初中数学苏科版九下轨迹问题中的合情推理和演绎推理 教学案（含答案）

轨迹问题中的合情推理和演绎推理
由于轨迹问题渗透着集合、运动和数形结合等重要思想，具有涉及面广，综合性强，技能要求高等特点，近年来，越来越多地出现在中考压轴题中.这类题型与通常给出图形的几何证明与计算题不同，需要经历一个“据性索图”的推理过程.本文举例对轨迹问题进行解析.
题目
(2016年日照)阅读理解:
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.
例如，角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.
问题:如图1，已知为的中位线,
是边上一动点，连结交于点，那么动点为线段中点.
理由:
线段为的中位线，
,
由平行线分线段成比例得，动点为线段中点.
由此你得到动点的运动轨迹是:
.
知识应用:
如图2，已知为等边边、上的动点，连结；若,且等边的边长为8，求线段中点的运动轨迹的长.
拓展提高:
如图3,
为线段上一动点(点不与点、重合)，在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为.
(1)求的度数;
(2)若，求动点运动轨迹的长.
一、运动轨迹是线段
动点是与的交点，根据轨迹的定义易知，动点的运动轨迹是线段.
1.合情推理，三点共线
知识应用中，因为点可与点、重合，点可与点、重合，要判断线段中点的运动轨迹，可以通过画出起点、终点、中间点进行探索.
如图4，当时，动点运动到的中点，将的中点记为运动轨迹的起点；
当时，动点运动到的中点，将的中点记为运动轨迹的终点;
当时，满足条件的任意一点记为中间点.
通过观察，可以发现、、在同一直线上，因此可以猜想出动点的运动轨迹是线段.
2.演绎推理，证明平角
在猜想出的运动轨进是线段后、需要演绎推理判断猜想的正确性.
在图2中，分别作出的中点,的中点.要确定动点始终在线段上，需要连结、，证明为平角，如图5.
在上取，连结，在上取,连结.
由,，得，
又因为为的中点，得,
易知是的中位线，得.
同理，，又易知,
故.
由于线段是的中位线，即的运动轨迹的长为3.
二、运动轨迹是圆弧
拓展提高(1)中，根据证明，易知.
1.合接推理，三点不共线
拓展提高(2)中，因为点不与点、重合，要判断、交点的运动轨迹，可以通过画出两个极限点和中间点进行探索.
如图3，当点无限接近点时，动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的一个极限点.
当点无限接近点时，动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的另一个极限点;
当点在上时，满足条件的任意一点中间点.通过观察，发现、、不在同
一直线上，因此可以猜想出动点的运动轨迹是圆弧.
2.演绎推理,计算角度
猜想之后，同样需要演绎推理判断猜想的正确性.
通过拓展提高(1)，可以发现，这正好是点轨迹为圆弧的演绎推理，
说明了是的圆周角.
而对运动轨迹长度的计算，可以利用作外心的方法找到圆心补齐圆求解，如
图6.
在圆上任惫取一点，连绪，得，
所以.
作于点,
易知，
所以弧的长=，
故动点运动轨迹的长.
以上问题中包含了初中数学轨迹问题中的两种典型情况:线段或圆弧
.在研究轨迹问题时，需要找到三个静止的点，合情推理出轨迹形状，然后进行逻辑推理证明角的度数，从而计算出轨迹长度.