初中数学苏科版八下完美补图精彩解题 教学案（含答案）

完美补图
精彩解题
解题中，对于比较复杂或不太规则的图形，我们常需要将它分割成规则的熟悉的图形，但有时仍然不容易找到思路，这时可考虑换一个角度，通过补图达到化难为易的目的.补形法是几何解题中的一种重要方法，现以几个经典题为例说明如下.
一、补成特殊的三角形
遇到题中有角平分线，垂线，中线中的两个作为条件同时出现，可考虑将图形补为等
腰三角形.
例1
如图1，为的角平分线，且，过点作直线的垂线，垂足为，求证:
.
思路1
延长到点，使得，连结.
思路2
延长到点，使，连结.
注
直角三角形遇到题中有两角互为余角或有直角时，可考虑补形为直角三角形.
例2
如图2，五边形中，，，，求证:.
思路1
延长，相交于点，连结，构造直角三角形.
思路2
延长，交直线于，两点，构造等腰三角形.
注
条件中只要有60°，可考虑补形为等边三角形.
例3
如图3，是等边三角形，延长至点，延长至点，使，连结、，求证:.
思路1
过点作垂直于点，利用30°直角三角形的特殊性质.
思路2
过点作平行交延长线于点.
二、补形为四边形
1.遇到菱形的判定条件(如两邻边相等)时，可考虑补形为菱形.
例4
如图4，在五边形中，，，，，，求五边形的周长.
思路
过点、分别作，的垂线交于，两点.
2.遇到矩形的判定条件如有三个直角等时，可考虑补为长方形.
例5
如图5，三个正方形连续紧靠着，它们的边长依次记为，，，则图中的面积为
.(用，，的代数式表示)
思路
先利用相似三角形性质求两个三角形的公共底.
3.遇到等腰直角三角形时，可考虑补形为正方形.
例6
如图6，在中，，，是中点，于点，延长线交于点，求证:.
思路1
过，作的垂线，垂足为，，先证.
思路2
过点作于点，交于点，先证，再证.
三、补形为圆
遇到对角互补的四边形，同底同侧相等的三角形等条件时，可考虑补作圆.
例7
如图7，在中，高、相交于点，且，为内的一点，且，，连结，求证:平分.
思路1
计算得，，，，四点共圆，故.
思路2
计算得，设，交点为M，，再证，故.