初中数学苏科版八下勾股定理的几种简单应用 教学案（含答案）

勾股定理的几种简单应用
勾般定理是数学中一个重要的定理之一，是解决有关直角三角形问题的有效途径，也是沟通几何与代数的一个重要桥梁，它的应用十分广泛.现举几例，供同学们赏析.
一、勾股定理在网格中的应用
例1已知正方形的边长为，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为.
①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长
.
②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含的式子表示)为
.
分析
借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.
解
①，，②
二、勾般定理在最短距离中的应用
例2
如图，已知是的中点，圆锥的母线长为，侧面展开图是一个半圆，处有一只蜗牛想吃到处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.
分析
在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.
解
该圆锥表面展开图如图所示.
根据两点之间线段最短，线段的长即为蜗牛爬行的最短路程.
，，.
在中，，,
.
答:蜗牛爬行的最短路程为.
点评
在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形间题，然后求解.
三、勾股定理在生活中的应用
例3
如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设步为)
分析
把走“捷径”路长求出，就可以算出少走几步路.
解
原来走的路长.
在中，,
.
.
即走“捷径”路长为，少走了.
点评
走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.
四、勾股定理在实际生活中的应用
例4
小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:
小华在河岸边选取点，在点的对岸选取一个参照点，测得，小华沿河岸向前走选取点，并测得.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.
分析
先根据题意画出示意图，过点作于点，设，则在中，可得出，利用等腰三角形的性质可得出，继而在中，利用勾股定理可求出的值，也可得出的长度.
解
过点作于点.
由题意可得:，，.
，.
设，在中，可得.
又，即，
，.
答:小华自家门前的小河的宽度为.
点评
此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.