三角形全等证明的基本类型与方法
三角形全等证明题怎么写，要注意什么 有没有什么套路可循 现将初中阶段常见的几种三角形全等证明题类型及思想方法分类说明.
一、弄清三角形全等证明题的基本类型
从苏科版数学八年级上册第一章和第二章中证明题的梳理归纳中发现按题目给定条件可将三角形全等证明题大致分为四种类型.具体如下:
1.条件(图形)中隐含公共线段
案例1
已知:如图，点、、、在同一直线上，，，.
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并说明理由.
分析
问题(1)由条件入手，直接找到三角形全等的两个条件，题目中的间接条件转化为三角形全等的第三个直接条件.本题许多学生容易犯错，把间接条件错误当成三角形全等的一组要素来使用.此类问题的条件简单，在审题时应提醒学生找到相等的线段在什么地方 平行的线段在哪 如把题目中的已知条件在图形上标出来之后即可发现问题(1)根据(SSS)方法即可证明三角形全等.问题(2)由三角形全等得到判定两直线平行的条件.
2.条件(图形)中隐含公共角
案例2
已知，如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上.与相交于点，与相交于点，与相交于点.
(1)求证:;
(2)求的度数;
(3)判断的形状并证明.
分析
问题(1)要证明，我们仔细观察几何图形不难发现有两个三角形的形状大小完全一样，由此启发我们想到只要证明即可.问题(2)怎么证明呢 还是先找到，然后认真观察几何图形，很容易猜想到是等腰三角形或等边三角形，通过观察发现可以通过旋转得到;或者△通过旋转得到.先得等腰三角形，再找一个角是，得到等边三角形结论.这一类型的几何证明关键是图形观察能力与数形结合能力.
3.两角与另外某一角的和相等
案例3
如图，是经过顶点的一条直线，.、分别是直线上两点.且.直线经过内部时，请解决下面两个问题：
(1)如图1，若;且，求的度数
(2)如图2，若，观察问题(1)中与两角关系，并添加一个与应满足的条件
，使.结合添加的条件，证明:.
分析
问题(1)学生经过计算后对“两个角与另外一个角和相等，那么这两个角相等”这样的等量代换关系也会有更深刻的认识，为解决后续问题(2)积累经验.如将题目改变一下:“如图3，直线经过的外部，，请提出关于、、三条线段数量关系的合理猜想，直接写出结论，不需证明.”变式后题目的形式发生变化，但基本思路方法不变，故提醒学生借鉴上一题的解题策略运用类比思想解决问题.
二、三角形全等证明方法的一般步骤
1.审题
要求一边读题一边根据题意、对照图形把题目中的已知条件和求证的结论，尽量用自己的语言说出来，明确题目已经告诉了什么.弄清哪些是直接条件(证明结论时候可以直接拿来使用的条件，如证明三角形全等可以直接用的边或角，直接拿来证明两直线平行的同位角相等之类条件)，分清哪些是间接条件(不能被用来直接应用的，需要转化为直接条件的条件)，找出图形中隐藏的条件(如案例1中的公共边，案例2中的的公共角).
2.猜想与整理
如案例2，仔细观察图形发现有两个三角形的形状大小完全一致，即全等.再发现这类证明题每个问题都蕴含着:某两个角与其中的一个角的度数之和都等于同一个角度，然后通过等量代换得到某两个角相等.如或.这里虽然没有真正意义上的公共角，但通过与另外两个角和相等，就可以根据等量代换得到另两个角相等.
3.整理分析思路，书写证明过程
通过添加条件，运用找到的关系，转化得到三角形中另一组相等角，然后将三角形全等三组条件按全等类型归纳好，即可证得全等并解决后续问题
4.检查
比较难的证明题，不能像上面那样直接4步骤就可以了，要综合进行步骤1、2，由问题入手大胆猜测，这种类型问题多数要运用三种基本图形变换，运用转化思想将一条边或一个角变换到另一个位置后构造全等图形.“四边形”问题的解题策略
纵观近几年各地的中考试题，考查四边形的解答题在逐渐发生着变化，一方面考查平行四边形以及特殊平行四边形的判定，另一方面更注重考查角平分线的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理的综合运用.
为帮助学生总结一些解题模型，达到事半功倍的效果，笔者现将四边形解答题的模型分类归纳如下，与大家一起分享.
一、求证线段相等——“角平分线十平行线出等腰三角形”模型以及逆用
例1
(2016年北京中考题)如图1，四边形是平行四边形，平分，交的延长线于点，求证:.
分析
本题考查的知识点是平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边;而已知条件恰恰有平行线()和角平分线(平分)，恰好可以得到等腰三角形().
例2如图2，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点,
连结.
(1)求证:四边形为菱形;
(2)，相交于点，若，，求的长.
分析
(1)本题的题干以作图的形式给出，十分新颖.已知条件恰恰有角平分线(为的平分线)+平行线(
)的条件，则可以得到.而此题的难点在于从已知中找出隐含条件:，从而得到，又，因此得到四边形为平行四边形，再利用菱形的定义得证.
(2)利用勾股定理即可求出的长，而，即得解.
例3
(2015年北京中考题)如图3，在中，过点作于点，点在边上，，连结，
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若，，，求证:平分.
分析
本题考查的知识点有:平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定.
(1)根据平行四边形的性质，可得.又由已知，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再由，根据矩形的定义，可得证.
(2)根据题意，利用勾股定理求得，则.又已知，因此(等腰三角形)，又有(平行线)，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，即可得证(等腰三角形+平行线得到角平分线，逆用此模型).
二、求线段长、求面积——利用“面积相等求高”模型
例4
如图4，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)如果平分，，，求的长.
分析
(1)利用两组对边分别平行即可得证.
(2)首先利用“角平分线+平行线”模型，证明为菱形，连结，则
，如图4.利用菱形的面积，求出的长，而，得解.
注
也可以利用的面积，求得的长.
例5
如图5，在中，的平分线交于点,
的平分线交于点，与相交于点，连结.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若，，，求的面积.
分析
(1)利用菱形的定义即可得证.
(2)求的面积，关键是求的高.如图6，过点作的高，本题的巧妙之处在于，高既是的高，又是菱形的高，而己知菱形的两条对角线的长，因此可以利用菱形的面积,
求得的长，从而求出的面积.
三、已知条件中有比值出现——利用方程思想求解
例6
如图7
,
中，，是边上的中线，分别过点、作、的平行线交于点，交于点，连结.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若，求的值.
分析
(1)先利用两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，从而得到，而由已知，，又，可得四边形是平行四边形;又利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得，从而得证.
(2)要求的值，需先构造直角三角形，如图8，过点作于点.而已知，由(1)可知，.设，则，在中，根据勾股定理，可求得，利用面积相等求得高，而，从而可解.
例7
如图9，在中，，为边上的中线，过点作于点，过点作的平行线与的延长线交于点，连结,
.
(l)求证:四边形为菱形;
(2)若四边形的面积为,，求的长.
分析
(1)先利用平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用一组对边平行且相等，证明四边形为平行四边形，又已知，所以，四边形为菱形.
(2)由已知，即可得比值，因此设，.又已知菱形的面积为，因此可列方程，解方程即可求得的值.进而求得，的长，再利勾股定理求得即可.
四、有特殊角出现时，求线段长、面积、三角函数——利用解直角三角形模型
例8
如图10，在中，为边上一点，为的中点，过点作交的延长线于点，连结.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)若，，，求平行四边形的面积.
分析
(1)利用一组对边平行且相等或两条对角线互相平分即可得证.
(2)由己知，可得到.而又已知，，则在中，过点作于(如图11)，先在中解直角三角形求得;再在中解直角三角形求得，从而求得的底和高，进而求得它的面积.二次根式的双重非负牲在解题中的运用
式子表示非负数的算术平方根，它是一个非负数，而是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参考.
一、确定自变量的取值范围
例1
若下列式子有意义，试确定的取值范围.
(1)
(2)
(3)
(4)
解
(1)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得且,
所以，的取值范围为且;
(2)依题意，得不等式组,
解这个不等式组得.
所以的取值范围为:
;
(3)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得;
(4)依题意，得不等式组,
解这个不等式组，得且;
评注
初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况:(1)分式中的分母不能为零;(2)二次根式中被开方数要大于等于零;(3)零指数幂的底数不能为零.抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.
例2
(1)若等式成立，求的取值范围;
(2)若，求的取值范围;
(3)若，试求的取值范围
解
(1)，又,
，.
又,
∴的取值范围为:且;
(2).
当时,
原式;
当时,
原式;
当时,
原式;
∴x的取值范围为.
(3)
当时，原式.
又，,
∴x的取值范围为.
评注
这组题用到了二次根式的双重非负性、的化简和如何去掉绝对值，解不等式和不等式组，只有理解了这些知识，才能作出正确的解答.注意一定要等于(去掉根号带上绝对值).
二、求代数式的值
例3
(1)已知，为实数，且，求的值.
(2)已知，为实数，且满足，那么
.
解
(1)依题意，得不等式组
,
解这个不等式组，得，,
.
(2)原方程可以变形为
,
，，,
.
评注
解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”.
三、化简
对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形:
1.默认条件
例4
.
这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.
2.给定条件
例5
若，化简:
解
原式.
，则，,
∴原式.
3.题目隐含条件
例6
化简:(1)；(2).
解
(1)
，,
∴原式.
(2)
，,
∴原式.
评注
由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验.解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难为易.
四、分类讨论
例7
化简:.
解
原式,
当时，原式;
当时，原式;
当时，原式.
例8
化简:.
解
原式.
当，时，原式;
当，时，原式.
评注
分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.例析矩形折纸问题
矩形的折纸问题，对不少同学来说，解答起来感觉困难.实际上，要解决好这类问题，只要抓住以下几点即可:
1、牢记对称性质:(1)关于一条直线对称的两个图形全等;(2)对称轴是对应点连线的垂直平分线.
2、综合运用三角形、四边形、全等形和相似形的基础知识.
3、注意隐含的折叠后的位置关系和数量关系.
4、适当添加辅助线，有时还需借助代数中的方程思想进行有关线段、角度的计算.
下面举例分析常见的矩形折纸问题的解法，供大家参考.
一、沿某直线折叠，使顶点落在一边上
例1
如图1，是矩形纸片，是上一点，且，，把沿向上翻折，若点恰好落在边上，设这个点为，求、的长各是多少
解
是由翻折得到的，
.
设，,
则，,
.
由，得
，,
.
在中，由,
得,
解得.
，.
二、沿某对角线折叠
例2
如图2，在矩形中，已知，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与交于点，求的长
解
在和中
，,
,
，.
设,
则.
在中,
,
.
解得，即.
例3
如图3，把一矩形纸片沿对一角线对折，点落在点处，交于点，如果，求的度数.
解
是由翻折得到的，
,
，.
设,
则，,
.
,
,
解得,
即.
三、沿某对角线的垂直平分线折叠
例4
如图4，矩形纸片的长，，将其折叠，使点与点重合，试求折叠后的长和折痕的长.
解
由对称性质知:
垂直平分，连结，设交于点，则，.
，,
.
设，,
则.
，,
,
.
解得(负值舍去).
，,
即，.对比解法
反思教学
本文用三种方法证明一道反比例函数中考题.这三种方法的思维起点不同，我们可以从解题思路的形成过程中，对比各种方法的优劣，以提高解题能力.
一、问题
(2016年淄博中考题)反比例函数(，为常数)和在第一象限内的图象如图1所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①
②四边形的面积不变;、
③当点是的中点时，则点是的中点.
其中正确结论的个数是(
)
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
二、解法
分析1
①②解答易，略.
③如图1，要证明点是的中点，因为是的中点，若，有
，则
点是的中点成立.
由于点、在同一反比例函数图象上，可联想到图2所示的，这两个三角形面积相等如何联系到？于是想到图3中，当时，有.
至此，图1中，将积转化成、两线中间的三角形，就成为求解的关健.根据两条平行线之间同底的三角形面积相等，由，，这样就把等积转化成.
同理，由，，把等积转化成
则与就是我们要寻找的三角形.
又，∴
再由图3基本图形的结论可以得到.
证明1
连结、、、
∵点、在同一反比例函数上，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵是的中点
∴是的中点
分析，③由题意可知，若成立，当点是的中点时，点是的中点成立.
我们考虑能否用代数方法求出线段、、、的长，再算出和的值，然后看和的值是否相等，这个思路更朴素一些.
如图4，不妨设，点、在反比例函数上，
则，，还可以求出，，
容易求出线段的长为
线段的长为，线段的长为，线段BD的长为
又，
所以，问题得证.
证明2
设
轴，轴
，
∵点、在反比例函数上
∴，
∴，，，
∴，
.
∴.
∵是的中点
∴是的中点.
分析3
③如图5，由题意可知，点是的中点，若成立，则点是的中点成立.于是，问题就转化成证明
点和在同一个反比例函数的图象上，容易想到的是作，；则矩形和矩形面积相等，即，
又由，容易得出
而
(或)要关联才行，显然它们之间没有直接联系，继续观察图形，可以看到、.于是把换成，问题又转化
(或)，需要.由图4可以看到
，
这样，由，可以轻松得出，进而证明了
证明3
作，，和交点为.
∵点、在同一反比例函数上，
∴
∴
∵，
，
∴
∵是的中点
∴是的中点
3对比解法，反思教学
以上证法1主要应用了图2和图3两个基本图形的结论，解题时要求能想到着两个结论，还要在图1中添加辅助线构造出图3所示的基本图形，才能证明出图1中的.证法2的起点低，用代数方法解决，设出点的坐标，用代数方法分别求出线段、、、的长，再计算线段之比，得出结论.证法3从学生熟悉的结论入手，一步一步向靠拢，当发现不能直接得出结论时，将相等的线段进行替换，欲证的转化成，而经过变形变为，从而与学生熟悉的
“无缝对接”，问题得证.
解法1的思维起点是图2和图3所示两个基本图形的结论，有了这2个两个基本图形结论的经验、就容易想到解法1.笔者用解法1教学时没有达到预期的效果，于是想到能不能用代数方法求解，探究后发现解法2的起点低，设出的坐标后，只要计算无误，就能正确解答.解法2易于理解，但不能确定什么条件下用代数方法求解，什么条件下不能用代数方法求解.这三种解法相比，解法2最简单，学生容易接受，类似的问题也可以用同样的方法解决.
解法3符合学生的思路.学生对图5中较为熟悉，从学生熟悉的入手，一环扣一环的展开思考，顺利引导学生独立证明了问题.与解法2相比，解法3稍繁琐.但在证明的过程中，学生运用了反比例函数问题中的面积法，强化了数学解题中的转化思想，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.
综上所述，在解题教学中，要从学生的实际情况出发，找到学生思维的最近发展区，根据学生现有的知识积累和解题经验寻找解题思路.这样的解题思路才是学生易于理解的思路;这样的解题教学可以发展学生的数学思维，培养学生的解题习惯，提高学生的解题能力.分式求值的若干技巧
一、巧平方
例1
已知，求的值.
解
将两边平方整理，得.再将两边平方整理，得.
二、巧设参数
例2
已知，求的值.
解
令，则
三、巧取倒数
例3
已知，求的值.
解
由已知，将待求值分式的分子、分母颠倒位置可得
，
.
四、巧赋特殊值
例4
已知，求的值
解
由已知条件可知，不妨赋给,
则原式=.
五、巧代替
例5
已知，求的值.
解
由，
得.
六、巧用韦达定理
例6
若，且，求的值.
解
由已知条件可知、为方程的两根，由韦达定理，得
，所以.
七、巧选主元
例7
已知，求的值.
解
设、为主元，为参数，则由已知条件可求得，所以.
八、巧借整体
例8
若，试求的值.
解
由,可得①,由，可得②.②一①得③.将③代入①得，所以.
九、巧用定义
例9
若是方程的根，试求的值.
解
利用方程根的定义，得，即，所以
.
十、巧配凑
例10
若，试求下式的值.
解
由，得，所以
.
所以原式=.“3,4,5”直角三角形的奇思妙想
提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为“3,4,5”的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.其实，我们对“3,4,5”
直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论.
一、基础准备
如图1
,
中，，，，，，，显然.延长至点，使得，连结，则是等腰三角形，.在中，
同样方法，可求得
同时
提炼如下：
,
,
,
.
用文字语言表述为:
如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为.
我们不妨用约定符号将上述结果简记为“”+“”=.(其中“”，“”分别表示正切值为，的锐角)
下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.
二、运用策略
例1
如图2，在的网格中标出了和，则
.
解法1
构造三角形，从而发现和间的关系.
如图3，显然，，
并且，,
.
解法2
利用“”+“”=的结论解决问题.
图2中，，.
根据结论“如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为，得
.
例2
如图4，正方形的边长为，点、分别在，上，若，且，则的长为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解法1
通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系式，最终求出的长.
解
如图5，延长到，使，连结、.
∵四边形为正方形，
，,
,
，,
,
,
.
设,
则，.
在中,
,
.
解得，则.
.
故选A
解法2
利用“”+“”=的结论求解.
易见图4中，
,
且.
根据“”+“”=，得,
.
在中，求得.
故选A.
点评
比较两种做法，我们发现利用“”+“”=解决问题更加方便快捷.
再来一题试试看吧!
例3
如图6，在中，，是边上的高，，则的长为
.
解法一
构造正方形，利用勾股定理求长.
如图7，分别以、为对称轴，画出、的轴对称图形，点的对称点为、，延长、相交于点，得到四边形是正方形.
根据对称的性质，可得
，.
设，则正方形的边长是,
,.
在中，根据勾股定理，可得,
解得:或(舍去).
故边长是.
解法2
构造全等三角形，利用相似求解.
如图8，过点作，垂足为，交于点.
，.
,
,
.
，.
又,
,
.
设长为，即
解得,
即,
.
故答案为
解法3
凭借直觉经验，利用“”+“”=求解.
图6中，
，
联想到“”+“”=，发现当时，恰好有
，,
从而知.
点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。像这样的选择题、填空题，我们不妨利用“如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为这一结论直接求解.既快又准确!
