
15．如图，三角形ABC经过平移得到三角形DEF，那么图中平行且相等的线段有6对；若∠BAC＝50°，则∠EDF＝50°．
16．如图所示，是一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯3.8米．
17．为了庆祝北京成功申办2022年冬奥会，小明利用网格设计了一个“火炬”图案，请你帮帮他：
(1)将“火炬”图案先向右平移7格，再向上平移6格，画出平移后的图案；
(2)如果图中每个小正方形的边长是1，求其中一个“火炬”图案的面积．
解：(1)所作图形如图．
(2)由图形可以数出“火炬”图案包括11.5个小正方形，且每个小正方形的面积为1，故火炬图案的面积为11.5.
综合题
18．图中的四个长方形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b，且a>b>1.在图1中将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(阴影部分)．在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到折线B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(阴影部分)．
(1)在图3中，请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并在这个图形内涂上阴影；
(2)请你分别写出上述三个图形去掉阴影部分后剩余部分的面积：S1＝ab－b，S2＝ab－b，S3＝ab－b；
(3)联想与操作：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路的任何地方水平宽度都是1个单位)，请你猜想，空白部分表示的草地面积是多少？并说明理由．
解：(1)如图．
(3)草地的面积仍然为ab－b.
理由：左边的草地向右平移1个单位后，柏油小路的两边重合在一起，所以草地的面积为(a－1)·b＝ab－b.第4章 相交线与平行线
4．1 平面上两条直线的位置关系
4．1.1 相交与平行
基础题
知识点1 平行线的概念与表示方法
1．下列图形中，AB与CD不平行的是(D)
2．下列表示方法正确的是(D)
A．a∥A
B．AB∥cd
C．A∥B
D．a∥b
3．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是(C)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
4．下列说法中，正确的是(D)
A．在同一平面内，没有公共点的两条线段平行
B．在同一平面内，没有公共点的两条射线平行
C．没有公共点的两条直线互相平行
D．互相平行的两条直线没有公共点
5．同一平面内不重合的两条直线，其交点个数可能为1个或0个．
6．如图所示的长方体，用符号表示下列棱的位置关系：A1B1∥AB，AA1∥BB1，AD∥BC.
知识点2 平行线的基本事实及其推论
7．在同一平面内，直线l1，l2相交于点O，又l3∥l2，则直线l1和l3的位置关系是(B)
A．平行
B．相交
C．不一定相交
D．无法确定
8．过一点画已知直线的平行线(D)
A．有且只有一条
B．不存在
C．有两条
D．不存在或有且只有一条
9．同一平面内有三条直线，如果其中只有两条平行，那么它们(C)
A．没有交点
B．共有一个交点
C．共有两个交点
D．共有三个交点
10．一条直线与另两条平行线的关系是(D)
A．一定与两条平行线都平行
B．可能与两条平行线中的一条平行、一条相交
C．一定与两条平行线相交
D．与两条平行线都平行或都相交
11．下列说法正确的是(C)
A．在同一平面内，两条不平行的线段必相交
B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线段
C．两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行
D．一条直线也可能同时与两条相交直线平行
12．在同一平面内，若a∥c，a与b相交，b∥d，那么d与c的关系是相交．
13．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C、D、E三点是否共线？你能说明理由吗？
解：共线．理由：因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、CE都经过点C且与AB平行，所以C、D、E三点共线．
14．如图，过点O′分别作AB，CD的平行线．
解：如图所示．
中档题
15．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有(B)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
16．下列说法中正确的是(B)
A．两条相交的直线叫做平行线
B．过直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行
C．如果a∥b，b∥c，那么a不与c平行
D．两条不平行的射线，在同一平面内一定相交
17．同一平面内的两条线段，下列说法正确的是(C)
A．一定平行
B．一定相交
C．可以既不平行又不相交
D．不平行就相交
18．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有(B)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
19．在同一平面内不重合的两条直线a，b，分别根据下列条件，写出a，b的位置关系．
(1)若它们没有公共点，则a∥b；
(2)若它们都平行于第三条直线，则a∥b；
(3)若它们有且只有一个公共点，则a和b相交；
(4)过平面内的不在a，b上的同一点画它们的平行线，能画出两条，则a和b相交；
(5)过平面内的不在a，b上的一点画它们的平行线，只能画出一条，则a∥b．
20．如图所示，哪些线段是互相平行的？并用“∥”表示出来．
解：AB∥IH，DE∥FG.
21．小明在一块如图所示的平行四边形木板上，画了一条与CD边平行的线段EF，问AB边与EF平行吗？说说你的理由．
解：平行．理由：平行于同一条直线的两条直线平行．
22．如图，根据要求作图．
(1)过A作AE∥BC，交DC于点E；
(2)过B作BF∥AD，交DC于点F；
(3)过C作CG∥AD，交AB的延长线于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的延长线于点H.
解：如图所示．
综合题
23．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
(1)这n条直线共有多少个交点？
(2)这n条直线把平面分割为多少个区域？
解：(1)1条直线，0个交点；
2条直线，1个交点；
3条直线，(1＋2)个交点；
4条直线，(1＋2＋3)个交点；
5条直线，(1＋2＋3＋4)个交点；
故n条直线，[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]个交点，
即有n(n－1)个交点．
(2)1条直线，将平面分成2个区域；
2条直线，将平面分成(2＋2)个区域；
3条直线，将平面分成(2＋2＋3)个区域；
4条直线，将平面分成(2＋2＋3＋4)个区域；
5条直线，将平面分成(2＋2＋3＋4＋5)个区域；
故n条直线，将平面分成(2＋2＋3＋4＋5＋…＋n)个区域，
即分成(n2＋n＋1)个区域．小专题(四) 平行线的性质与判定
类型1 平行线的性质
1．(南宁中考)如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于(A)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．(凉山中考)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝52°，则∠EGF等于(B)
A．26°
B．64°
C．52°
D．128°
3．(盐城中考)如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于(B)
A．50°
B．70°
C．90°
D．110°
4．(杭州中考)如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD.若∠ECA为α度，则∠GFB为(90－)度(用关于α的代数式表示)．
5．如图，已知∠B＝∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE.
解：因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠DAC＝∠C.
又因为∠B＝∠C，
所以∠EAD＝∠DAC.
所以AD平分∠CAE.
类型2 平行线的判定
6．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是(D)
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠5
C．∠1＋∠4＝180°
D．∠3＝∠5
7．如图，∠B＝60°，当∠1＝60°时，DE∥BC，理由是同位角相等，两直线平行．
8．如图，已知∠1＝70°，∠CDN＝125°，CM平分∠DCF，判断CM与DN是否平行，并说明理由．
解：CM与DN平行．
理由：因为∠1＝70°，
所以∠DCF＝180°－70°＝110°.
因为CM平分∠DCF，
所以∠DCM＝55°.
因为∠CDN＝125°，
所以∠DCM＋∠CDN＝180°.
所以CM∥DN.
9．(淄博中考)如图，—个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC.
理由：因为∠1＝50°，∠2＝50°，
所以∠1＝∠2.
所以OB∥AC.
因为∠2＝50°，∠3＝130°，
所以∠2＋∠3＝180°.
所以OA∥BC.
类型3 平行线的性质与判定的综合运用
10．(河南中考)如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为(A)
A．55°
B．60°
C．70°
D．75°
11．如图，∠D＝∠2，∠1＝25°，则∠B＝(A)
A．25°
B．45°
C．50°
D．65°
12．如图，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，则AB和EF的位置关系为平行．
13．如图，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.请你观察图形，写出∠E和∠DFE满足什么数量关系？并说明理由．
解：∠E＝∠DFE.理由如下：
因为∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D，
所以∠D＋∠BCD＝180°.
所以AD∥BE.
所以∠E＝∠DFE.
14．如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D.试问BD是否与CE平行？为什么？
解：BD∥EC.理由如下：
因为∠A＝∠F，
所以DF∥AC.
所以∠D＝∠DBA.
又因为∠C＝∠D，
所以∠DBA＝∠C.
所以BD∥EC.
15．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试猜想∠AED和∠C的关系，并说明理由．
解：猜想：∠AED＝∠C.
理由：因为∠2＋∠ADF＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＝∠ADF.
所以AD∥EF.
所以∠3＝∠ADE.
因为∠3＝∠B，
所以∠B＝∠ADE.
所以DE∥BC.
所以∠AED＝∠C.
16．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E，F在BC上，满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度数；
(2)若平行移动AB，则∠OBC∶∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律，若不变求其比值．
解：(1)因为CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，
所以∠COA＝180°－∠C＝180°－100°＝80°，
因为∠FOB＝∠AOB，
所以OB平分∠AOF.
又因为OE平分∠COF，
所以∠EOB＝∠EOF＋∠FOB
＝∠COA
＝×80°
＝40°.
(2)不变．
因为CB∥OA，
所以∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠FOA.
所以∠OBC∶∠OFC＝∠AOB∶∠FOA.
又因为∠FOA＝∠FOB＋∠AOB＝2∠AOB，
所以∠OBC∶∠OFC＝∠AOB∶∠FOA＝∠AOB∶2∠AOB＝1∶2.4.4 平行线的判定
第1课时 平行线的判定方法1
基础题
知识点1 同位角相等，两直线平行
1．如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是(C)
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
2．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(A)
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线平行，同位角相等
3．如图，下列条件能判定AB∥CD的是(C)
A．∠1＝∠3
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠2
D．∠1＋∠2＝∠3
4．如图，∠C＝110°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是答案不唯一，如∠BEF＝110°．
5．如图，已知点B、C、E在同一直线上，且∠1＝∠B，那么DC∥AB．
6．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.
解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，∠2＝70°，
所以∠EHD＝70°.
因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1.
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
知识点2 平行线的判定方法1与性质的综合运用
7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4＝(A)
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
8．(随州中考)如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是(D)
A．35°
B．70°
C．90°
D．110°
9．如图，∠EAD＝∠B，∠D＝75°，则∠C＝105°．
10．如图，已知AB∥DE，且有∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：BC∥EF.
解：因为AB∥DE(已知)，
所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，
所以∠2＝∠4(等量代换)．
所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．
中档题
11．如图，若∠1＝∠2，图中与∠3相等的角有(C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转(B)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
13．如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有AB∥CD，EF∥CG．
14．如图，能判定DE∥BC的同位角有4组．
15．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝121°．
16．如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2.试说明：CD∥EF.
解：因为∠AGD＝∠ACB(已知)，
所以DG∥CB(同位角相等，两直线平行)．
所以∠3＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠3＝∠2(等量代换)．
所以CD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
17．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：a∥c.
解：因为∠1＝∠2，所以a∥b.
因为∠3＝∠4，所以b∥c.
所以a∥c.
18．如图，∠ABC＝∠DEF，AB∥DE，AB，EF相交于M，试判断BC，EF是否平行，并说明理由．
解：BC∥EF.
理由：因为AB∥ED，
所以∠DEF＝∠AMF.
又因为∠ABC＝∠DEF，
所以∠ABC＝∠AMF.
所以BC∥EF.
19．如图，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD与BC平行吗？为什么？
解：AD∥BC.
因为AB∥DC(已知)，
所以∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠D＝125°(已知)，
所以∠A＝180°－∠D＝55°.
因为∠CBE＝55°(已知)，
所以∠A＝∠CBE.
所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
20．如图，直线AB、CD被直线GH所截，且∠AEG＝∠CFG，EM、FN分别平分∠AEG和∠CFG.试说明：EM∥FN.
解：因为EM，FN分别平分∠AEG和∠CFG，
所以∠GEM＝∠AEG，∠GFN＝∠CFG.
因为∠AEG＝∠CFG，
所以∠GEM＝∠GFN.
所以EM∥FN.
综合题
21．如图，已知∠ADC＝∠EFC，∠3＝∠C，试说明：∠1＝∠2.
解：因为∠ADC＝∠EFC，
所以AD∥EF.
所以∠1＝∠4.
因为∠3＝∠C，
所以AC∥DG.
所以∠2＝∠4.
又∠1＝∠4，
所以∠1＝∠2.第2课时 垂线段与点到直线的距离
基础题
知识点1 垂线、垂线段及其性质
1．如图，已知ON⊥a，OM⊥a，可以推断出OM与ON重合的理由是(D)
A．两点确定一条直线
B．过一点只能作一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．如图，在铁路旁有一大型村庄李庄，现要建一火车站，为了使李庄人到车站路程最短，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在(A)
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
3．如图，点P在直线l外，PB⊥l于B，A为l上任意一点，则PA与PB的大小关系是(C)
A．PA＞PB
B．PA＜PB
C．PA≥PB
D．PA≤PB
4．如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是垂线段最短．
5．如图，某人站在马路的左侧A点处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？如果他要到马路对面的B点处，怎样走最近？为什么？
解：此人要走到马路的右侧，可沿A点到马路右侧的垂线段走，因为垂线段最短．要到B点处，可沿线段AB走，因为两点之间，线段最短．
知识点2 点到直线的距离
6．点到直线的距离是指(D)
A．从直线外一点到这条直线的连线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段
C．从直线外一点到这条直线的垂线的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
7．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是(A)
8．(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有(D)
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
9．点P是直线a外一点，PA⊥a，A为垂足，且PA＝2
cm，则点P到直线a的距离是2cm.
10．如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC＝8，CD＝4.8，BD＝6.4，AD＝3.6，AC＝6，那么点C到AB的距离是4.8，点A到BC的距离是6，点B到CD的距离是6.4．
中档题
11．如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(A)
A．2.5
B．3
C．4
D．5
12．(厦门中考)已知直线AB，CB
，l
在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是(C)
A
B
C D
13．观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB、AC、AD中，线段AC最短，因为两点之间线段最短；③线段AB、AC、AD中，线段AC最短，根据是垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．正确的个数是(C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是(A)
A．大于4.6米
B．等于4.6米
C．小于4.6米
D．不能确定
15．点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若PA＝3
cm，PB＝4
cm，PC＝6
cm，则点P到直线l的距离是(C)
A．3
cm
B．小于3
cm
C．小于或等于3
cm
D．4
cm
16．如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5
cm，BC＝3
cm，则BD的长度的取值范围是(D)
A．大于3
cm
B．小于5
cm
C．大于3
cm或小于5
cm
D．大于3
cm且小于5
cm
17．如图，从学校到公路最近的是②号路线，数学道理是垂线段最短．
18．如图，AG⊥DE于G，FG⊥BC于F，DE∥BC且AG＝2
cm，FG＝3
cm，试求点A到BC的距离．
解：因为FG⊥BC，DE∥BC，
所以FG⊥DE.
因为AG⊥DE，FG⊥DE，
所以点A，F，G在同一直线上(在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直)．
又因为AF＝AG＋FG＝2＋3＝5
cm，
所以点A到BC的距离为AF＝5
cm.
19．如图，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，线段AB，BC，CD的大小顺序如何，并说明理由．
解：AB＞BC＞CD.
理由：因为CD⊥AB于点D，
所以BC＞CD.
因为∠BCA＝90°，
所以BC⊥AC.
所以AB＞BC.
所以AB＞BC＞CD.
综合题
20．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．
(1)设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C，D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？
解：(1)如图所示．
(2)在AM上时，离加油站C，D都越来越近；在MN上时，离D越来越近，而离C越来越远．4.1.2 相交直线所成的角
基础题
知识点1 对顶角及其性质
1．下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(C)
2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD＝50°，则∠BOC是(C)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3．如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2＋∠3＝(B)
A．50°
B．100°
C．130°
D．180°
4．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOD的对顶角是∠BOC．
5．(吉林中考)图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是对顶角相等．
6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，则∠AOE的度数为60°．
7．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，求∠BOD的度数．
解：因为OA平分∠EOC，
所以∠AOC＝∠EOC＝×100°＝50°.
又因为∠BOD＝∠AOC，
所以∠BOD＝50°.
知识点2 同位角、内错角、同旁内角
8．(宿迁中考)如图所示，直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是(A)
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
9．(桂林中考)如图，与∠1是内错角的是(B)
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
10．(柳州中考)如图，与∠1是同旁内角的是(D)
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
11．如图，∠1和∠4是直线AB、DC被直线BE所截得的同位角，∠2和∠5是直线AB、CD被直线AC所截得的内错角，直线AC、BC被直线AB所截得的同旁内角是∠4和∠5．
中档题
12．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是(C)
13．如图，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3＝(C)
A．90°
B．120°
C．180°
D．360°
14．如图，直线AB、CD相交于点O，如果∠1比∠3的2倍还多30°，那么∠2的度数是(C)
A．50°
B．120°
C．130°
D．150°
15．若∠1与∠2互补，∠2与∠3是对顶角，且∠3＝40°，则∠1的度数是140°．
16．如图所示．
(1)与∠A是同位角的有哪些角？
(2)与∠4是内错角的有哪些角？
(3)与∠B是同旁内角的有哪些角？
解：(1)与∠A是同位角的有∠1和∠3.
(2)与∠4是内错角的有∠1和∠3.
(3)与∠B是同旁内角的有∠1和∠A和∠BDE和∠BDF和∠C.
17．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝60°，求∠4的度数．
解：根据对顶角相等，
得∠1＝∠2＝60°.
因为∠1＝2∠3，
所以∠3＝30°.
所以∠4＝∠3＝30°.
18．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1＝30°，∠2＝45°.求∠3的度数．
解：因为∠1＝30°，∠2＝45°，
所以∠EOD＝180°－∠1－∠2＝105°.
所以∠COF＝∠EOD＝105°.
又因为OG平分∠COF，
所以∠3＝∠COF＝52.5°.
19．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
解：因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°.
因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，
所以∠BOE＝×70°＝28°.
所以∠AOE＝180°－28°＝152°.
综合题
20．如图，若∠1＝∠4，请说明下面3对角的大小关系(是相等还是互补)，并说明理由．
(1)∠2和∠3；
(2)∠3和∠5；
(3)∠5和∠6.
解：(1)∠2和∠3相等，理由：
因为∠1＝∠3，∠2＝∠4，又∠1＝∠4，
所以∠2＝∠3.
(2)∠3和∠5互补，理由：
因为∠2＋∠5＝180°，又∠2＝∠3，
所以∠3＋∠5＝180°.
(3)∠5和∠6相等，理由：
因为∠3＋∠6＝180°，∠3＋∠5＝180°，
所以∠5＝∠6.4.5 垂线
第1课时 垂线
基础题
知识点1 垂线的概念
1．如图，AO⊥OB，垂足为O，OC平分∠AOB，则∠AOC的度数为(C)
A．30°
B．40°
C．45°
D．90°
2．如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠DOB＝46°，则∠COA的大小是(B)
A．34°
B．44°
C．54°
D．64°
3．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，则图中∠1和∠2的关系是(C)
A．互余
B．互补
C．相等
D．以上都不对
4．如图，平面内三条直线交于点O，∠1＝30°，∠2＝60°，AB与CD的关系是(B)
A．平行
B．垂直
C．重合
D．以上均有可能
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为(C)
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
6．(南通中考)已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于30度．
7．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1＝48°，那么∠2＝42度．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，∠BOF＝15°，求∠COE的度数．
解：因为OF平分∠BOD，∠BOF＝15°，
所以∠BOD＝2∠BOF＝30°.
又∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOC＝30°.
因为EO⊥AB，
所以∠AOC＋∠COE＝90°.
所以∠COE＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°.
知识点2 垂线与平行线
9．(重庆中考)如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1＝50°，则∠2等于(B)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
10．如图，∠1＝∠2，DE⊥AB于点D，则BC与AB的位置关系是垂直．
11．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3，AD平分∠BAC吗？为什么？
解：AD平分∠BAC.
因为AD⊥BC，EG⊥BC，
所以AD∥EG.
所以∠1＝∠E，∠2＝∠3.
因为∠3＝∠E，
所以∠1＝∠2.
所以AD平分∠BAC.
中档题
12．(贵阳中考)如图，a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为(B)
A．38°
B．52°
C．76°
D．142°
13．如图，CD⊥EF于F，AB⊥EF与E，已知∠1＝60°，则∠2＝(C)
A．20°
B．60°
C．30°
D．45°
14．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝(D)
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
15．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为(D)
A．30°
B．60°
C．150°
D．30°或150°
16．如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，交AB于点E，若∠1＝25°，则∠2＝65°．
17．如图，已知∠ADE＝∠B，FG⊥AB，∠EDC＝∠GFB，试说明：CD⊥AB.
解：因为∠ADE＝∠B，
所以DE∥BC.
所以∠EDC＝∠DCB.
因为∠EDC＝∠GFB，
所以∠DCB＝∠GFB.
所以FG∥CD.
又因为FG⊥AB，
所以CD⊥AB.
18．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说出理由．
解：(1)因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC，
所以∠BOC＋∠BOC＝180°.
解得∠BOC＝135°.
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－135°＝45°.
因为OC平分∠AOD，
所以∠COD＝∠AOC＝45°.
(2)OD⊥AB.
理由：由(1)知∠AOC＝∠COD＝45°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°.
所以OD⊥AB.
综合题
19．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE⊥OD.
(1)求∠BOD的度数；
(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
解：(1)因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠DOC＝∠AOC＝×50°＝25°.
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－25°＝155°.
(2)因为OE⊥OD，
所以∠DOE＝90°.
因为∠DOC＝25°，
所以∠COE＝∠DOE－∠DOC＝90°－25°＝65°.
因为∠BOD＝155°，∠DOE＝90°，
所以∠BOE＝∠BOD－∠DOE＝155°－90°＝65°.
所以∠COE＝∠BOE，即OE平分∠BOC.4.6 两条平行线间的距离
基础题
知识点1 公垂线段的概念及其性质
1．两条平行线的公垂线段有(D)
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
2．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，CD于N，EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是(B)
A．线段MN
B．线段EF
C．线段OE
D．线段OF
3．如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，DB⊥l2，AC＝6
cm，则BD＝6cm.
4．如图，地面上一样长的电线杆AB，CD与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A、C之间的距离，他没有梯子，于是就测量了底端BD间的距离，他认为B、D的距离等于A、C间的距离，你认为对吗？对(填“对”或“不对”)，依据是两条平行线的所有公垂线段都相等．
5．如图，已知AB∥CD，点P为AB上一点，请过点P作AB与CD的公垂线段．
解：如图，PE就是所求作的公垂线段．
知识点2 两条平行线间的距离
6．两条平行线间的距离是指它们的(C)
A．公垂线
B．公垂线段
C．公垂线段的长度
D．以上都不对
7．如图，a∥b，下列线段的长度是a，b之间的距离的是(C)
A．AB
B．AE
C．EF
D．BC
8．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将(C)
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝3
cm，BC＝2
cm，则AD与BC之间的距离为3cm.
10．如图，DE⊥AB于点E，经测量AD＝BC＝1.8
cm，DE＝1.5
cm.AB与CD两平行线间的距离是1.5
cm还是1.8
cm？为什么？点C到AB的距离是多少？
解：1.5
cm，因为两平行线间的距离为公垂线段的长度．点C到AB的距离为1.5
cm.
中档题
11．如图是一个长方形，则图中表示AD与BC之间的公垂线段的有
(B)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
12．若a∥b，直线a上一点A到直线b的距离为3，则直线a与b之间的距离(A)
A．等于3
B．大于3
C．不小于3
D．小于3
13．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AD∥BC，若AB＝3
cm，AD＝4
cm，则BC的长为(B)
A．3
cm
B．4
cm
C．3
cm或4
cm
D．不确定
14．一点到两平行线的距离分别是1
cm和3
cm，则这两平行线间的距离为(D)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．2
cm或4
cm
15．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和三角形ABD面积相等的三角形(不包括三角形ABD)有(B)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2.直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为3或7．
17．如图，河的两岸AB∥CD，现想在点M处建一座桥MN，并且使MN的长度最小，请在图中画出点N的位置．
解：如图所示．
18．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
解：因为AB∥EF，CD∥EG，
所以∠AEF＋∠A＝180°，∠DEG＋∠D＝180°.
因为∠A＝∠D，
所以∠AEF＝∠DEG.
因为EH平分∠FEG，
所以∠FEH＝∠GEH.
所以∠AEF＋∠FEH＝×180°＝90°.
即∠AEH＝90°.所以EH⊥AD.
又因为AD∥BC，
所以EH⊥BC.
所以线段EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离．
综合题
19．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时．乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，求两船距离最近时的时刻．
解：设x分钟后两船距离最近．
如图，当EF⊥BD，AE＝DF时，两船距离最近．
根据题意，得36x＝18.9－27x.
解得x＝0.3.
0．3小时＝18分钟，
则两船距离最近时的时刻为7：33.第2课时 平行线的判定方法2，3
基础题
知识点1 平行线的判定方法2，3
1．(汕尾中考)如图，能判定EB∥AC的条件是(D)
A．∠C＝∠ABE
B．∠A＝∠EBD
C．∠C＝∠ABC
D．∠A＝∠ABE
2．(永州中考)如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是(C)
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠5
C．∠1＋∠3＝180°
D．∠3＝∠5
3．如图，两直线AB，CD被第三条直线EF所截，∠1＝70°，下列说法中，不正确的是(C)
A．若∠5＝70°，则AB∥CD
B．若∠3＝70°，则AB∥CD
C．若∠4＝70°，则AB∥CD
D．若∠4＝110°，则AB∥CD
4．如图，(1)如果∠ACB＝∠EAC，那么DE∥BC；(2)如果∠ABC＋∠EAB＝180°，那么DE∥BC.
5．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据同旁内角互补，两直线平行．
6．如图，点E是AB上一点，点F是DC上一点，点G是BC延长线上一点．
(1)如果∠B＝∠DCG，可以判断哪两条直线平行？请说明理由；
(2)如果∠DCG＝∠D，可以判断哪两条直线平行？请说明理由；
(3)如果∠DFE＋∠D＝180°，可以判断哪两条直线平行？请说明理由．
解：(1)AB∥CD.理由：
因为∠B＝∠DCG，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(2)AD∥BC.理由：
因为∠DCG＝∠D，
所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
(3)AD∥EF.理由：
因为∠DFE＋∠D＝180°，
所以AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
知识点2 平行线的判定与性质的综合运用
7．如图，∠1与∠2互补，∠3＝130°，则∠4的度数是(C)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
8．如图，若∠1＝50°，∠C＝50°，∠2＝120°，则∠B＝(C)
A．40°
B．50°
C．60°
D．120°
9．如图，∠1＝60°，∠2＝∠3，则∠ADC＝60°．
10．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明：BE∥CF.
解：因为AB∥CD，
所以∠ABC＝∠BCD.
因为∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠BCF.
所以BE∥CF.
中档题
11．如图，下列说法错误的是(A)
A．若∠3＝∠2，则b∥c
B．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
C．若∠1＝∠2，则a∥c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
12．如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且DF∥BC，要使EF∥AB，只需要再满足下列条件中的(C)
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠AFD
C．∠1＝∠DFE
D．∠2＝∠CFE
13．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠A＝∠4；③∠1＝∠4；④∠A＋∠3＝180°；⑤∠C＝∠BDE，其中能判定AB∥DF的有(B)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
14．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝72度．
15．如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？
解：平行．
理由：因为∠1＝∠2，所以a∥b.
又因为∠3＋∠4＝180°，所以b∥c.
所以a∥c.
16．如图，已知AB∥DE，∠1＝∠2，直线AE与DC平行吗？请说明理由．
解：AE∥DC.
理由如下：
因为AB∥DE，
所以∠1＝∠AED.
因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠AED.
所以AE∥DC.
17．如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2，试说明：∠E＝∠F.
解：因为∠BAP＋∠APD＝180°，
所以AB∥CD.
所以∠BAP＝∠APC.
又因为∠1＝∠2，
所以∠EAP＝∠FPA.
所以AE∥PF.
所以∠E＝∠F.
综合题
18．如图，已知∠HDC＋∠ABC＝180°，∠HFD＝∠BEG，∠H＝20°，求∠G的度数．
解：因为∠HFD＝∠BEG，
∠BEG＝∠AEF，
所以∠HFD＝∠AEF.
所以DC∥AB.
所以∠HDC＝∠DAB.
因为∠HDC＋∠ABC＝180°，
所以∠DAB＋∠ABC＝180°.
所以AD∥BC.
所以∠H＝∠G.
因为∠H＝20°，
所以∠G＝20°.4．3 平行线的性质
基础题
知识点1 两直线平行，同位角相等
1．(茂名中考)如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(C)
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
2．(荆州中考)如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F.若∠1＝115°，则∠2的度数是(B)
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
3．(天水中考)如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD＝70°，则∠BOG的度数是(C)
A．70°
B．20°
C．35°
D．40°
知识点2 两直线平行，内错角相等
4．(衡阳中考)如图，AB∥CD，如果∠B＝20°，那么∠C为(B)
A．40°
B．20°
C．60°
D．70°
5．(新疆中考)如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B＝36°，则∠DCE等于(A)
A．18°
B．36°
C．45°
D．54°
6．(云南中考)如图，直线l1∥l2，并且被直线l3、l4所截，则∠α＝64°．
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
7．(宁波中考)如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(B)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．(衡阳中考)如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是60°．
知识点4 平行线性质的综合运用
9．(德州中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为(A)
A．30°
B．60°
C．80°
D．120°
10．如图，AB∥CD，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则∠CDF＝(A)
A．60°
B．120°
C．150°
D．180°
11．(盐城中考)如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝70°．
12．如图，AD∥CE，AB∥DC，∠ABE＝72°，求∠C，∠D的度数．
解：因为AB∥DC，∠ABE＝72°，
所以∠C＝∠ABE＝72°.
因为AD∥CE，
所以∠D＝180°－∠C＝180°－72°＝108°.
中档题
13．(贵港中考)如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于点E、F，∠BEF的平分线与CD相交于点N.若∠1＝63°，则∠2＝(D)
A．64°
B．63°
C．60°
D．54°
14．如图，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有(C)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
15．(滨州中考)如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是(D)
A．∠EMB＝∠END
B．∠BMN＝∠MNC
C．∠CNH＝∠BPG
D．∠DNG＝∠AME
16．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于20°．
17．(益阳中考)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
解：因为AB∥CD，
所以∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD＋∠BDC＝180°.
因为BC平分∠ABD，
所以∠ABD＝2∠ABC＝130°.
所以∠BDC＝180°－∠ABD＝50°.
所以∠2＝∠BDC＝50°.
18．如图，在三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB.试问：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立吗？若成立，试写出推理过程；若不成立，请说明理由．
解：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立．
理由：因为DE∥AC，
所以∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF.
因为DF∥AB，
所以∠B＝∠CDF，∠A＝∠CFD.
所以∠A＝∠EDF.
因为∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
19．如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．
解：因为FG∥EC，∠ACE＝36°，
所以∠CAG＝∠ACE＝36°.
因为∠PAG＝12°，
所以∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝48°.
因为AP平分∠BAC，
所以∠BAP＝∠PAC＝48°.
所以∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝60°.
又因为DB∥FG，
所以∠ABD＝∠BAG＝60°.
综合题
20．(1)如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，求∠2和∠4的度数；
(2)本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳，试着用文字表述出来；
(3)利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．
解：(1)∠2＝115°，∠4＝65°.
(2)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
(3)设其中一个角为x°，则另一个角为(2x)°，根据(2)，则
x＋2x＝180.解得x＝60.
故这两个角分别为60°，120°.
