第二章 复 习 课
学习目标：
1.掌握平行线与相交线的相关知识,梳理本章内容,构建知识网络;并能灵活运用知识解决问题.
2.在丰富的情景中,抽象出平行线、相交线等几何模型,通过讨论角与角之间的关系,进一步认识平行线和相交线.
3.会使用几何作图语言,锻炼语言表达能力及逻辑思维能力.
4.重点:各个知识的认识及综合应用.
【预习导学——不看不讲】
◆体系构建
请你尝试补充知识网络图:
◆核心梳理
1.余角、补角、对顶角的概念
(1)如果两个角的和是 90° ,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是 180° ,那么称这两个角互为 补角 .
(2)辨认对顶角要两看:一看是否是两条直线 相交 所成的角;二看是否有 公共顶点 而没有公共边的角.
2.“三角”的性质
(1)互为余角的有关性质:①若∠1+∠2=90°,则∠1,∠2 互为余角 ;反过来,若∠1,∠2互为余角,则∠1+∠2= 90° ;②同角或等角的余角 相等 ;若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则 ∠2=∠3 .
(2)互为补角的有关性质:①若∠A+∠B=180°,则∠A,∠B互为补角;反过来,若∠A,∠B互为补角,则∠A+∠B= 180° ;②同角或等角的补角相等;若∠A+∠C=180°,∠A+∠B=180°,则 ∠B=∠C .
(3)对顶角的性质:对顶角 相等 .
3.直线平行的条件
(1)同位角 相等 ,两直线平行.(2)内错角 相等 ,两直线平行.(3)同旁内角 互补 ,两直线平行.
注意:直线平行的条件的实质就是通过角度的数量关系“转化”为两直线的 位置 关系.
4.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角 相等 .(2)两直线平行,内错角 相等 .(3)两直线平行,同旁内角 互补 .
注意:这是平行线特有的性质,切不可忽视前提条件“ 两直线平行 ”,不要一提同位角或内错角就认为是相等的.
5.尺规作图
只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为 尺规作图 .用尺规可以作一条线段等于已知线段,也可以作一个角等于已知角.利用这两种基本作图可以作出两条线段的 和或差 ,也可以作出两个角的 和或差 .
【合作探究——不议不讲】
专题一 相关基本概念
1.如图,直线AB、CD、EF都经过点O,则图中的对顶角有(B)
A.3对 B.6对
C.4对
D.5对
2.在第1题中,若∠AOD∶∠AOE∶∠DOF=1∶3∶5,则∠BOF的度数为(C)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【方法归纳交流】当图中有两条相交直线时,要求角的度数,可根据“ 对顶角相等 ”,将要求的角转化为已知角求解.
专题二 有关角的计算
3.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°,则这个角的度数是 65° .
4.如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠BOC内一点,已知OE⊥AB,∠AOC=45°,则∠DOE的度数是(B)
A.125°
B.135°
C.145°
D.155°
5.如图,已知直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,∠1=25°,则∠2= 155 °,∠3= 25 °,∠4= 65 °.
6.将一副三角板摆放成如图,图中∠1= 120 度.
7.如图所示,小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏,他将纸片沿EF折叠后,D、C两点分别落在D'、C'的位置,并利用量角器量得∠EFB=65°,求∠AED'的度数.
解:根据长方形的对边AD与BC平行,得∠DEF=∠EFB=65°,根据折叠可知∠D'EF=∠DEF=65°,所以∠D'ED=65°+65°=130°,由∠AED'+∠D'ED=180°,得∠AED'=180°-130°=50°.
【方法归纳交流】折叠后重合的角 相等 ,重合的线段 相等 .
专题三 有关角相等和直线平行的推理问题
8.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中标记的角中,写出所有与∠1互余的角.
解:与∠1互余的角有∠2,∠3,∠4.
由直尺对边平行知∠2=∠3=∠4.而三角板直角为90°知∠1+∠2=90°,知∠2为∠1余角.因而此与∠2相等的角∠3,∠4也是∠1的余角.
9.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E,F,∠BEF的角平分线与∠DFE的角平分线相交于点P.试说明:∠P=90°.
解:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.
因为∠FEB的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,
所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,
所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°.
因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°,所以∠P=90°.
10.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=∠E.∠D与∠E相等吗 为什么 下面是小明的解答过程,请你补充完整.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠ABC= ∠BCE ( 两直线平行,内错角相等 ).
因为AD∥BC(已知),
所以∠D= ∠BCE ( 两直线平行,同位角相等 ).
所以∠ABC= ∠D (等量代换).
又因为∠ABC=∠E(已知)
所以∠D=∠E( 等量代换 ).
【方法归纳交流】得到角相等的途径有:(1)同角(等角)的余角 相等 ;(2)同角(等角)的补角 相等 ;(3)对顶角 相等 ;(4)两直线平行, 同位角 相等;(5)两直线平行, 内错角 相等.得到直线平行的途径有:(1)平行于同一条直线的两直线 平行 ;(2) 同位角 相等,两直线平行;(3) 内错角 相等,两直线平行;(4)同旁内角 互补 ,两直线平行.
专题四 尺规作图
11.已知∠α,求作∠ABC,使∠ABC=2∠α,要求:不写作法,保留作图痕迹.
解:如图
专题五 开放题型
12.如图,AB⊥EF,CD⊥EF,∠1=∠F=45°,则图中与∠FCD相等的角有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
13.如图,AB∥EF∥CD,点P在线段EF上.当点P从E向F沿线段EF移动过程中,∠A、∠APC、∠C之间有什么关系
解:如图(1),点P在AC的左边,因为AB∥EF,所以∠A+∠APF=180°(两直线平行,同旁内角互补).又因为EF∥CD,所以∠CPF+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠A+∠APF+∠CPF+∠C=360°,即:∠A+∠APC+∠C=360°.
如图(2),点P在AC上,此时∠APC=180°,因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°,即:∠A+∠C=∠APC=180°.
如图(3),点P在AC的右边,因为AB∥EF,所以∠A=∠APE(两直线平行,内错角相等).又因为EF∥CD,所以∠CPE=∠C(两直线平行,内错角相等).所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE,即∠A+∠C=∠APC.
专题六 数学思想方法的应用
14.如图,已知FC∥AB∥DE,∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4,求∠α,∠D,∠B的大小.
解:设∠α=2x°,∠D=3x°,∠B=4x°,因为FC∥AB∥DE,所以∠2+∠B=180°,∠1+∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°,∠1=180°-∠D=180°-3x°.又因为∠1+∠2+∠α=180°,所以有(180-3x)+(180-4x)+2x=180,解得x=36.所以∠α=2x°=72°,∠D=3x°=108°,∠B=4x°=144°.
15.如图,A、B、C三点在同一条直线上,∠1=∠2,∠3=∠D,试说明BD∥CE.
解:因为∠1=∠2(已知),所以AD∥BE(内错角相等,两直线平行).所以∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等).又因为∠3=∠D(已知),所以∠3=∠DBE(等量代换),所以BD∥CE(内错角相等,两直线平行).
16.如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,FG⊥AB于G,交BC于F,若∠1=∠2.试问CD与AB的位置关系如何 并说明理由.
解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,所以∠AED=∠ACB=90°(垂直的定义),所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行),所以∠2=∠DCB(两直线平行,内错角相等),又因为∠1=∠2,所以∠1=∠DCB(等量代换),所以FG∥CD(同位角相等,两直线平行),所以∠FGB=∠CDB(两直线平行,同位角相等),又因为∠FGB=90°,所以∠CDB=90°,所以CD⊥AB.
17.在∠ABC和∠DEF中,DE∥AB,EF∥BC,请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.
解:如图,有两种不同的情况.在图(1)中,因为DE∥AB、EF∥BC,所以∠ABC=∠1,∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.在图(2)中,因为DE∥AB,所以∠2=∠B.又因为EF∥BC,所以∠DEF+∠1=180°.故∠ABC+∠DEF=180°.
【方法归纳交流】常见的数学思想方法有 方程思想 、 转化思想 、 分类讨论思想 . (共24张PPT)
1.掌握平行线与相交线的相关知识,梳理本章内容,构建知识网络;并能灵活运用知识解决问题.
2.在丰富的情景中,抽象出平行线、相交线等几何模型,通过讨论角与角之间的关系,进一步认识平行线和相交线.
3.会使用几何作图语言,锻炼语言表达能力及逻辑思维能力.
4.重点:各个知识的认识及综合应用.
体系构建
请你尝试补充知识网络图:
核心梳理
1.余角、补角、对顶角的概念
(1)如果两个角的和是
,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是
,那么称这两个角互为
.
(2)辨认对顶角要两看:一看是否是两条直线
所成的角;二看是否有
而没有公共边的角.
90°
180°
补角
相交
公共顶点
2.“三角”的性质
(1)互为余角的有关性质:①若∠1+∠2=90°,则∠1,∠2
;反过来,若∠1,∠2互为余角,则∠1+∠2=
;②同角或等角的余角
;若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则
.
(2)互为补角的有关性质:①若∠A+∠B=180°,则∠A,∠B互为补角;反过来,若∠A,∠B互为补角,则∠A+∠B=
;②同角或等角的补角相等;若∠A+∠C=180°,∠A+∠B=180°,则
.
互为余角
90°
相等
∠2=∠3
180°
∠B=∠C
(3)对顶角的性质:对顶角
.
3.直线平行的条件
(1)同位角
,两直线平行.(2)内错角
,两直线平行.(3)同旁内角
,两直线平行.
注意:直线平行的条件的实质就是通过角度的数量关系“转化”为两直线的
关系.
4.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角
.(2)两直线平行,内错角
.(3)两直线平行,同旁内角
.
相等
相等
相等
互补
互补
位置
相等
相等
注意:这是平行线特有的性质,切不可忽视前提条件“
”,不要一提同位角或内错角就认为是相等的.
5.尺规作图
只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为
.用尺规可以作一条线段等于已知线段,也可以作一个角等于已知角.利用这两种基本作图可以作出两条线段的
,也可以作出两个角的
.
两直线平行
尺规作图
和或差
和或差
专题一 相关基本概念
1.如图,直线AB、CD、EF都经过点O,则图中的对顶角有
(
)
A.3对
B.6对
C.4对
D.5对
2.在第1题中,若∠AOD∶∠AOE∶∠DOF=1∶3∶5,则∠BOF的度数为
(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
C
【方法归纳交流】当图中有两条相交直线时,要求角的度数,可根据“
”,将要求的角转化为已知角求解.
专题二 有关角的计算
3.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°,则这个角的度数是
.
4.如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠BOC内一点,已知OE⊥AB,∠AOC=45°,则∠DOE的度数是
(
)
A.125°
B.135°
C.145°
D.155°
对顶角相等
65°
B
5.如图,已知直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,∠1=25°,则∠2=
°,∠3=
°,∠4=
°.
6.将一副三角板摆放成如图,图中∠1=
度.
155
25
65
120
7.如图所示,小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏,他将纸片沿EF折叠后,D、C两点分别落在D'、C'的位置,并利用量角器量得∠EFB=65°,求∠AED'的度数.
解:根据长方形的对边AD与BC平行,得∠DEF=∠EFB=65°,根据折叠可知∠D'EF=∠DEF=65°,所以∠D'ED=65°+65°=130°,由∠AED'+∠D'ED=180°,得∠AED'=180°-130°=50°.
【方法归纳交流】折叠后重合的角
,重合的线段
.
专题三 有关角相等和直线平行的推理问题
8.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中标记的角中,写出所有与∠1互余的角.
解:与∠1互余的角有∠2,∠3,∠4.
由直尺对边平行知∠2=∠3=∠4.而三角板直角为90°知∠1+∠2=90°,知∠2为∠1余角.因而此与∠2相等的角∠3,∠4也是∠1的余角.
相等
相等
9.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E,F,∠BEF的角平分线与∠DFE的角平分线相交于点P.试说明:∠P=90°.
10.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=∠E.∠D与∠E相等吗 为什么 下面是小明的解答过程,请你补充完整.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠ABC=
(
).
因为AD∥BC(已知),
所以∠D=
(
).
所以∠ABC=
(等量代换).
又因为∠ABC=∠E(已知)
所以∠D=∠E(
).
∠BCE
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同位角相等
∠BCE
∠D
等量代换
【方法归纳交流】得到角相等的途径有:(1)同角(等角)的余角
;(2)同角(等角)的补角
;(3)对顶角
;(4)两直线平行,
相等;(5)两直线平行,
相等.得到直线平行的途径有:(1)平行于同一条直线的两直线
;(2)
相等,两直线平行;(3)
相等,两直线平行;(4)同旁内角
,两直线平行.
相等
相等
相等
同位角
同位角
内错角
内错角
平行
互补
专题四 尺规作图
11.已知∠α,求作∠ABC,使∠ABC=2∠α,要求:不写作法,保留作图痕迹.
解:如图
专题五 开放题型
12.如图,AB⊥EF,CD⊥EF,∠1=∠F=45°,则图中与∠FCD相等的角有
(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
13.如图,AB∥EF∥CD,点P在线段EF上.当点P从E向F沿线段EF移动过程中,∠A、∠APC、∠C之间有什么关系
解:如图(1),点P在AC的左边,因为AB∥EF,所以∠A+∠APF=180°(两直线平行,同旁内角互补).又因为EF∥CD,所以∠CPF+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠A+∠APF+∠CPF+∠C=360°,即:∠A+∠APC+∠C=360°.
如图(2),点P在AC上,此时∠APC=180°,因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°,即:∠A+∠C=∠APC=180°.
如图(3),点P在AC的右边,因为AB∥EF,所以∠A=∠APE(两直线平行,内错角相等).又因为EF∥CD,所以∠CPE=∠C(两直线平行,内错角相等).所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE,即∠A+∠C=∠APC.
专题六 数学思想方法的应用
14.如图,已知FC∥AB∥DE,∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4,求∠α,∠D,∠B的大小.
解:设∠α=2x°,∠D=3x°,∠B=4x°,因为FC∥AB∥DE,所以∠2+∠B=180°,∠1+∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°,∠1=180°-∠D=180°-3x°.又因为∠1+∠2+∠α=180°,所以有(180-3x)+(180-4x)+2x=180,解得x=36.所以∠α=2x°=72°,∠D=3x°=108°,∠B=4x°=144°.
15.如图,A、B、C三点在同一条直线上,∠1=∠2,∠3=∠D,试说明BD∥CE.
解:因为∠1=∠2(已知),所以AD∥BE(内错角相等,两直线平行).所以∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等).又因为∠3=∠D(已知),所以∠3=∠DBE(等量代换),所以BD∥CE(内错角相等,两直线平行).
16.如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,FG⊥AB于G,交BC于F,若∠1=∠2.试问CD与AB的位置关系如何 并说明理由.
解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,所以∠AED=∠ACB=90°(垂直的定义),所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行),所以∠2=∠DCB(两直线平行,内错角相等),又因为∠1=∠2,所以∠1=∠DCB(等量代换),所以FG∥CD(同位角相等,两直线平行),所以∠FGB=∠CDB(两直线平行,同位角相等),又因为∠FGB=90°,所以∠CDB=90°,所以CD⊥AB.
17.在∠ABC和∠DEF中,DE∥AB,EF∥BC,请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.
解:如图,有两种不同的情况.在图(1)中,因为DE∥AB、EF∥BC,所以∠ABC=∠1,∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.在图(2)中,因为DE∥AB,所以∠2=∠B.又因为EF∥BC,所以∠DEF+∠1=180°.故∠ABC+∠DEF=180°.
【方法归纳交流】常见的数学思想方法有
、
、
.
方程思想
转化思想
分类讨论思想
