登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《利用三角形全等测距离》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
2．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很 ( http: / / www.21cnjy.com )想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，那么△OAB≌△OCD理由是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
3．小明用同种材料制成的金属框架如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．734克 B．946克 C． 1052克 D．1574克
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上 ( http: / / www.21cnjy.com )．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．60° B． 90° C． 120° D．150°
5．长为3cm，4cm，6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（ ）
A. 一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条
B. 两人都取6cm的木条
C. 两人都取8cm的木条
D. C两种取法都可以
二、解答——知识提高运用
6．把两根钢条AA′、BB′的中点连在 ( http: / / www.21cnjy.com )一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米。21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，把两根钢条AA′，BB′ ( http: / / www.21cnjy.com )的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A′B′的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能简要说出工人这样测量的道理吗？21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．斜拉索桥是利用一组组钢索，把桥 ( http: / / www.21cnjy.com )面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，每相对的两根斜拉索长度必须一样，如图所示。AB表示最长的一根斜拉索已经被固定在桥面上，在施工时如何找出相对的斜拉索在桥面的位置？说明你的理由。
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．如图所示，小明为了测量河的宽度，他先站在 ( http: / / www.21cnjy.com )河边的C点面向河对岸，压低帽檐，使目光正好落在河对岸的A点，然后他姿势不变，原地转了一个角度，正好看见了他所在岸上的一块石头B点，他测量了BC=30m。你能猜出河有多宽吗？说说理由。www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF）左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC+∠DFE的度数。2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图，点D为码头，A ( http: / / www.21cnjy.com )，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线。一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等。试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故选：B。
2．【答案】A
【解析】在△AOB和△COD中，
AO＝OD
∠AOB＝∠COD
BO＝OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD。
故选：A。
3．【答案】D
【解析】∵∠B=∠E，AB=DE，∵BF=EC，∴BC=EF，∴△ABC≌△DEF，
∴整个金属框架的质量为840×2-106=1574克。
故选D。
4．【答案】B
【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°。
故选B。
5．【答案】B
【解析】若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除A；
若取8cm的木条，那么3+4＜8，不能构成三角形，所以只能取6cm的木条，故排除C、D；
故选B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】连接AB，A′B′，
( http: / / www.21cnjy.com / )
O为AB′和BA′的中点，
∴OA′=OB，OA=OB′，
∵∠A′OB′=∠AOB
∴△OA′B′≌△OAB，
即A′B′=AB，
故A′B′=5cm，
5cm=0.05m。
故答案为0.05。
7．【答案】此工具是根据三角形全等制作而成的。
∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB=∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
∵ AO=A′O
∠AOB=∠A′OB′
BO=OB′，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′=AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准。
8．【答案】另一根斜拉索的位置是在右边距O点的距离OC与BO相等的地方．
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：
∵OA⊥BO（已知）
∴∠BOA=∠COA=90°（垂直定义），OC=OB，OA=OA（已知）
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB=AC
即C点的位置为距O点的距离等于OB的长。
9．【答案】能猜出河宽AC为30米．理由如下：
如图，连接DC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得，∠BDC=∠ADC，∠BCD=∠ACD=90°，
在△ACD和△BCD中，
∠BDC=∠ADC
DC=DC
∠BCD=∠ACD=90°，
∴△ACD≌△BCD（ASA），
∴BC=AC，
∵BC=30米，
∴河宽AC为30米。
10．【答案】∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=90°．
∴∠CAB=∠FDE，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠BCA=∠DFE．
∵∠CBA+∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°。
11．【答案】此时轮船没有偏离航线。
理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，
在△ADC和△BDC中，
DA=DB
AC=BC
DC=DC，
∴△ADC和△BDC（SSS），
∴∠ADC=∠BDC，
即DC为∠ADB的角平分线，
∴此时轮船没有偏离航线。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 3 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《利用三角形全等测距离》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）进一步巩固和理解全等三角形的性质与判定；
（2）能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。
2.过程与方法
解决实际问题的过程或与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。
3.情感态度和价值观
使学生在自主探索的过程中，获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”。
【教学难点】
如何构建全等 的模型把实际问题转化成数学问题
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】前几节课的学习中，我们学习了全等三角形的性质以及如何判断三角形全等的条件，性质，我们一起来回忆一下吧。21教育网
三角形全等都有哪些性质呢？
全等三角形对应边相等、对应角相等。
【过渡】我们在一系列的推导之后得到了几个判定三角形全等的定理，我来挑同学回答一下。
（学生回答）
【过渡】这位同学回答的很正确， ( http: / / www.21cnjy.com )我们一共学习了四个判定三角形全等的定理，分别是“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”，对于这几个定理，在使用的过程中，我们一定要注意其成立的条件。那么今天，我们来探究一下，在实际问题中，如何而利用三角形全等解决问题。
二、新课教学
1．利用三角形全等测距离
【过渡】在之前呢，我们先来讲一个关于战争的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河 ( http: / / www.21cnjy.com )相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。21cnjy.com
【过渡】大家能想到这位战士想到了什么样的办法吗？
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视 ( http: / / www.21cnjy.com )线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。21·cn·jy·com
【过渡】我们将这个问题数学化，如图所示，大家能够说出其中的道理吗？
【过渡】我们将这个问题化为如下的形式：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在这里，AC就相当于是那个战 ( http: / / www.21cnjy.com )士，根据实际，我们知道，战士与地面是垂直的关系，因此，我们知道，AC⊥BD。所以，现在，大家能告诉我都有哪些已知条件吗？www.21-cn-jy.com
（学生回答）
【过渡】已知： ∠ACB= ∠ACD=90°， ∠CAB= ∠CAD。
【过渡】要想证明步测距离与碉堡距离相等，也就是证明BC=CD。那么，该如何证明呢？
【过渡】对这个进行分析，然后结合三角形全等的条件，大家能够证明吗？
（学生回答）
课件展示解题过程。
【过渡】根据刚刚的情况，大家能够领悟如何根据三角形全等测距离吗？
我们主要是根据三角形全等的性质，对应边 ( http: / / www.21cnjy.com )相等进行求解。因此，我们只需要去构筑全等的三角形就能够解决问题。在构筑全等三角形的时候，我们需要考虑的就是三角形全等的条件，然后再结合实际条件进行考虑。现在，我们来看看一道例题。2·1·c·n·j·y
例题：如图，A，B两点分别位于一个池塘 ( http: / / www.21cnjy.com )的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。一个叔叔给他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离。【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】我们来分析一下这个问题，结合刚刚的问题，这个主意，也是利用三角形全等的性质。我们来看小明的想法是否与你的一致。21·世纪*教育网
课件展示解题过程。
【过渡】我们知道，刚刚的证明是利用了边角边的判定，那么除了这个之外，你还有别的方法吗？
我们知道，证明三角形全等还有其他的方法，大家一起来探究一下吧。
（学生回答）
【过渡】在这里，我们来介绍一个利用角边角证明的方法。
课件展示解题过程。
【知识巩固】1、小明不慎将一块三角形的玻 ( http: / / www.21cnjy.com )璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ B ）去。
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
2、如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 17m 。
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、如图，两根长12m的绳子，一端系 ( http: / / www.21cnjy.com )在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD=CD，则AD⊥BC。
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。
4、如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由。21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′
∴∠ABC=∠A′B′C′=90°
∵AC∥A′C′
∴∠ACB=∠A′C′B′
在△ABC和△A′B′C′中，
∠ABC=∠A′B′C′
∠ACB=∠A′C′B′
AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）
∴BC=B′C′，即影子一样长。
【板书设计】
1、利用三角形全等测距离。
【教学反思】
通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网(共20张PPT)
北师大版 七年级下册
4.5 利用三角形全等测距离
导入新课
全等三角形对应边相等、对应角相等。
SSS
SAS
ASA
AAS
全等三角形的性质：
全等三角形的判定方法：
新课学习
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵
地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要
测出我军阵地到鬼子碉堡的距离.由于
没有任何测量工具，我八路军战士为
此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：
新课学习
2
4
5
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.
步测距离
碉堡距离
？
新课学习
1
A
C
B
D
你能用所学的数学知识说明步测距离即为碉堡距离吗？
已知： ∠ACB= ∠ACD=90°， ∠CAB= ∠CAD。
求证： BC=CD。
新课学习
证明：在△ABC与△ADC中，有
∠ACB= ∠ACD=90° ，
AC=AC,
∠CAB= ∠CAD
∴△ ABC ≌△ADC (ASA)
∴ BC=CD (全等三角形对应边相等)
∴步测距离就等于碉堡距离。
新课学习
1
2
3
4
5
如何求未知线段？
途径：利用全等三角形的性质
关键：构造全等三角形
一定要依据三角形全等的条件
新课学习
例 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。一个叔叔给他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，
使CE=CB，连接DE并测量出
它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离.
你能说明这其中的道理吗？
新课学习
理由如下: 在△ACB与△DCE中，
∠BCA=∠ECD
AC=CD
BC=CE
△ACB≌△DCE（SAS）
AB=DE
（全等三角形的对应边相等）
你还能想到别的方案吗？
新课学习
在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC。
F
A
B
D
E
C
G
再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是A 、 B间距离。
方法二
新课学习
在△ACB与△ECD中，
证明:
AB＝ED
F
A
B
D
E
C
G
BC＝DC
∠ABC＝ ∠EDC
∠ACB＝ ∠ECD
△ABC≌△ECD ( ASA)
对顶角相等
课堂小结
全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键。
知识巩固
1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
B
分析：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的。故选B。
知识巩固
2.如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 。
17m
知识巩固
分析：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17。
故答案为：17m
知识巩固
3.如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。
知识巩固
解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD=CD，则AD⊥BC。
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC．
知识巩固
4.如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由。
知识巩固
证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′ ∴∠ABC=∠A′B′C′=90°
∵AC∥A′C′ ∴∠ACB=∠A′C′B′
在△ABC和△A′B′C′中，
∠ABC=∠A′B′C′
∠ACB=∠A′C′B′
AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）
∴BC=B′C′，即影子一样长．
