2017年中考数学二轮复习专题《开放性问题》
题型概述
【题型特征】一个数学问题系统中，通常包括已知条件、解题依据、方法和结论。如果这些部分齐备，称之为封闭性问题.若不完全齐备，称之为开放性问题，数学开放题就是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一.
常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.
【解题策略】(1)条件开放型，指结论给定，条件未知或不全，需要探求结论成立的条件，且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.
解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，挖掘条件，逆向追索，逐步探求，最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.
(2)结论开放型，指条件充分给定，结论未知或不全，需要探求，整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中，以解答题居多.
解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.
(3)策略开放型，是指题目的条件和结论都已知或部分已知，需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中，一般出现在阅读题、作图题和应用题中.
解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.
(4)综合开放型，是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题.
解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.
考点解析
类型一
条件开放型
典例1
(2016·黑龙江)如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接请你添加一个条件
，使四边形是矩形.
【解析】这是一道条件开放型的问题，采用分类讨论法解答.解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.
【全解】添加.理由如下:
四边形是平行四边形，
，且.
.
又，
.
四边形为平行四边形.
又,
四边形是矩形.
故答案是.
1.(2015·广东梅州)已知，在中，点是边的中点，点在边上，若以
为顶点的三角形与相似，则需要增加的一个条件是
.(写出一个即可)
【考情小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.
类型二
结论开放型
典例2
(2015·浙江杭州)设函数
(是常数).
(1)当取1和2时的函数和的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当取0时函数的图象;
(2)根据图象，写出你发现的一条结论;
(3)将函数的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象，求函数的最小值.
【全解】(1)作图如图:
(2)函数(是常数)的图象都经过点(1,0)和(－1,4).
(3)，
将函数的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数为.
当时，函数的最小值为－2.
2.(2016·北京)右图中四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式:
.
3.(2016·湖北荆州)请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形(只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记).
【考情小结】论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设)，要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱，结论通常在两个以上，解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与，而后者答案一般只有一个，解题目标大多比较明确.
类型三
策略开放型
典例3
(2015·黑龙江哈尔滨)图(1)，图(2)是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图(1)中画出等腰直角三角形，使点在格点上，且;
(2)在图(2)中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形面积等于(1)中等腰直角三角形面积的4倍，并将正方形分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角和一个正方形，且正方形面积没有剩余(画出一种即可).
【解析】(1)如图(1)所示:
(2)如图(2)所示:
4.(2015·山东枣庄)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有(
).
A.
2种
B.
3种
C.
4种
D.
5种
【考情小结】解策略型开放题时，要对已有条件进行发散联想，努力提出满足条件和要求的各种方案和设想，并认真加以研究和验证，直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想，作多方面设计与思考.
类型四
综合开放型
典例4
(2016·黑龙江)已知，点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点(点不与点重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，点为的中点.
(1)当点与点重合时如图(1)，易证.(不需证明)
(2)直线绕点逆时针方向旋转，当时，如图(2)、图(3)的位置，猜想线段之间有怎样的数量关系 请写出你对图(2)、图(3)的猜想，并选择一种情况给予证明.
【解析】(1)由即可得出结论.
(2)图(2)中的结论为:
，延长交于点，只要证明是等边三角形，即可解决问题.
图(3)中的结论为:,延长交的延长线于点，证明方法类似.
【全解】(1),
.
在和中，，
.
.
(2)图(2)中的结论为:.
图(3)中的结论为:.
选图(2)中的结论证明如下:
延长交于点，如图(4)所示.
,
.
.
在和中，，
.
.
在Rt中，
,
.
,
.
是等边三角形.
.
,
.
,
.
5.(2014·湘南湘潭)为等边三角形，边长为.
(1)求证:
∽;
(2)若，设，四边形面积为，求出与之间的函数关系，并探究当为何值时取最大值;
(3)已知四点共圆，已知，求此圆直径.
【考情小结】考试时，对于综合开放题，若没有其他要求，可选用简单情型的进行解答.
参考答案
1.或.
2.(答案不唯一)
3.答案不唯一，
如图所示.
4.
C
5.
(1)
,
.
为等边三角形，
.
∽.
(2)当时，取最大值，最大值为.
与之间的函数关系为
(其中).
当m=2时，S取到最大值，最大值为.
(3)此圆直径为.2017年中考数学专题练习《开放性问题》
类型一
条件开放型
1.
(2016·山东济宁)如图，中，，垂足分别为、，，交于点，请你添加一个适当的条件:
，使.
2.
(2016·浙江衢州)写出一个解集为的一元一次不等式
.
3.
(2016·甘肃兰州)
的对角线与相交于点，且，请添加一个条件:
，使得为正方形.
4.
(2016·河南)如图，在中，艺，点是的中点，以为直径作⊙分别交，于点，.
(1)求证:E;
(2)填空:
①若，当时，
;
②连接，，当的度数为
时，四边形是菱形.
5.
(2016·湖北咸宁)如图，在中，，，为角平分线，，垂足为.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;
(2)选择(1)中一对加以证明.
类型二
结论开放型
6.
(2015·安徽)按一定规律排列的一列数:
，，，，，，…，若，，
表示这列数中的连续三个数，猜想，，满足的解析式是
.
7.
(2015·湖南邵阳)如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，请从图中找出一组相似的三角形:
.
类型三
策略开放型
8.(2015·黑龙江龙东)为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案(
).
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
9.
(2015·浙江金华)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子，，的位置如图，它们的坐标分别是，，.
(1)如图(2)，添加棋子，使四颗棋子，，，成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子，使四颗棋子，，，成为轴对称图形，请直接写出棋子的位置的坐标.(写出2个即可)
10.
(2015·浙江温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形:如何计算它的面积 奥地利数学家皮克(G.
Pick,
1859～1942)证明了格点多边形的面积公式:，其中表示多边形内部的格点数，表示多边形边界上的格点数，表示多边形的面积.如图，，，.
(1)请在图甲中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积;
(2)请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其他格点.(注:图甲、图乙在答题纸上)
类型四
综合开放型
11.
(2015·湖北随州)已知两条平行线，之间的距离为6，截线分别交，于，
两点，一直角的顶点在线段上运动(点不与点，重合)，直角的两边分别交，
与，两点.
(1)操作发现
如图(1)，过点作直线，作，点是垂足，过点作，点是垂足.此时，小明认为，你同意吗 为什么
(2)猜想论证
将直角从图(1)的位置开始，绕点顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想:当满足什么条件时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形 在图(2)中画出图形，证明你的猜想.
(3)延伸探究
在(2)的条件下，当截线与直线所夹的钝角为时，设，试探究:是否存在实数，使的边的长为 请说明理由.
12.(2015·江苏无锡)已知，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，
(1)问:是否存在这样的，使得在边上总存在点，使 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
(2)当与的平分线的交点在边上时，求的值.
参考答案
1.
等(只要符合要求即可)
2.
答案不唯一，比如
3.
答案不唯一，或或或
4.
连接，，
∵四边形是圆内接四边形，
又
同理证明:
(2)①由(1)可知，
故答案为2.
②当时，四边形ODME.
理由:连接，
，
∴是等边三角形.
，都是等边三角形.
:.四边形是菱形.
故答案为
5.
(1)
，
(2)，
为角平分线，
在和中
6.答案不唯一，比如(只要解析式对前六项是成立的即可)
7.
8.
C
9.
(1)如图(2)所示，直线即为所求;
(2)如图(1)所示，，都符合题意.
10.
(1)画法不唯一，如图(1)或图(2);
（第10题）
(2)画法不唯一，如图(3)、图(4)等.
11.
(1)同意.
由题意，得
，
又
(2)
∴要使为等腰三角形，只能是.
当时，
，，
(3)在中，，
由题意，得，
当时，由题意，得
在中，
即
整理，得
解得(舍去)或
又
∴点在的延长线上，这与点在线段上运动相矛盾.
∴不合题意.
综上，不存在满足条件的实数.
12.
(1)存在.
，，，
，
以为直径作⊙，与直线分别交于点，，则，如图(1),
作于，连接，则，，
，
∴当，即时，边上总存在这样的点，使
(2)如图(2).
，
∴四边形是平行四边形.
∵平分，
平分
，
∴
以(为直径作⊙，与直线分别交于点，，则,
∴点只能是点或点
当在点时，∵，分别是与的平分线，
，
，
而
，即是的中点.
而点为
∴此时的值为6.
5.
当在点时，同理可求得此时的值为3.
5
,
综上所述，的值为3.
5或6.
5.
