《第4章因式分解》单元测试含答案解析

《第4章
因式分解》
　
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形，正确的是（　　）
A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y）
B．﹣a+b=﹣（a+b）
C．（y﹣x）2=（x﹣y）2
D．（a﹣b）3=（b﹣a）3
2．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　　）
A．m+1
B．2m
C．2
D．m+2
3．把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．5a
B．（x+y）2
C．5（x+y）2
D．5a（x+y）2
4．将多项式a（b﹣2）﹣a2（2﹣b）因式分解的结果是（　　）
A．（b﹣2）（a+a2）
B．（b﹣2）（a﹣a2）
C．a（b﹣2）（a+1）
D．a（b﹣2）（a﹣1）
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）
B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）
C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）
D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）
　
二、填空题
6．把多项式（x﹣2）2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是　　
解：原式=（x﹣2）2﹣（4x﹣8）…A
=（x﹣2）2﹣4（x﹣2）…B
=（x﹣2）（x﹣2+4）…C
=（x﹣2）（x+2）…D．
7．﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是　　；
（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是　　．
8．分解因式：（x+3）2﹣（x+3）=　　．
9．因式分解：n（m﹣n）（p﹣q）﹣n（n﹣m）（p﹣q）=　　．
10．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　　．
　
三、解答题
11．将下列各式因式分解：
（1）5a3b（a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；
（2）（b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）；
（3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b）（8b﹣7a）；
（4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d．
12．若x，y满足，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3的值．
13．先阅读下面的材料，再因式分解：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得至a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2：
（2）m2﹣mn+mx﹣nx；
（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．
14．求使不等式成立的x的取值范围：
（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）≥0．
15．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2
解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）[（1+x）+x（1+x）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？
16．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=12，求x、y的值．
　
《第4章
因式分解》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形，正确的是（　　）
A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y）
B．﹣a+b=﹣（a+b）
C．（y﹣x）2=（x﹣y）2
D．（a﹣b）3=（b﹣a）3
【考点】完全平方公式；去括号与添括号．
【分析】A、B都是利用添括号法则进行变形，C、利用完全平方公式计算即可；D、利用立方差公式计算即可．
【解答】解：A、∵﹣x﹣y=﹣（x+y），
故此选项错误；
B、∵﹣a+b=﹣（a﹣b），
故此选项错误；
C、∵（y﹣x）2=y2﹣2xy+x2=（x﹣y）2，
故此选项正确；
D、∵（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
（b﹣a）3=b3﹣3ab2+3a2b﹣a3，
∴（a﹣b）3≠（b﹣a）3，
故此选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．括号前是“﹣”号，括到括号里各项都变号，括号前是“+”号，括到括号里各项不变号．
　
2．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　　）
A．m+1
B．2m
C．2
D．m+2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】压轴题．
【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．
【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），
=（m﹣1）（m+1+1），
=（m﹣1）（m+2）．
故选D．
【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．
　
3．把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．5a
B．（x+y）2
C．5（x+y）2
D．5a（x+y）2
【考点】公因式．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2
故选D
【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
　
4．将多项式a（b﹣2）﹣a2（2﹣b）因式分解的结果是（　　）
A．（b﹣2）（a+a2）
B．（b﹣2）（a﹣a2）
C．a（b﹣2）（a+1）
D．a（b﹣2）（a﹣1）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】找出公因式直接提取a（b﹣2）进而得出即可．
【解答】解：a（b﹣2）﹣a2（2﹣b）
=a（b﹣2）（1+a）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
　
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）
B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）
C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）
D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】把每一个整式都因式分解，比较结果得出答案即可．
【解答】解：A、mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项正确；
B、6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项错误；
C、3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项错误；
D、3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．
　
二、填空题
6．把多项式（x﹣2）2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是　C　
解：原式=（x﹣2）2﹣（4x﹣8）…A
=（x﹣2）2﹣4（x﹣2）…B
=（x﹣2）（x﹣2+4）…C
=（x﹣2）（x+2）…D．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】利用提取公因式法一步步因式分解，逐一对比进行判定，得出答案即可．
【解答】解：原式═（x﹣2）2﹣（4x﹣8）…A
=（x﹣2）2﹣4（x﹣2）…B
=（x﹣2）（x﹣2﹣4）…C
=（x﹣2）（x﹣6）…D．
通过对比可以发现因式分解开始出现错误的一步是C．
故答案为：C．
【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．
　
7．﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是　x（x+y）2　；
（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是　4（m﹣n）　．
【考点】公因式．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；
（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．
故答案为：4（m﹣n）x（x+y）2．
【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
　
8．分解因式：（x+3）2﹣（x+3）=　（x+2）（x+3）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】本题考查提公因式法分解因式．将原式的公因式（x﹣3）提出即可得出答案．
【解答】解：（x+3）2﹣（x+3），
=（x+3）（x+3﹣1），
=（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
　
9．因式分解：n（m﹣n）（p﹣q）﹣n（n﹣m）（p﹣q）=　2n（m﹣n）（p﹣q）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】首先得出公因式为n（m﹣n）（p﹣q），进而提取公因式得出即可．
【解答】解：n（m﹣n）（p﹣q）﹣n（n﹣m）（p﹣q）
=n（m﹣n）（p﹣q）+n（m﹣n）（p﹣q）
=2n（m﹣n）（p﹣q）．
故答案为：2n（m﹣n）（p﹣q）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
　
10．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　﹣31　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】压轴题．
【分析】首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可得到a、b的值，进而可算出a+3b的值．
【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），
=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），
=（3x﹣7）（x﹣8）
=（3x+a）（x+b），
则a=﹣7，b=﹣8，
故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，
故答案为：﹣31．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．
　
三、解答题
11．将下列各式因式分解：
（1）5a3b（a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；
（2）（b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）；
（3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b）（8b﹣7a）；
（4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】均直接提取公因式即可因式分解．
【解答】解：（1）5a3b（a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2
=5a3b（a﹣b）2（a﹣b﹣2ab2）
（2）（b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）
=（a﹣b）（a﹣b+a﹣b）
=2（a﹣b）2；
（3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b）（8b﹣7a）
=（7a﹣8b）（3a﹣4b﹣11a+12b）
=8（7a﹣8b）（b﹣a）
（4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d
=（b+c﹣d）（x+y﹣1）．
【点评】考查了因式分解的知识，解题的关键是仔细观察题目，并确定公因式．
　
12．若x，y满足，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3的值．
【考点】因式分解的应用；解二元一次方程组．
【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3，
=7y（x﹣3y）2+2（x﹣3y）3，
=（x﹣3y）2[7y+2（x﹣3y）]，
=（x﹣3y）2（2x+y），
当时，原式=12×6=6．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
　
13．先阅读下面的材料，再因式分解：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得至a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2：
（2）m2﹣mn+mx﹣nx；
（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】阅读型．
【分析】（1）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可；
（2）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可；
（3）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可．
【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）+b（c﹣b）=（a﹣b）（b﹣c）；
（2）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m﹣x）；
（3）xy2﹣2xy+2y﹣4
=xy（y﹣2）+2（y﹣2）
=（y﹣2）（xy+2）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组进而提取公因式是解题关键．
　
14．求使不等式成立的x的取值范围：
（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）≥0．
【考点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式．
【分析】首先把x2﹣2x+3因式分解为（x﹣1）（x﹣2），进一步利用提取公因式法以及非负数的性质，探讨得出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）
=（x﹣1）3﹣（x﹣1）2（x﹣2）
=（x﹣1）2（x+1）；
因（x﹣1）2是非负数，要使（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）≥0，
只要x+1≥0即可，
即x≥﹣1．
【点评】此题考查提取公因式法因式分解，结合非负数的性质来探讨不等式的解法．
　
15．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2
解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）[（1+x）+x（1+x）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据题目提供的解答过程，数出提取的公因式的次数即可；
（2）根据总结的规律写出来即可．
【解答】解：（1）共提取了两次公因式；
（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是从题目提供的材料确定提取的公因式的次数．
　
16．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=12，求x、y的值．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】首先把等号右边的整式因式分解，得出关于x、y的整式的乘法算式，对应12的分解，得出答案即可．
【解答】解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
=（x﹣y）（x+y）；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证（4﹣2）×（4+2）=2×6符合条件；
所以x=4，y=2．
【点评】此题考查提取公因式因式分解，进一步利用题目中的条件限制分析探讨得出答案．
　
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