初中数学苏科版九下例说辅助圆的作用 教学案（含答案）

例说辅助圆的作用
有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解.
一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角
例1
(2014年河南)已知在正方形中，，若点满足，且，求点到的距离.
解
PD=1，，是以点为圆心以1为半径的⊙的切线，点为切点，
，,
中，
.
作于，则即为点到的距离.
第一种情况:如图1，当与正方形的边的交点为时.
设，,
则，.
,
.
即,
解得,
在中，
,
第二种情况:如图2，当与正方形的边的交点为时.
设，,
则，,
,
.
即,
解得,
容易得到
，即.
.
二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角
例2
(2014年广州)已知平面直角坐标系中两定点，，抛物线
过点，，顶点为，点为抛线上一点，当为钝角时，求的取值范围.
解
把，分别代入，得
，解得
∴抛物线的解析式为
如图3，设中点为，由、两点坐标得点坐标为
∵抛物线与轴交于点，连结，，
则在中
∴点在为直径的⊙上，这时
根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点关于直线的对称点，也在以为直径的⊙上，这时
∵点在抛物线上，
∴当为钝角时，的取值范围是，或.
三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆
例3
(2016年徐州)如图4，正方形的边长为，点、分别在边、上，若，则的周长等于
解
如图4，以点为圆心以正方形的边为半径画圆，则边和与圆分别相切于点和.
作圆的切线，交边于，和圆相切于点，连结、,
则，
又
同理可得
即
而
∵射线和在射线的同侧，
∴和重合
∴点和重合
∴与重合
∴圆是的旁切圆
∴的周长等于.
四、所求线段作为辅助回的弦或者直径
例4
(2014年南通)矩形中，，，为上一点，，是上一动点，直线与直线交于点，，求线段的长.
解
如图5
在中
取中点，作，垂足为，
则
作的外接圆，且与交于，两点(与距离小于半径).
而
∴在直角梯形中，
由于和都与垂直，且点，都在线段上，所以，都符合题意.
在中，得
在中，得
故的长度为或
例5
(2014年济南)如图6，抛物线过轴上点，顶点为，对称轴与轴相交于点，直线与轴相交于点，点为线段上的动点，为直角，边与相交于点.设，试探究:为何值时线段的长度最小，最小长度是多少.
解
由抛物线的解析式得，顶点的坐标为，.
是对称轴，是的中点，
是的中点，
.
如图6，以为直径作⊙，当⊙与轴相切时的值最小(此时点是切点)，
否则当⊙与相离时就成了锐角不合题意;当⊙与轴相交时，有为直角但不是最小.
由，，得.
连结，则，
，
即
亦即.
即⊙的半径为
，即时的长度最小，的最小值为.
由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用.