(共15张PPT)
6 完全平方公式
第1课时
1.知道完全平方公式,并会运用完全平方公式进行简单的计算.
2.知道完全平方公式的几何背景,形成数形结合意识.
3.经历探索完全平方公式的过程,养成观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力.
4.重点:完全平方公式的推导及初步应用.
问题探究一
完全平方公式
一、阅读教材本课时“想一想”上面的内容,完成下面的问题.
1.计算下列各式,并说出每一步运算的理由.
(1)(p+1)2;(2)(m+2)2;(3)(p-1)2;(4)(m-2)2.
解:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1(多项式的乘法法则)=p2+2p+1(合并同类项);(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+2m+4(多项式的乘法法则)=m2+4m+4(合并同类项);(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-p-p+1(多项式的乘法法则)=p2-2p+1(合并同类项);(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-2m-2m+4(多项式的乘法法则)=m2-4m+4(合并同类项).
2.你能发现上题中的运算形式与结果有什么规律吗
左边都是两数和(差)的平方,运算结果都是二次三项式,且为两数的平方和再加(或减)两数乘积的2倍.
3.你能根据平方差公式的发现过程把你得到的规律也用公式来表示吗
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
二、阅读教材本课时“想一想”,解决其中的问题.
整体看面积:(a+b)2,分开看:ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,
所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
5.对于(a-b)2,你能用多项式乘法法则计算吗
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
【归纳总结】(a+b)2=
,即:两个数和
的平方等于这两个数的
,再加
上
.(a-b)2=
,即:两个数差的平方等于这两个数的
,再减去
.以上两个公式称为完全平方公式.
【预习自测】直接利用完全平方公式说出结果:(1)(x+y)2;(2)(x-y)2.
(1)x2+2xy+y2;(2)x2-2xy+y2.
a2+2ab+b2
平方和
这两个数乘积的2倍
a2-2ab+b2
平方和
这两个数乘积的2倍
问题探究二
完全平方公式的应用
阅读教材本课时“例1”,完成下面的问题.
1.第(1)题运用了哪个公式 公式中的a、b分别是什么 第(2)、(3)题呢
(1)运用公式(a-b)2=a2-2ab+b2,2x看作公式中的a,3看作公式中的b;(2)运用了公式(a+b)2=a2+2ab+b2,4x看作公式中的a,5y看作公式中的b;(3)公式(a-b)2=a2-2ab+b2,mn看作公式中的a,a看作公式中的b.
【预习自测】计算:(1)(a-2b)2;(2)(-2x-3y)2.
互动探究
1
下列多项式乘法中可以用完全平方公式计算的有
(
)
①(-a+b)(a-b);
②(x+2)(2+x);
③(13x+y)(y-13x);
④(x-2)(x+1).
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
B
互动探究
2
下列计算是否正确 如不正确如何改正
(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(m-n)2=m2-n2;(3)(a+2b)2=a2+2ab+2b2;(4)(-x-y)2=x2-2xy+y2.
解:(1)错,改正:(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)错,改正:(m-n)2=m2-2mn+n2;(3)错,改正:(a+2b)2=a2+2a·(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2;(4)错:改正:(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2,或(-x-y)2=(-x)2-2(-x)y+y2=x2+2xy+y2.
若4x2+kx+1是一个数的平方,则k=
.
[变式演练]多项式4x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式可以是
(填上一个你认为正确的即可).
【方法归纳交流】能化成一个数(或式子)的平方的三项式,变形后应具备的形式:
或a2-2ab+b2.
互动探究
3
±4
4x或-4x或4x4
a2+2ab+b2
计算:(1)(x+2y)2-x2;(2)(x+y+z)2.
互动探究
4
解:(1)原式=x2+4xy+4y2-x2=4xy+4y2.
(2)原式=[(x+y)+z]2=(x+y)2+2(x+y)·z+z2
=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2.
互动探究
5
已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值.
解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.
[变式演练1]已知a-b=5,ab=-6,求a2+b2的值.
解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×(-6)=25-12=13.
[变式演练2]已知a-b=5,a2+b2=13,求a2b2的值.
【方法归纳交流】完全平方公式的两个重要变形:(1)a2+b2=(a+b)2
;(2)a2+b2=(a-b)2
.
-2ab
+2ab第2课时
学习目标：
1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征.
2.能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算.
3.能够综合运用乘法公式(平方差公式和完全平方公式)进行整式的简便运算.
4.重点:完全平方公式在整式混合运算中的应用及简便计算.
【预习导学——不看不讲】
【旧知回顾】1.完全平方公式与平方差公式.
完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.两个公式中的字母都能表示什么
数或代数式.
问题探究:利用完全平方公式进行简便运算
一、阅读教材本课时“例2”上面的内容,完成下列问题.
1.利用完全平方公式计算形如1022和1972的计算题时,怎样确定a,b的值
解:a取与底数接近的、易算出其平方的整数,b取a与底数的差.
在本题中计算1022时,a为100,b为2;计算1972时,a为200,b为-3.
2.怎样利用完全平方公式计算1022和1972
解:1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=104
04;
1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=388
09.
3.利用完全平方公式计算89.22,下列变形最恰当的是(B)
A.(89+0.2)2
B.(90-0.8)2
C.(100-10.8)2
D.(80+9.2)2
4.在没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗
解:9982=(1000-2)2=10002-2×1000×2+22=100
000
0-4000+4=996
004.
二、阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.
1.
(a+b+3)(a+b-3)符合完全平方公式或平方差公式的形式吗 若利用公式计算需要哪几步
解:不符合.①变形,添括号变为[(a+b)+3][(a+b)-3];②用平方差公式计算,把(a+b)看作平方差公式中的a,3看作平方差公式中的b进行计算;③利用完全平方公式计算,得出最后结果.
2.你有几种方法计算(a+b+3)(a+b-3) 哪种方法更简单一些
解:2种.
方法一:按多项式乘多项式法则计算,再合并同类项;方法二:先利用平方差公式,再利用完全平方公式.
方法二更简单.
3.(x+5)2-(x-2)(x-3)=x2+10x+25-(x2-5x+6)这一步运算的理由是什么 需要注意什么
解:完全平方公式和多项式乘法法则.由于(x-2)(x-3)前面是负号,故展开后的结果要注意添括号.
【归纳总结】乘法公式中的字母,既可表示一个数,也可以表示一个代数式.因此对于较复杂的代数式,常用化繁为简(换元)的方法,转化成符合公式形式的式子后应用公式计算.在利用完全平方公式运算时,有时需要先变形,使变形后的式子符合完全平方公式的条件,即为“ 两数和(或差) ”的平方,然后应用公式计算.
【预习自测】利用乘法公式计算:(1)(2a+b+1)(2a+b-1);(2)2032.
解:(1)(2a+b+1)(2a+b-1)=[(2a+b)+1][(2a+b)-1]=(2a+b)2-12=(2a)2+2·2a·b+b2-1=4a2+4ab+b2-1.
(2)2032=(200+3)2=2002+2×200×3+32=40000+1200+9=41209.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:利用完全平方公式进行计算:1252+250×75+752.
解:原式=1252+2×125×75+752=(125+75)2=2002=40000.
[变式演练]
利用完全平方公式进行计算:1252+752-250×75.
解:原式=1252-2×125×75+752=(125-75)2=502=2500.
【方法归纳交流】具有完全平方式的二次三项式可以化成一个整式的平方,即完全平方公式的逆运用: a2+2ab+b2=(a+b)2或a2-2ab+b2=(a-b)2 .
互动探究2:先化简,再求值:(x-2y)(x+2y)-(x-2y)2,其中x=,y=-3.
解:原式=x2-4y2-(x2-4xy+4y2)=x2-4y2-x2+4xy-4y2=-8y2+4xy.当x=,y=-3时,上式=-8×(-3)2+4××(-3)=-72-9=-81.
互动探究3:(1)(xy+z)2-(xy-z)2;(2)(2a+b)(2a-b)+(a+b)2-2a(2a-b);(3)(x+3y-2)(x-3y+2).
解:(1)原式=x2y2+2xyz+z2-(x2y2-2xyz+z2)=x2y2+2xyz+z2-x2y2+2xyz-z2=4xyz;
(2)原式=4a2-b2+a2+2ab+b2-4a2+2ab=4ab+a2;
(3)原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2=x2-(9y2-12y+4)=x2-9y2+12y-4.
互动探究4:解方程:(1-3x)2+(2x-1)2=13(x-1)(x+1).
解:1-6x+9x2+4x2-4x+1=13(x2-1),1-6x+9x2+4x2-4x+1=13x2-13,-6x+9x2+4x2-4x-13x2=-13-2,-10x=-15,x=1.5.
互动探究5:已知x+=4,求x2+的值.
解:因为x+=4,所以(x+)2=16,所以x2+2+=16,所以x2+=14.
[变式演练]若已知x2-3x+1=0,能否求出x2+的值
解:因为x2-3x+1=0,所以x-3+=0,即x+=3.所以(x+)2=9.
即x2+2+=9,所以x2+=7.
【方法归纳交流】a2+与a+或a-的关系分别是 a2+=(a+)3-2 ,
a2+=(a-)2+2 . 6 完全平方公式
第1课时
学习目标：
1.知道完全平方公式,并会运用完全平方公式进行简单的计算.
2.知道完全平方公式的几何背景,形成数形结合意识.
3.经历探索完全平方公式的过程,养成观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力.
4.重点:完全平方公式的推导及初步应用.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:完全平方公式
一、阅读教材本课时“想一想”上面的内容,完成下面的问题.
1.计算下列各式,并说出每一步运算的理由.
(1)(p+1)2;(2)(m+2)2;(3)(p-1)2;(4)(m-2)2.
解:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1(多项式的乘法法则)=p2+2p+1(合并同类项);(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+2m+4(多项式的乘法法则)=m2+4m+4(合并同类项);(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-p-p+1(多项式的乘法法则)=p2-2p+1(合并同类项);(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-2m-2m+4(多项式的乘法法则)=m2-4m+4(合并同类项).
2.你能发现上题中的运算形式与结果有什么规律吗 左边都是两数和(差)的平方,运算结果都是二次三项式,且为两数的平方和再加(或减)两数乘积的2倍.
3.你能根据平方差公式的发现过程把你得到的规律也用公式来表示吗
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
二、阅读教材本课时“想一想”,解决其中的问题.
整体看面积:(a+b)2,分开看:ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,
所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
5.对于(a-b)2,你能用多项式乘法法则计算吗
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
【归纳总结】(a+b)2= a2+2ab+b2 ,即:两个数和的平方等于这两个数的 平方和 ,再加上 这两个数乘积的2倍 .(a-b)2= a2-2ab+b2 ,即:两个数差的平方等于这两个数的 平方和 ,再减去 这两个数乘积的2倍 .以上两个公式称为完全平方公式.
【预习自测】直接利用完全平方公式说出结果:(1)(x+y)2;(2)(x-y)2.
(1)x2+2xy+y2;(2)x2-2xy+y2.
问题探究二:完全平方公式的应用
阅读教材本课时“例1”,完成下面的问题.
1.第(1)题运用了哪个公式 公式中的a、b分别是什么 第(2)、(3)题呢
(1)运用公式(a-b)2=a2-2ab+b2,2x看作公式中的a,3看作公式中的b;(2)运用了公式(a+b)2=a2+2ab+b2,4x看作公式中的a,5y看作公式中的b;(3)公式(a-b)2=a2-2ab+b2,mn看作公式中的a,a看作公式中的b.
2.如果把第(3)题改成(m+n-a)2,你会应用完全平方公式做吗
(m+n-a)2=[(m+n)-a]2=(m+n)2-2(m+n)a+a2=m2+2mn+n2-2am-2an+a2.
【归纳总结】完全平方公式中的a,b,可以代表数, 也可以 (填“也可以”或“不可以”)代表一个整式.
【讨论】(a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2;(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2;(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2.
【预习自测】计算:(1)(a-2b)2;(2)(-2x-3y)2.
(1)
(a-2b)2=(a)2-2·(a)·(2b)+(2b)2=a2-2ab+4b2;
(2)(-2x-3y)2=[-(2x+3y)]2=(2x+3y)2=(2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:下列多项式乘法中可以用完全平方公式计算的有(B)
①(-a+b)(a-b); ②(x+2)(2+x); ③(x+y)(y-x); ④(x-2)(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
互动探究2:下列计算是否正确 如不正确如何改正
(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(m-n)2=m2-n2;(3)(a+2b)2=a2+2ab+2b2;(4)(-x-y)2=x2-2xy+y2.
解:(1)错,改正:(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)错,改正:(m-n)2=m2-2mn+n2;(3)错,改正:(a+2b)2=a2+2a·(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2;(4)错:改正:(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2,或(-x-y)2=(-x)2-2(-x)y+y2=x2+2xy+y2.
互动探究3:若4x2+kx+1是一个数的平方,则k= ±4
.
[变式演练]多项式4x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式可以是 4x或-4x或4x4 (填上一个你认为正确的即可).
【方法归纳交流】能化成一个数(或式子)的平方的三项式,变形后应具备的形式: a2+2ab+b2 或a2-2ab+b2.
互动探究4:计算:(1)(x+2y)2-x2;(2)(x+y+z)2.
解:(1)原式=x2+4xy+4y2-x2=4xy+4y2.
(2)原式=[(x+y)+z]2=(x+y)2+2(x+y)·z+z2=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2.
互动探究5:已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值.
解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.
[变式演练1]已知a-b=5,ab=-6,求a2+b2的值.
解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×(-6)=25-12=13.
[变式演练2]已知a-b=5,a2+b2=13,求a2b2的值.
解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以ab===-6.a2b2=(ab)2=(-6)2=36.
【方法归纳交流】完全平方公式的两个重要变形:(1)a2+b2=(a+b)2 -2ab ;(2)a2+b2=(a-b)2 +2ab . (共16张PPT)
6 完全平方公式
第2课时
1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征.
2.能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算.
3.能够综合运用乘法公式(平方差公式和完全平方公式)进行整式的简便运算.
4.重点:完全平方公式在整式混合运算中的应用及简便计算.
旧知回顾
1.完全平方公式与平方差公式.
完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.两个公式中的字母都能表示什么
数或代数式
问题探究一
利用完全平方公式进行简便运算
一、阅读教材本课时“例2”上面的内容,完成下列问题.
1.利用完全平方公式计算形如1022和1972的计算题时,怎样确定a,b的值
解:a取与底数接近的、易算出其平方的整数,b取a与底数的差.
在本题中计算1022时,a为100,b为2;计算1972时,a为200,b为-3.
2.怎样利用完全平方公式计算1022和1972
解:1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=104
04;
1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=388
09.
3.利用完全平方公式计算89.22,下列变形最恰当的是
(
)
A.(89+0.2)2
B.(90-0.8)2
C.(100-10.8)2
D.(80+9.2)2
B
4.在没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗
解:9982=(1000-2)2=10002-2×1000×2+22=100
000
0-4000+4=996
004.
二、阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.
1.
(a+b+3)(a+b-3)符合完全平方公式或平方差公式的形式吗 若利用公式计算需要哪几步
解:不符合.①变形,添括号变为[(a+b)+3][(a+b)-3];②用平方差公式计算,把(a+b)看作平方差公式中的a,3看作平方差公式中的b进行计算;③利用完全平方公式计算,得出最后结果.
2.你有几种方法计算(a+b+3)(a+b-3) 哪种方法更简单一些
解:2种.
方法一:按多项式乘多项式法则计算,再合并同类项;方法二:先利用平方差公式,再利用完全平方公式.
方法二更简单.
3.(x+5)2-(x-2)(x-3)=x2+10x+25-(x2-5x+6)这一步运算的理由是什么 需要注意什么
解:完全平方公式和多项式乘法法则.由于(x-2)(x-3)前面是负号,故展开后的结果要注意添括号.
【归纳总结】乘法公式中的字母,既可表示一个数,也可以表示一个代数式.因此对于较复杂的代数式,常用化繁为简(换元)的方法,转化成符合公式形式的式子后应用公式计算.在利用完全平方公式运算时,有时需要先变形,使变形后的式子符合完全平方公式的条件,即为“
”的平方,然后应用公式计算.
两数和(或差)
【预习自测】利用乘法公式计算:(1)(2a+b+1)(2a+b-1);(2)2032.
解:(1)(2a+b+1)(2a+b-1)=[(2a+b)+1][(2a+b)-1]=(2a+b)2-12=(2a)2+2·2a·b+b2-1=4a2+4ab+b2-1.
(2)2032=(200+3)2=2002+2×200×3+32=40000+1200+9=41209.
互动探究
1
利用完全平方公式进行计算:1252+250×75+752.
解:原式=1252+2×125×75+752=(125+75)2=2002=40000.
[变式演练]
利用完全平方公式进行计算:1252+752-250×75.
解:原式=1252-2×125×75+752=(125-75)2=502=2500.
【方法归纳交流】具有完全平方式的二次三项式可以化成一个整式的平方,即完全平方公式的逆运用:
.
先化简,再求值:(x-2y)(x+2y)-(x-2y)2,其中x=,y=-3.
互动探究
2
a2+2ab+b2=(a+b)2或a2-2ab+b2=(a-b)2
互动探究
3
(1)(xy+z)2-(xy-z)2;(2)(2a+b)(2a-b)+(a+b)2-2a(2a-b);(3)(x+3y-2)(x-3y+2).
解:(1)原式=x2y2+2xyz+z2-(x2y2-2xyz+z2)=x2y2+2xyz+z2-x2y2+2xyz-z2=4xyz;
(2)原式=4a2-b2+a2+2ab+b2-4a2+2ab=4ab+a2;
(3)原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2=x2-(9y2-12y+4)=x2-9y2+12y-4.
互动探究
4
解方程:(1-3x)2+(2x-1)2=13(x-1)(x+1).
解:1-6x+9x2+4x2-4x+1=13(x2-1),1-6x+9x2+4x2-4x+1=13x2-13,-6x+9x2+4x2-4x-13x2=-13-2,-10x=-15,x=1.5.
已知x+=4,求x2+的值.
互动探究
5
[变式演练]若已知x2-3x+1=0,能否求出x2+的值
【方法归纳交流】a2+与a+或a-的关系分别是
,
.
a2+=(a+)3-2
a2+=(a-)2+2
