九年级下册第5章 二次函数全章学案

5.1
二次函数（教案）
学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
学习重点和难点：体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数
【复习回顾】
1、一元二次方程的一般形式是
,其中二次项是
、一次项是
、常数项是
.
2、若关于方程是一元二次方程，则K=
【新知探索
】
一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，这其中圆的面积S与半径r之间的函数关系式是
.
用16m长的篱笆围成长方形的圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
.
3、要给一个边长为x(m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果人工费用为1000元，那么总费用
y(元)
与x(m)
之间的函数关系式是
.
一般地，形如
，（
，且
）的函数为二次函数。其中是自变量，
函数。通常，二次函数中自变量的取值范围是
。
【巩固练习】
1.下列函数①②③
④⑤⑥
⑦⑧中是二次
函数的有
2.对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是(
)
A、y=(k-1)2x2
B、y=(k+1)2x2
C、y=(k2+1)x2
D、y=(k2-1)x2
【例题学习】
例1．当k为何值时，函数为二次函数？
例2.已知二次函数的二次项系数是1，当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-
5.求这个二次函数的解析式.
例3.如图，用长为24m的篱笆，一面靠墙（墙的最大长度是10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃的一边AB为x
m,面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)若要使花圃面积为45m2,则AB的长应该为多少
【随堂练习】
1、体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD.
设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.
2、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米.
（1）求与之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长与宽.
5.2二次函数y=ax2的图像和性质（1）（教案）
【学习目标】
1、经历探索二次函数图像作法的过程，进一步感受应用图像发现函数性质的经验.
2、能利用描点法作出函数的图像，能根据图像初步了解二次函数的性质.
3、说出二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等性质.
【新知探索
】
1.画二次函数y＝x2的图象.
x
…
　
　
　
　
　
…
y=x2
…
　
　
　
　
　
…
2.画二次函数y＝-x2的图象.
x
…
　
　
　
　
　
…
y=-x2
…
　
　
　
　
　
…
【巩固练习】
1、在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：①；②．
x
…
　
　
　
　
　
…
y=0.5x2
…
　
　
　
　
　
…
x
…
　
　
　
　
　
…
y=-0.5x2
…
　
　
　
　
　
…
在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：①；
②．
x
…
　
　
　
　
　
…
y=2x2
…
　
　
　
　
　
…
x
…
　
　
　
　
　
…
y=-2x2
…
　
　
　
　
　
…
【例题学习】
例1、（1）分别说出下列函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴：
开口方向：
顶点坐标：
对
称
轴：
（2）填空：
①对于函数，当时函数值随着自变量的增大而　　
　；当＝　
　时，函数有最
，最
值是
；
②对于函数，当时函数值随着自变量的增大而　　
　；当＝　
　时，函数有最
，最
值是
．
（3）已知二次函数的图象经过点P（2，3），你能确定它的开口方向吗？你能确定的值吗？试试看；点Q（1，6）在它的图像上吗？
（4）抛物线上有A（2，y1）,B(3，y2),C(－1，y3)三点，比较y1，y2，y3的大小.
【随堂练习】
1、已知函数是y关于x的二次函数，请回答下列问题：
（1）求满足条件的m值；
（2）当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y值随x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点坐标是多少？当x在什么范围内，y的值随x的值增大而增大？
5.2二次函数y=ax2+c的图像和性质（3）（教案）
【复习回顾】
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
极值
【新知探索】
在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：
；
②．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
y=x2+1
…
…
y=x2-2
…
…
通过观察总结可得：
函数y=ax2
(a≠0)和函数y=ax2+c
(a≠0)的图象形状
，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。
【例题学习】
例1、已知函数y＝ax2与函数y＝－x2＋k的图象形状相同，且将函数y＝ax2的图象沿对称轴向下平移2
个单位，就能与函数y＝－x2＋k的图象完全重合，则a＝
，k＝
【巩固练习】
1、函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到；y=4x2-11的图象可由
y=4x2的图象向
平移
个单位得到.
2、将函数y=-3x2+4的图象向
平移
个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向
平移
个单位得到可由
y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向
平移
个单位可得到
y=x2+2的图象.
3、将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的
抛物线的函数式是
.
4、将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
.
通过观察总结可得y=ax2+c的性质：
（1）当a>0时，
抛物线y=ax2+c的开口
，
顶点坐标是
，
对称轴是
，
当x=
时，取得最
值，这个值等于
，
在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
.
（2）当a<0时，
抛物线y=ax2+c的开口
，
顶点坐标是
，
对称轴是
，
当x=
时，取得最
值，这个值等于
.
在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧,y随x的增大而
.
【例题学习】
（1）抛物线y=-3x2+5的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
，当x=
时，取得最
值，这个值等于
.
（2）抛物线y=7x2-3的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
，当x=
时，取得最
值，这个值等于
.
5.2
二次函数的图象和性质(4)
（教案）
【复习回顾】
函数
开口方向
对称轴
顶
点坐
标
Y的最值
增减性
在对称轴左侧
在对称轴右侧
y=ax2
a＞0
a＜0
y=ax2+c
a＞0
a＜0
【新知探索
】
1、在同一直角坐标系中画出抛物线y=(x+1)2,y=(x－1)2与y=x2.
x
…
…
y=(x+1)2
…
…
x
…
…
y=(x-1)2
…
…
性质总结：
【例题学习】
例1.
填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是
，开口
，对称轴是
，当x=
时，y有最
值，是
.
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y=
-3x2向
平移
个单位得到的；开口
，对称轴是
，当x=
时，y有最
值，是
.
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数
的图像，其对称轴是
，顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而增大；当x
时，y随x的增大而减小.
（4）将二次函数y=
-3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数
的图像，其顶点坐标是
，对称轴是
，当x=
时，y有最
值，是
.
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是
；将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是
；
（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=-
3（x-h）2的图象，则
a=
，h=
.若抛物线y=
a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y=
-
3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB=
（7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数
的图象，在向
平移
个单位得到函数y=
2（x-3）2的图象.
（8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向
，对称轴是
，顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而增大，当x=
时，y有最
值是
.
【随堂练习】
1、抛物线y=3(x－1)2与抛物线y=3x2的
相同，
不同.
2、抛物线y=－2(x+1)2的开口
对称轴
顶点坐标
3、在同一直角坐标系中，画出二次函数的图象.
并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点坐标.
x
…
…
…
…
x
…
…
…
…
x
…
…
…
…
开口方向：
顶点坐标：
5.2
二次函数的图象和性质(5)
（教案）
【复习回顾】
试在同一坐标系中作出函数y＝x2、
y＝（x＋1）2、y＝（x＋1）2＋2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
y=（x+1）2
…
…
y=（x+1）2+2
…
…
【新知探索】
1、函数y=2(x+5)2
-3的图象可由y=2x2的图象向
平移
个单位,再向
平移
个单位得到.
2、将函数y=-3(x+4)2-7的图象向
平移
个单位,再向
平移
个单位可得y=-3x2的图象；将抛物线y=3(x-7)2+5向
平移
个单位,再向
平移
个单位可得到抛物线
y=3(x+2)2
-3.
请探究思考：请探究的图像性质.
3、抛物线y=7（x-3）2+5的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而
，当x
时，y随x的增大而
，当x=
时，取得最
值，这个值等于
.
4、抛物线y=-（3x+9）2-7的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而增大，当x
时，y随x的增大而减小，当x=
时，取得最
值，这个值等于
.
5、说出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标.
（1）y=2(x+3)2+5
（2）
y=－3(x－1)2－2
开口方向：
顶点坐标：
对
称
轴：
【例题学习】
例1、根据抛物线的图象特征画出下列函数图象的草图.
　（1）y=－3(x+1)2+3　
（2）y=2(x－1)2
－
4
（3）y=4(x－3)2+7
例２.画出函数的草图.观察上面的图象，回答下列问题：
　（1）因为a＝
，所以抛物线的开口向
　
（2）顶点坐标是
　（3）对称轴是
　
（4）图象上点A（3，－9）关于对称轴对称的点A'的坐标为
例3.(1)将抛物线y=(x-2)2沿y轴向上或向下平移后，经过点(3，0)，
求所得的函数解析式为.
(2)求与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式.
【随堂练习】
1、函数的图象开口
，对称轴是
，当x
时，y有最
值是
2、二次函数y＝－2（x＋2）2－3的图象是由函数y＝－2x2先沿着y轴向
平移
个单位，再向
平移
个单位得到的，当x
时，y随x的增大而增大.
3、求将函数y＝－3（x－1）2－1的图象沿y轴翻折后得到的函数解析式.
5.2
二次函数的图象和性质(6)（配方和公式）（教案）
【复习回顾】
【新知探索】
将二次函数y＝x2＋2x＋3化成顶点式，并说明y＝x2＋2x＋3与y=x2
有何联系？
如何画出二次函数y＝x2＋2x＋3的图象？
【巩固练习】画出二次函数y＝－2x2－4x－6的图象.
【例题学习】
例1.求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
例2.求抛物线的对称轴和顶点坐标.
【随堂练习】
1、根据公式确定二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
2、请写出如图所示的抛物线的解析式：
3、函数y＝－x2＋4x＋5的顶点坐标是
，对称轴是
，当x
时，y随x的增大而减少，当x
时，y有最
值为
.
4、二次函数y＝－x2－2x的对称轴是
5、函数y＝ax2－4x－6的顶点横坐标是－2，则a＝
6、函数y＝ax2＋2x＋c的顶点是（，－1），求a、c的值.
7、已知抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值.
5.3
用待定系数法确定二次函数的表达式（教案）
【新课引入】
根据下列条件，求二次函数的解析式：
已知二次函数的图像经过（1，2）、（3，2）、（0，5）
三点；
抛物线顶点是（2，－1），且过点（－1，2）.
【新知探索】
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x+m)2+k
已知一抛物线经过
（3，0）、（2，－3）两点，并且以直线x=1为对称轴.
求抛物线的解析式.
【巩固练习】
根据下列条件求二次函数解析式：
已知二次函数，当x=3时，y有最小值为－2，并且经过点（5，0）；
（2）图象与x轴交于（－1
，0）、（5
，0），且函数的最大值为2.
【随堂练习】
1、如图,抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,求a的值和抛物线右侧的部分与x轴交点的坐标.
2、根据下列条件，确定二次函数的关系式.
（1）已知二次函数的图像经过（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）三点；
已知二次函数图像与x轴交于点A（－1，0）、
B（1，0），并且经过M（0，1）；
3、如果抛物线y＝x2－6x－c－2的顶点到x轴的距离是3，求c的值.
5.4
二次函数与一元二次方程（教案）
【新知探索】
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.
结论1：
探究2、抛物线与x轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
结论2：
1、
2、
3、
【巩固练习】
1、下列各抛物线与x轴是否有公共点，如果有，求出公共点的坐标.
（1）y=6x2-2x+1
（2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
2、判断下列各抛物线与坐标轴的交点个数.
（1）y=6x2-2x-1
（2）y=2x2-6x
3、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=
；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是
；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a=
；
4、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个公共点，则a的范围是
.
5、关于x的方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在
象限.
【随堂练习】
已知抛物线y=x2+2x+m+1与x轴只有一个公共点，求m的值.
抛物线y=-x2-x+12如图所示
①、x
时，y=0.
②、x
时，y>0.
x
时，y＜0.
3、(1)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？
(2)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条件是什么？
(3)不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是正值的条件是什么？
4、
已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式.
5.5
用二次函数解决问题（1）（教案）
情境创设
某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x
≤150）亩.预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440－2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？
合作交流
去年鱼塘饲养鱼苗10千尾，平均每千尾产量1000㎏，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾产量减少50㎏，应多投放鱼苗多少千尾？才能使总产量最大？最大总产量是多少？
例题学习
例1、某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.
设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
课后练习
1、某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价
x(元)之间存在一次函数关系．
（1）求每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)(x＞0)的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
2、盐城市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数y＝－10x＋500，
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元
5.5
用二次函数解决问题（2）（教案）
情境创设
用铝合金型材制作一个形状如图（1）所示的矩形窗框,设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2,y与x的函数图象如图（2）所示.
（1）观察图象，当x何值时，窗户透光面积最大？
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
例题学习
例1、小明的家门前有一块空地，为了美化生活环境，小明的爸爸准备修建一个矩形花圃，他买回了24米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示)．设AD=x米，则是否存在面积最大的矩形花圃？
若存在求出x的值；若不存在，请说明理由．
变题1：若空地外有一面围墙MN，
问：花圃的一边AD应为多少米才能使花圃的面积最大？最大值是多少？
变题2：若空地外有一面围墙MN为10米，
问：花圃的一边AD应为多少米才能使花圃的面积最大？最大值是多少？
例2
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
课后练习
1、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
D
C
B
A
总结：