轨迹问题中的合情推理和演绎推理
由于轨迹问题渗透着集合、运动和数形结合等重要思想，具有涉及面广，综合性强，技能要求高等特点，近年来，越来越多地出现在中考压轴题中.这类题型与通常给出图形的几何证明与计算题不同，需要经历一个“据性索图”的推理过程.本文举例对轨迹问题进行解析.
题目
(2016年日照)阅读理解:
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.
例如，角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.
问题:如图1，已知为的中位线,
是边上一动点，连结交于点，那么动点为线段中点.
理由:
线段为的中位线，
,
由平行线分线段成比例得，动点为线段中点.
由此你得到动点的运动轨迹是:
.
知识应用:
如图2，已知为等边边、上的动点，连结；若,且等边的边长为8，求线段中点的运动轨迹的长.
拓展提高:
如图3,
为线段上一动点(点不与点、重合)，在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为.
(1)求的度数;
(2)若，求动点运动轨迹的长.
一、运动轨迹是线段
动点是与的交点，根据轨迹的定义易知，动点的运动轨迹是线段.
1.合情推理，三点共线
知识应用中，因为点可与点、重合，点可与点、重合，要判断线段中点的运动轨迹，可以通过画出起点、终点、中间点进行探索.
如图4，当时，动点运动到的中点，将的中点记为运动轨迹的起点；
当时，动点运动到的中点，将的中点记为运动轨迹的终点;
当时，满足条件的任意一点记为中间点.
通过观察，可以发现、、在同一直线上，因此可以猜想出动点的运动轨迹是线段.
2.演绎推理，证明平角
在猜想出的运动轨进是线段后、需要演绎推理判断猜想的正确性.
在图2中，分别作出的中点,的中点.要确定动点始终在线段上，需要连结、，证明为平角，如图5.
在上取，连结，在上取,连结.
由,，得，
又因为为的中点，得,
易知是的中位线，得.
同理，，又易知,
故.
由于线段是的中位线，即的运动轨迹的长为3.
二、运动轨迹是圆弧
拓展提高(1)中，根据证明，易知.
1.合接推理，三点不共线
拓展提高(2)中，因为点不与点、重合，要判断、交点的运动轨迹，可以通过画出两个极限点和中间点进行探索.
如图3，当点无限接近点时，动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的一个极限点.
当点无限接近点时，动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的另一个极限点;
当点在上时，满足条件的任意一点中间点.通过观察，发现、、不在同
一直线上，因此可以猜想出动点的运动轨迹是圆弧.
2.演绎推理,计算角度
猜想之后，同样需要演绎推理判断猜想的正确性.
通过拓展提高(1)，可以发现，这正好是点轨迹为圆弧的演绎推理，
说明了是的圆周角.
而对运动轨迹长度的计算，可以利用作外心的方法找到圆心补齐圆求解，如
图6.
在圆上任惫取一点，连绪，得，
所以.
作于点,
易知，
所以弧的长=，
故动点运动轨迹的长.
以上问题中包含了初中数学轨迹问题中的两种典型情况:线段或圆弧
.在研究轨迹问题时，需要找到三个静止的点，合情推理出轨迹形状，然后进行逻辑推理证明角的度数，从而计算出轨迹长度.浅谈解决初中数学题的方法与策略
解决数学问题就是将数学问题转化为最熟悉的基本问题加以解决.因此我认为，解决数学问题这一过程可分为以下几个阶段.
一、弄清问题，即审题
每道数学题都有条件和结论，审题时要逐字逐句认真阅读，兼顾条件与结论.有的数学问题题意含蓄，目标隐晦，这时应该指导学生在着手制定、实施解题方案之前，由表及里，力求先搞清楚目标，化隐为显，挖掘出题目中的隐性条件，为最终解决问题打下基础，使得思维活动更加有的放矢.
例1
某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同要求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方式外，还推出了一种购买个人年票的售票方式(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)门票分为A、B、C三类，A类每张120元，持票者进入园林后无需再买门票，B类年票每张60元，持票者进入园林后，需再买门票每次2元，C类门票40元，持票者进入园林后再买门票每次3元.
(1)如果你选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林门票上，试通过计算，找出可进入该园林的次数最多的购票方式;
(2)求一年中进入园林至少多少次，购买A类年票比较合算
解
(1)由题意知，不能选A类年票120元.
若选B类年票，则可进入园林(次)
若选C类年票，则可进入园林(次)
若不买年票，则可进入园林(次)
由此可知，应选C类年票.
(2)至少超过次时，购买A类年票最划算，则由题意，有,解之,得.
因此一年中进入园林次数超过30次时，购买A类年票最合算.
二、拟定计划
学生解题能力的高低，取决于学生的素质，即知识结构与认知结构.它们与解题能力的关系，恰如屋基与高楼，树根与大树的关系.因此，培养学生的解题能力，一定要从数学基本理论，基本技能和基本方法的教学抓起.
例2
如果抛物线与轴交于、两点，且点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，的长是的长是.
(1)求的取值范围;
(2)若，求的值，并写出此时抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线与轴交于点，抛物线的顶点是，问:抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的8倍 若存在，求出点坐标;若不存在，请说明理由.
分析
这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难.第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求的面积时要用分割法，因为是任意三角形，它的面积不好求，而和的面积都好求，底都为，高都是1.
，这样就化难为易了.方程有解则点存在，如果方程无解则点不存在，探索性题的思路都是这样的.
解
(1)设、两点的坐标分别为.因为、两点在原点的两侧，所以，即.
.
当时，，所以的取值范围是.
(2)因为，设，则，所以
，
解得.因为时.
(不合题意，舍去).所以.
所以抛物线的解析式是.
(3)易求抛物线与轴的两个交点坐标是(3,0),(－1,0);抛物线与轴交点坐标是(0,3
);顶点坐标是(
1
,4).设直线的解析式为，则,解得.
所以直线的解析式是.设直线与轴交于，则点坐标是(0,2).所以
.
设点坐标是，因为，所以，即.
所以，由此得.
当时,点与点重合，即(1
,4
)
;
当时，，解得.所以满足条件的点存在.
点坐标是(1,4)，(，－4)，(，－4).
三、实现计划
教师在教学过程中要以身作则，做出示范，严格要求自己，成为学生的榜样，逐步培养学生严谨的表达能力.
例3
四边形中，，若
，求的长.
分析
(1)此题的解题过程，体现了两种转化:1)题目图中有斜三角形，一般通过添适当的辅助线使之转化为直角三角形.2)把条件先集中到一个直角三角形中，使其首先可解，求出这个直角三角形的其他元素之后，使相邻的直角三角形也可解.
解
过点作于点.
在中，.
.
,
.
.
在中，，
.
四、反思一题多解和解题全面
为了提高解题能力，应该培养学生全面思考的能力和多种方法的探究，倡导和训练学生进行有效的解题反思.
例4
如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于(3,0),
(0,
)两点，点为线段上的一动点.过点作轴于点.
(1)
求直线的解析式;
(2)若，求点的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似 若存在，请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在，请说明理由.
分析
(1)由待定系数法直接求出其解析式.(2)由题意可得是知道的，从而可求出.又由可得出，由此可得点的坐标.(3)要使以、、为顶点的三角形与相似，就应该考虑到，这三种情况，并分别予以讨论.
解
(1)直线解析式为.
(2)方法一:
，
.
由，得.
，可得.
.
.
方法二:设点坐标为,
那么.
.
由题意：，
解得(舍去)，
.
(3)第一种情况:当时,(如图)
①若，则,
，
②若，则.
.
第二种情况:当时，
①过点作于点(如图)，此时;
②，
过点作于点.
方法一:在中，.
在中，，
.
.
方法二：设,得,.
由，得.
,
,解得.此时，.
②若(如图)，则.
.
.
(由对称性也可得到点的坐标)
第三种情况:当时，点在轴上，不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是:.
总之，学生解题能力的培养与提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉动就能做好的，需要教师根据教学实标，坚持有目的、计划地进行培养和训练.巧用常值换元法解题
常值换元是指把题目中的常数用字母来代换，达到化难为易，顺利解题的目的，颇有欲擒故纵的味道，举例如下.
一、用常值换元法计算
例1
(杭州市“思维数学”夏令营数学竞赛题)计算:
的结果应该是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
令
则原式
.
故选A.
例2
(西安市竞赛题)
解
令
则，
∴原式
二、用常值换元法因式分解
例3
(江苏省竞赛题)分解因式:
解
令，则.
∴原式
.
三、用常值换元法证明
例4
(第十二届“五羊杯”初中数学竞赛题)设为自然数，则
.
(A)A为完全平方数
(B)A为7的倍数
(C)A恰好有3个约数
(D)以上结论都不对
解
令,
则，
故选(A).
四、用常值换元法构造方程.
例5
(第四届全国数学公开赛试题)已知实数、、满足，且，求的值.
解析
令，则等式可变形为
方程根的定义，可知是方程的一根.
观察知，当时，成立，
所以是方程的一根.
由，知方程是关于的一元二次方程.
由根与系数的关系，得
，.
.
例6
(上海市初中数学竞赛题)解方程:
.
解
令，则原方程变形为
,
整理得.
解上述关于的一元二次方程，得
.
，或.
解上述两个关于的一元二次方程，得
，，，.巧用等角条件
生成自然解法
二次函数与三角形知识相综合的问题中，其已知条件含一对角相等或与角有关的数量关系，要求解决相关问题.本文通过例题对这一类问题的解题策略作一初步的研究.
一、借助锐角三角比，发挥等角作用
例题1
(2016年上海市中考题)如图1,抛物线经过点(4，-5)，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且,抛物线的顶点为点.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结、、、，求四边形的面积;
(3)如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标.
图1
解
(1)根据抛物线表达式，可知点坐标为(0，-5).由条件，可得点坐标为(-1,0).又已知过点(4，-5)，可得这条抛物线的表达式为.
(2)连结.
抛物线的表达式为,
，
.
,,
.
(3)过点作，垂足为点.
,
又的面积为10,
,
,又.
在Rt中，
，
.
在Rt
中，
,
,
,
.
点评
第(3)小题中已知条件给出一对角相等，求满足条件的点的坐标.将问题与第(2)小题相联系，即可知利用等积法求出边上的高，为在锐角三角比中发挥等角的作用搭设好“脚手架”，解题思路自然、顺畅，一气呵成.
二、构造相似三角形，建立等量关系
对于此题中的第(3)题，由已知条件中给出一对角相等，我们也可以从相似三角形的角度出发，尝试解决问题.
记与轴相交于点.
(4，-5)
,
(-1,0)，
直线的表达式为，
又的坐标为(0，-1)，.
，又,
∽,,
,
解得.
点评
根据已知一对角相等，把已知的这对等角放在和中，学生容易借助图形直观挖掘图形特征，寻找隐含条件另一对相等的角，证明这两个三角形相似，得出对应边成比例，建立等量关系，从而求出点的坐标.
对于利用相似三角形的方法，我们还可以从其他角度观察并寻找解题途径:将已知的这一对等角放在与中，观察的特征，不难发现，进而可以证明，所以这两个三角形相似，求出点的坐标，具体如下:
(4，-5)
,
(-1,0)，，
直线的表达式为,
其与轴的交点的坐标为(0，-1)，
.
又轴，
,
.
又,
∽,
,
解得.
点评
这种解法是利用含有45°角的两个三角形相似求解相关点的坐标.根据与相似，可以推出三边对应成比例，选取两对边对应成比例，联立方程，解方程即可.
对于利用相似三角形解题，还有其他构造方法.如，将放在中，发现，因此可以构造一个含有135°的钝角三角形，且其中一个角为，所以可以在轴的正半轴上截取，所以∽，进而求出点的坐标.
三、构造几何图形，借助图形性质
例题2
(2012年上海中考题)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(4,0),
(-1,0)，与轴交于点，点在线段上，，点在第二象限，，垂足为.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段、的长(用含的代数式表示);
(3)当时，求的值.
解
(1)由题意得二次函数的解析式为.
(2),
.
,
,
.
又,
∽,
.
.
，点(4,0)，
.
(3)延长交轴于点.
.
设,
,
.
,
又,
.
点评
本题第(3)小题中已知条件是一对角相等，自然联想到将这一对角如果放在一个三角形中就构成一个等腰三角形，从而想到“等角对等边”，求出的长，再由，的条件建立等量关系，解出的值.本题的解法较多，也可以利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的长.无论哪种解法，解决问题的关键都是使用已知的这一对等角，结合已知条件，构造相关几何图形，发挥这一对角的作用.如，还可以把这一对角放在一个梯形中，构造等腰梯形;放在两个三角形中，构造全等三角形。这些的方法的自然生成都离不开对几何图形性质的理解和学习经验的积累.
四、转化已知条件，寻找基本图形
例题3
在平面直角坐标系中，将抛物线
向下平移使之经过点
(8,0)，平移后
的抛物线交轴于点.点在平移后抛物线的对称
轴上且位于第一象限，连结、，当
时，求点坐标.
解
设平移后的抛物线表达式为，
又抛物线经过点(8,0)，
,
对称轴为直线.
记对称轴与轴，交于点.
轴，，
又,
，
又,
∽,.
轴，.
,
,
.
点评
在本题中，观察所给的两个等角，其中在Rt中，因此想到过点作的垂线构造直角三角形，再利用相似三角形性质或锐角三角比建立等量关系.但由于点的不确定，带来所在的三角形三边长无法确定，这种方法很难走下丢.于是再仔细观察图形，挖掘图形中的隐含条件，发现一组内错角相等，从而将已知条件“”转化为“”，这样再利用推出的这一对相等的角，构造相似三角形、建立等量关系，进而解决间题。这样，通过题干信息和图形信息相结合，推出新的已知条件将问题转化为常见的相似基本图形.
可见，在解决问题的过程中思维受阻时，转换思维角度，利用化归思想使得问题得以顺利解决，这也是思维的自然发展.
在这此类问题中，如何利用已知“等角”成为解决问题的关键.“等角”条件不可能孤立存在，在解决问题的过程中，我们要对条件之间可能存在的关联作出判断，尝试发现已有条件的衍生并再加工，让思维趋于自然顺畅，最终达到解决问题的目的.
