第2课时
学习目标：
1.知道多项式除以单项式的运算法则,会进行简单的整式除法运算.
2.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,获得成功的体验.
3.明确整式除法的算理,养成有条理的思考及表达能力.
4.重点:多项式除以单项式的运算及实际应用.
【预习导学——不看不讲】
【旧知回顾】单项式与多项式相乘的运算法则: 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 .
问题探究一:多项式除以单项式
1.计算:(1)d·(a+b);(2)a·(ab+3b);(3)(xy)·(y2-2).
(1)ad+bd;(2)a·(ab+3b)=a·ab+a·3b=a2b+3ab;(3)(xy)·(y2-2)=(xy)·y2-(xy)·2=xy3-2xy.
2.观察上一题的计算结果,你能直接得到教材本课时“议一议”上面3个小题的结果吗 为什么
(1)a+b;(2)ab+3b;(3)y2-2.根据整式的乘法与除法是逆运算.
3.能不能类比有理数的除法转化为乘法运算来计算教材本课时“议一议”上面的计算题.
有理数的除法:(21+0.14)÷7=(21+0.14)×=21×+0.14×=3+0.02=3.02.
(1)(ad+bd)÷d=(ad+bd)·=ad·+bd·=a+b;(2)(a2b+3ab)÷a=(a2b+3ab)·=a2b·+3ab·=ab+3b;(3)(xy3-2xy)÷(xy)=(xy3-2xy)·=xy3·-2xy·=y2-2.
4.如何进行多项式除以单项式的运算
多项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算,只要注意每项前面的符号即可.
【归纳总结】多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加 .
【预习自测】计算(-12x4+6xy-4x)÷(-2x)的正确结果等于(C)
A.-6x3y+3y-4 B.-6x3-3xy+4x C.6x3-3y+2 D.6x3-3x-2
问题探究二:多项式除以单项式法则的应用
阅读教材本课时“例2”,解决下列问题.
1.多项式除以单项式,被除式的项数和商的项数有什么关系
被除式的项数和商的项数相等.
2.你能检验计算是否正确吗 你用的是什么方法 以第(1)题来验证你的方法.
利用乘除是互逆运算.(2b)·(3a+4)=(2b)·(3a)+(2b)·4=6ab+8b.
3.小颖在计算(27a3-15a2+3a)÷3a时给出了如下的解答过程,你认为她的解法正确吗 若不正确,请改正.
(27a3-15a2+3a)÷3a=27a3÷3a-15a2÷3a+3a÷3a=9a2-5a.
不正确,(27a3-15a2+3a)÷3a=27a3÷3a-15a2÷3a+3a÷3a=9a2-5a+1.
4.在多项式除法运算中,还遵循有理数的运算顺序吗
遵循,先乘方,再乘除后加减,有括号先算括号里的.
【归纳总结】我们可以用“被除式= 商×除式 ”来检验除法算式是否正确.
【预习自测】(-8x4y+12x3y2-4x2y3)÷(4x2y)等于(B)
A.-2x2y+3xy-y2
B.-2x2+3xy-y2
C.-2x2+3xy-y
D.-2x2+3xy2-y2
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5-21x5y5,则这个多项式是(C)
A.4x2-3y2
B.4x2y-3xy2
C.4x2-3y2+14xy2
D.4x2-3y2+7xy3
互动探究2:计算:(1)(a4b7-a2b6)÷(-ab3)2;(2)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷(2x).
解:(1)原式=(a4b7-a2b6)÷(a2b6)=(a4b7)÷(a2b6)-(a2b6)÷(a2b6)=6a2b-1.
(2)原式=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x)÷(2x)=(x2-8x)÷(2x)=x2÷(2x)-(8x)÷(2x)=x-4.
【方法归纳交流】整式的混合运算顺序是: 先乘方,后乘除,再加减,有括号先算括号里面的 .
互动探究3:已知a=2,b=-1,求代数式[5a4b2-(3a2b)2÷a2]÷(-2a2b)的值.
解:[5a4b2-(3a2b)2÷a2]÷(-2a2b)=[5a4b2-(9a4b2)÷a2]÷(-2a2b)=(5a4b2-9a2b2)÷(-2a2b)=-(5a4b2)÷(2a2b)+(9a2b2)÷(2a2b)=-a2b+b.当a=2,b=-1时,原式=-×22×(-1)+×(-1)=.
互动探究4:已知A=2x,B是一个多项式,小马虎在计算B+A时,误把B+A写成了B·A,结果得到了x2+x,请你帮助计算B+A.
解:因为A=2x,B·A=x2+x,所以B=(x2+x)÷(2x)=x+.
所以B+A=x++2x=x+.
[变式演练]
已知A=2x,B是一个多项式,小马虎在计算B+A时,误把B+A写成了B÷A,结果得到了x2+x,请你帮助计算B+A.
解:因为A=2x,B÷A=x2+x,所以B=(x2+x)·(2x)=2x3+x2,
所以B+A=2x3+x2+2x.
互动探究5:已知多项式-2x2+3x-1与x-1的商为ax+b,求a、b的值.
解:因为(x-1)·(ax+b)=ax2+bx-ax-b=ax2+(b-a)x-b,所以ax2+(b-a)x-b=-2x2+3x-1,所以a=-2,b=1.
[变式演练1]已知多项式-2x2+ax+b与x-1的商为-2x+1,求ab的值.
解:因为(x-1)·(-2x+1)=-2x2+x+2x-1=-2x2+3x-1,所以-2x2+ax+b=-2x2+3x-1,所以a=3,b=-1.ab=3-1=.
[变式演练2]
已知多项式-2x2+4x-1与x-1的商为ax+b,余式为1,求a、b的值.
解:因为(x-1)·(ax+b)+1=ax2+bx-ax-b+1=ax2+(b-a)x-b+1,所以ax2+(b-a)x-b+1=-2x2+4x-1,所以a=-2,b=2.
【方法归纳交流】解决此类题的关键是通过被除数、除数、商、余数之间的关系类比得到被除式、除式、商、余式之间的关系: 被除式=除式×商+余式 . (共18张PPT)
7 整式的除法
第2课时
1.知道多项式除以单项式的运算法则,会进行简单的整式除法运算.
2.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,获得成功的体验.
3.明确整式除法的算理,养成有条理的思考及表达能力.
4.重点:多项式除以单项式的运算及实际应用.
旧知回顾
问题探究一
单项式与多项式相乘的运算法则:
.
多项式除以单项式
1.计算:(1)d·(a+b);(2)a·(ab+3b);(3)(xy)·(y2-2).
(1)ad+bd;(2)a·(ab+3b)=a·ab+a·3b=a2b+3ab;(3)(xy)·(y2-2)=(xy)·y2-(xy)·2=xy3-2xy.
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
2.观察上一题的计算结果,你能直接得到教材本课时“议一议”上面3个小题的结果吗 为什么
(1)a+b;(2)ab+3b;(3)y2-2.根据整式的乘法与除法是逆运算.
3.能不能类比有理数的除法转化为乘法运算来计算教材本课时“议一议”上面的计算题.
4.如何进行多项式除以单项式的运算
多项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算,只要注意每项前面的符号即可.
【归纳总结】多项式除以单项式的法则:
.
【预习自测】计算(-12x4+6xy-4x)÷(-2x)的正确结果等于(
)
A.-6x3y+3y-4 B.-6x3-3xy+4x
C.6x3-3y+2
D.6x3-3x-2
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加
C
多项式除以单项式法则的应用
问题探究二
阅读教材本课时“例2”,解决下列问题.
1.多项式除以单项式,被除式的项数和商的项数有什么关系
被除式的项数和商的项数相等.
2.你能检验计算是否正确吗 你用的是什么方法 以第(1)题来验证你的方法.
利用乘除是互逆运算.(2b)·(3a+4)=(2b)·(3a)+(2b)·4=6ab+8b.
3.小颖在计算(27a3-15a2+3a)÷3a时给出了如下的解答过程,你认为她的解法正确吗 若不正确,请改正.
(27a3-15a2+3a)÷3a=27a3÷3a-15a2÷3a+3a÷3a=9a2-5a.
不正确,(27a3-15a2+3a)÷3a=27a3÷3a-15a2÷3a+3a÷3a=9a2-5a+1.
4.在多项式除法运算中,还遵循有理数的运算顺序吗
遵循,先乘方,再乘除后加减,有括号先算括号里的.
【归纳总结】我们可以用“被除式=
”来检验除法算式是否正确.
【预习自测】(-8x4y+12x3y2-4x2y3)÷(4x2y)等于(
)
A.-2x2y+3xy-y2
B.-2x2+3xy-y2
C.-2x2+3xy-y D.-2x2+3xy2-y2
商×除式
B
互动探究
1
已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5-21x5y5,则这个多项式是
(
)
A.4x2-3y2
B.4x2y-3xy2
C.4x2-3y2+14xy2
D.4x2-3y2+7xy3
C
互动探究
2
【方法归纳交流】整式的混合运算顺序是:
.
先乘方,后乘除,再加减,有括号先算括号里面的
已知a=2,b=-1,求代数式[5a4b2-(3a2b)2÷a2]÷(-2a2b)的值.
互动探究
3
互动探究
4
已知多项式-2x2+3x-1与x-1的商为ax+b,求a、b的值.
解:因为(x-1)·(ax+b)=ax2+bx-ax-b=ax2+(b-a)x-b,所以ax2+(b-a)x-b=-2x2+3x-1,所以a=-2,b=1.
[变式演练1]已知多项式-2x2+ax+b与x-1的商为-2x+1,求ab的值.
互动探究
5
[变式演练2]
已知多项式-2x2+4x-1与x-1的商为ax+b,余式为1,求a、b的值.
解:因为(x-1)·(ax+b)+1=ax2+bx-ax-b+1=ax2+(b-a)x-b+1,所以ax2+(b-a)x-b+1=-2x2+4x-1,所以a=-2,b=2.
【方法归纳交流】解决此类题的关键是通过被除数、除数、商、余数之间的关系类比得到被除式、除式、商、余式之间的关系:
.
被除式=除式×商+余式(共16张PPT)
7 整式的除法
第1课时
1.知道单项式除以单项式的运算法则,会进行单项式除以单项式的运算.
2.经历探索单项式除法的运算法则的过程,获得成功的体验和多样化的算法.
3.通过探究同底数幂的除法法则,体会从特殊到一般,从具体到抽象的数学思想和方法.
4.重点:单项式的除法运算及简单应用.
旧知回顾
1.同底数幂的除法法则:
.
2.除法的意义:
.
问题探究一
单项式除以单项式
am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数),同底数幂相除,底数不变,指数相减
已知两因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算
1.下雨时,常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,这是因为光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度为3.0×108米/秒,而声音在空气中的传播速度约为300米/秒,你知道光速是声速的多少倍吗
3.0×108÷300=106(倍)
2.计算:(1)x2·(x3y);(2)(2m2n)·(4n);(3)(3a2b)·(a2bc).
(1)x5y;(2)8m2n2;(3)a4b2c.
3.观察上一题的计算结果,你能直接得到教材“议一议”上面3个小题的结果吗 为什么
4.你能用类似于分数约分的方法来计算教材“议一议”上面3个小题吗
5.你发现上述计算结果中同底数幂的底数和指数各有什么规律吗
底数不变,指数等于被除数中同底数幂的指数减去除数的指数.
6.阅读教材本课时“例1”,解决下列问题.
(1)第(3)题涉及了哪几种运算 观察此题的解答过程,你能归纳出运算顺序吗
积的乘方、整式的乘法和除法.先乘方,后乘除,当整个算式中只有乘除法时,按从左往右的顺序计算.
(2)解答第(4)题的关键是把整个算式看作是关于
的同底数幂的除法.
7.单项式的除法应注意:(1)系数
——有理数的
,注意符号;(2)同底数幂
,注意a0=
;(3)只在被除数式中单独字母的处理——作为商的一个因式.
(2a+b)
相除
除法
相除
1
【预习自测】下列计算,结果正确的是
(
)
A.8x6÷2x2=4x3
B.10x6÷5x3=12x3
C.(-2x2y2)3÷(-xy)3=-2x3y3
D.(-xy2)2÷(-x2y)=-y3
D
【归纳总结】单项式除以单项式的法则:单项式相除,把
、
分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的
作为商的一个因式.
系数
同底数幂
指数
互动探究
1
下列计算中错误的有
(
)
①4a3b÷2a2=2a;
②-12x4y3÷2x2y=6x2y2;
③-16a2bc÷14a2b=-4c;
④(12ab2)3÷12ab2=14a2b4.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
互动探究
2
已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b,则m+n=
.
5
[变式演练]
已知|m-3|+(n-2)2=0,化简6am+5bm÷(-2abn).
解:因为|m-3|+(n-2)2=0,所以m-3=0,n-2=0,即m=3,n=2.
6am+5bm÷(-2abn)=6a8b3÷(-2ab2)=-3a7b.
计算:(x-2y)4÷(x-2y)2.
解:(x-2y)4÷(x-2y)2
=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
互动探究
3
[变式演练1]
计算:(x-2y)5÷(2y-x)3.
解:原式=-(2y-x)5÷(2y-x)3=-(2y-x)5-3
=-(2y-x)2=-(4y2-4xy+x2)=-4y2+4xy-x2.
[变式演练2]
计算:[2(x-2y)2]4÷[4(x-2y)3·(2y-x)3].
解:原式=16(x-2y)8÷[-4(x-2y)6]=-4(x-2y)2
=-4(x2-4xy+4y2)=-4x2+16xy-16y2.
【方法归纳交流】当底数是相同的多项式或相反数(式)的幂的除法时,注意变形后运用
的除法法则进行解答,此类题往往渗透了
思想.
互动探究
4
先化简,再求值:[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)2,其中a=-5.
解:[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)2=[5a6-(9a12)÷(a6)]÷(4a4)=(5a6-9a6)÷(4a4)=-4a6÷(4a4)=-a2.当a=-5时,原式=-(-5)2=-25.
同底数幂
整体
[变式演练]李老师给同学们出了一道题:当a=-5时,求代数式[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)3的值.题目出完后,小军说:“老师给的条件a=-5是多余的.”小敏说:“不给这个条件就不能求出结果,不是多余的.”你认为谁说得有道理 为什么
计算:[(-3x2y4)2·x3-2x·(3x2y2)3·y2]÷9x7y8.
【方法归纳交流】在整式的混合运算中,运算顺序是:
.
互动探究
5
先乘方,后乘除,再加减,有括号先算括号里面的7 整式的除法
第1课时
学习目标：
1.知道单项式除以单项式的运算法则,会进行单项式除以单项式的运算.
2.经历探索单项式除法的运算法则的过程,获得成功的体验和多样化的算法.
3.通过探究同底数幂的除法法则,体会从特殊到一般,从具体到抽象的数学思想和方法.
4.重点:单项式的除法运算及简单应用.
【预习导学——不看不讲】
【旧知回顾】1.同底数幂的除法法则: am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数),同底数幂相除,底数不变,指数相减 .
2.除法的意义: 已知两因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算 .
问题探究:单项式除以单项式
1.下雨时,常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,这是因为光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度为3.0×108米/秒,而声音在空气中的传播速度约为300米/秒,你知道光速是声速的多少倍吗
3.0×108÷300=106(倍).
2.计算:(1)x2·(x3y);(2)(2m2n)·(4n);(3)(3a2b)·(a2bc).
(1)x5y;(2)8m2n2;(3)a4b2c.
3.观察上一题的计算结果,你能直接得到教材“议一议”上面3个小题的结果吗 为什么
(1)x3y;(2)4n;(3)a2bc.除法的意义.
4.你能用类似于分数约分的方法来计算教材“议一议”上面3个小题吗
(1)(x5y)÷x2===x3y;(2)(8m2n2)÷(2m2n)===4n;(3)(a4b2c)÷(3a2b)===a2bc.
5.你发现上述计算结果中同底数幂的底数和指数各有什么规律吗
底数不变,指数等于被除数中同底数幂的指数减去除数的指数.
6.阅读教材本课时“例1”,解决下列问题.
(1)第(3)题涉及了哪几种运算 观察此题的解答过程,你能归纳出运算顺序吗
积的乘方、整式的乘法和除法.先乘方,后乘除,当整个算式中只有乘除法时,按从左往右的顺序计算.
(2)解答第(4)题的关键是把整个算式看作是关于 (2a+b) 的同底数幂的除法.
7.单项式的除法应注意:(1)系数 相除 ——有理数的 除法 ,注意符号;(2)同底数幂 相除 ,注意a0= 1 ;(3)只在被除数式中单独字母的处理——作为商的一个因式.
【归纳总结】单项式除以单项式的法则:单项式相除,把 系数 、 同底数幂 分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 指数 作为商的一个因式.
【预习自测】下列计算,结果正确的是(D)
A.8x6÷2x2=4x3 B.10x6÷5x3=x3
C.(-2x2y2)3÷(-xy)3=-2x3y3
D.(-xy2)2÷(-x2y)=-y3
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:下列计算中错误的有(C)
①4a3b÷2a2=2a;
②-12x4y3÷2x2y=6x2y2;
③-16a2bc÷a2b=-4c;
④(ab2)3÷ab2=a2b4.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
互动探究2:已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b,则m+n= 5 .
[变式演练]
已知|m-3|+(n-2)2=0,化简6am+5bm÷(-2abn).
解:因为|m-3|+(n-2)2=0,所以m-3=0,n-2=0,即m=3,n=2.
6am+5bm÷(-2abn)=6a8b3÷(-2ab2)=-3a7b.
互动探究3:计算:(x-2y)4÷(x-2y)2.
解:(x-2y)4÷(x-2y)2
=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
[变式演练1]
计算:(x-2y)5÷(2y-x)3.
解:原式=-(2y-x)5÷(2y-x)3=-(2y-x)5-3
=-(2y-x)2=-(4y2-4xy+x2)=-4y2+4xy-x2.
[变式演练2]
计算:[2(x-2y)2]4÷[4(x-2y)3·(2y-x)3].
解:原式=16(x-2y)8÷[-4(x-2y)6]=-4(x-2y)2
=-4(x2-4xy+4y2)=-4x2+16xy-16y2.
【方法归纳交流】当底数是相同的多项式或相反数(式)的幂的除法时,注意变形后运用 同底数幂 的除法法则进行解答,此类题往往渗透了 整体 思想.
互动探究4:先化简,再求值:[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)2,其中a=-5.
解:[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)2=[5a6-(9a12)÷(a6)]÷(4a4)=(5a6-9a6)÷(4a4)=-4a6÷(4a4)=-a2.当a=-5时,原式=-(-5)2=-25.
[变式演练]李老师给同学们出了一道题:当a=-5时,求代数式[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)3的值.题目出完后,小军说:“老师给的条件a=-5是多余的.”小敏说:“不给这个条件就不能求出结果,不是多余的.”你认为谁说得有道理 为什么
解:[5a4·a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)3=[5a6-(9a12)÷(a6)]÷(-8a6)=(5a6-9a6)÷(-8a6)=-4a6÷(-8a6)=,即原代数式的值与a的值无关.所以小军说的对.
互动探究5:计算:[(-3x2y4)2·x3-2x·(3x2y2)3·y2]÷9x7y8.
解:原式=[9x4y8·x3-2x·(27x6y6)·y2]÷9x7y8=(9x7y8-18x7y8)÷9x7y8=-9x7y8÷9x7y8=-1.
【方法归纳交流】在整式的混合运算中,运算顺序是: 先乘方,后乘除,再加减,有括号先算括号里面的 .
