初中数学苏科版九下抛物线内接三角形面积的计算通法 教学案（含答案）

抛物线内接三角形面积的计算通法
一、问题的提出
(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过，两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
(2)如图1(1)，动点，从点出发，沿着的方向以1个单位/秒的速度向终点匀
速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形
(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在，处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点与，两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形 如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标;如果不存在，请简要说明理由.
本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢 值得我们探究.
二、几种特殊情况
1.抛物线内接三角形有一边在轴上:(这里约定点的横坐标记为，点的纵坐
标记为为)
如图2(1)，有
.
如图2(2)，有
.
如图2(3)，有
.
2.抛物线内接三角形有一边与轴平行:如图3(1)，有
,
或;
如图3(2)，有
,
或.
在以上特殊情况下，只要求出、、、的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.
三、建立模型
当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢
解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.
如图4，过点作“轴的垂线交于点,则被分成了两个以为一公共边的三角形.
过点作于点，过作于点，则
，
，
.
,
,
.
综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接的面积公式:
设
.
为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽;
表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:
.
此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致.
当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设.
则，即是水平宽.
过点作轴的垂线，与直线的交点记为，则，即是铅直高，于是有
.
四、问题解决
上述问题中，过点作轴，垂足为，交于点
(如图1(2))，抛物线解析式为
,
直线的解析式为
.
设，则.
于是有
,
即当时，面积最大，最大面积是，此时点的坐标为.
五、模型应用(动点在定点与之内)
例1
如图5，二次函数与轴交于点,与轴交于点，为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值.
解
易得点，点，则水平宽.
直线的解析式为.
设点的坐标为,
则点的坐标为.
铅垂高,
故.
,
当时，即当点时，面积最大，最大面积是9.
评注
题中的满足公式中的为定点，为一动点，但在运动过程中，的横坐标介于的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.
六、模型拓展(动点在定点与之外)
例2
如图6(1)，二次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与轴平行，且点在抛物线上，点是直线上方抛物线上的动点，是否存在点，使,若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
解析
由题意不难得出,
要使，即求.
因为为动点三角形，由通用公式，其中为水平宽，,
为铅直高，应该过动点向轴作垂线;交直线于点，则.
问题是此时动点不在两定点之间，而是运动到了两定点之外，那么通用公式还成立吗
由图6(2)可知，当动点在两定点之外时，
.
由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算;动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.