第2课时
学习目标：
1.知道垂直概念,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.理解垂线段的概念,知道垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.
3.通过相交线、垂线体现出的一般与特殊的关系,培养辩证唯物主义思想及不断探索发现新知识的精神.
4.重点:两条直线互相垂直的概念、两个性质和画法,点到直线的距离的概念及其简单应用.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:垂直的定义
阅读教材本课时“做一做”上面的部分,解决下列问题.
1.两条直线相交成四个角,如果有一个角是 直角 ,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条直线的 垂线 ,它们的交点叫作 垂足 .
2.垂直用符号“ ⊥ ”来表示,若直线AB与直线CD垂直,记作 AB⊥CD .
【预习自测】判断以下两条直线是否垂直.
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个是直角.(是)
(2)两条直线相交所成的四个角相等.(是)
(3)两条直线相交,有三个角为直角.(是)
(4)两条直线相交,对顶角互补.(是)
问题探究二:垂线的性质
1.阅读教材本课时“做一做”,解决其中提出的问题.
(1)可以,分别延长三角尺两直角边的线,相交角就是直角.
(2)可以,如图.
2.如图,用折纸的方法过A点,你能折出几条与线段a垂直的直线,怎么折叠
过A点只能折出一条与直线a垂直的直线,过A点折一条线且线段a的一部分与a的另一部重合.
3.阅读教材本课时“想一想(1)”,回答其中提出的问题.
过A点只能作出一条垂线垂直直线l,如果A点在直线l外边也只能作一条垂线.
4.通过以上操作,你能得出什么结论
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5.观察教材“想一想”“图2-8”中,用叠合法或度量法可得PA、PB、PC、PO等线段中,线段 PO 最短.
6.以上发现集中体现了一个事实,怎么表述出来
在连接直线外一点到直线上各点的线段中,垂线段最短,也就是常说的“垂线段最短”
.
【归纳总结】1.平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段 最短 .
3.过直线外一点作直线l的垂线,点到垂足的距离叫点到直线的 距离 .
【讨论】垂线与垂线段有什么区别与联系
垂线段是一条线段,可以测量长度,而垂线是一条直线,不可测量,它是无限延长的;垂线段是垂线上的一部分.
【预习自测】线段AB=5
cm,点C为任意一点,当点C位于 线段AB上 时,AC+BC最短,依据是 两点之间,线段最短 ;在△ABC中,∠ACB=90°,则AC < AB(填“<
”或“=”或“>”),依据是垂线段最短.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:直线l上有A、B、C三点,直线l外有一点P,若PA=5
cm,PB=4
cm,PC=3
cm,那么P点到直线l的距离(C)
A.等于3
cm B.小于3
cm
C.不大于3
cm
D.大于3
cm而小于4
cm
互动探究2:如图,直线AB⊥CD,垂足为点O,射线OP在∠AOD的内部,且∠POA=4∠POD,则∠COP与∠BOP的度数比为 3∶2 .
互动探究3:如图,CO⊥AB,垂足为O,过点O作∠AOE=∠COF,EO与FO是否垂直 并说明理由.
解:垂直.因为CO⊥AB,所以∠AOC=90°,即∠AOE+∠EOC=90°.
因为∠AOE=∠COF,所以∠COF+∠EOC=90°,
即EO⊥FO.
[变式演练]对于探究3,若条件不变,∠COE=∠BOF吗
解:∠COE=∠BOF.由探究3可知EO⊥FO,又因为CO⊥AB,
所以由同角的余角相等可得∠COE=∠BOF.
互动探究4:下面题目,三名同学有不同做法,请你判断对错,若你不同意他们的做法,请你写出正确的做法.
题目:如图所示,说明如何量出点C到线段AB的距离.
甲同学:只要量出线段BC的长度即可;乙同学:过点C无法向线段AB作垂线,所以无法量出点C到线段AB的距离;丙同学:过点C作线段AB的垂线,垂线和线段AB不相交,所以不能量出点C到线段AB的距离.
解:以上三位同学的做法都不正确,正确的做法是过C点向线段AB作垂线,交线段AB延长线于D点,垂线段CD的长度就是点C到线段AB的距离.
互动探究5:如图,P、Q分别是在公路l两旁的两个村庄,现要在公路上建一个购物中心,要使P村的人购物方便,购物中心该建在何处 画图表示,并说明理由;
解:如图,过P点作PE垂直于公路l,交公路于点E,由垂线段最短可得,点E就是购物中心的位置.第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时
学习目标：
1.会辨认平行线和相交线.
2.知道余角、补角、对顶角的概念,并能在具体情境中进行识别.
3.能推导并归纳对顶角的性质,并会进行有关的简单计算和解决一些简单的实际问题.
4.重点:余角、补角、对顶角的性质及简单应用.
【预习导学——不看不讲】
知识梳理一:平面内两条直线的位置关系
阅读教材本课时“议一议”及其上面的内容,完成下列问题.
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有 相交 和 平行 两种.
2.若两条直线 只有一个公共点 ,我们称这两条直线为相交线.
3.在同一平面内, 不相交 的两条直线叫作平行线.
图1
4.如图1,直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有 公共顶点O ,它们的两边 互为反向延长线 ,这样的两个角叫作对顶角.
【预习自测】在图1中,除了∠1与∠2,还有其它的角也构成对顶角吗
∠3与∠4.
问题探究一:对顶角的性质
1.在图1中,∠1与∠2的大小有什么关系 ∠3与∠4呢 为什么
∠1=∠2,∠3=∠4.
理由:因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2.
同理可得∠3=∠4.
【归纳总结】对顶角 相等 .
【预习自测】如右图,MN与EF相交于点O,∠α=30°,则∠β= 30° ,根据对顶角相等.
知识梳理二:补角、余角的定义
阅读教材本课时“想一想”,完成下列问题.
1.如果两个角的和是 180° ,那么称这两个角互为补角.
2.
如果两个角的和是 90° ,那么称这两个角互为余角.
【讨论】互为余角的两个角与它们的位置有关吗
无关.
【预习自测】已知∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为补角,若∠1=42°,则∠2= 48° ,∠3= 138° .
问题探究二:补角、余角的性质
1.阅读教材本课时“做一做”,回答其中的问题.
(1)∠1与∠AOC互为补角,∠2与∠BOD互为补角,∠1与∠BOD互为补角,∠2与∠AOC互为补角.∠1与∠3互为余角,∠1与∠4互为余角,∠2与∠3互为余角,∠2与∠4互为余角.
(2)∠3=∠4,理由:由(1)知∠3+∠1=90°,∠4+∠1=90°,所以∠3=∠4.
(3)∠AOC=∠BOD,理由:由(1)知∠3+∠AOC=180°,∠3+∠BOD=180°,所以∠AOC=∠BOD.
2.在教材“图2-3”中,∠2的余角有哪些 它们有什么关系
∠2的余角是∠3和∠4,∠3=∠4.
【归纳总结】同角或等角的补角 相等 ,同角或等角的余角 相等 .
【预习自测】1.如果∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则 ∠2 = ∠3 .理由是 同角的余角相等 .
2.如果∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,则 ∠3 = ∠4 .理由是 等角的补角相等 .
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:下图中∠1与∠2是否对顶角 若是在下面的括号里画“√”,不是的画“×”.
( × ) ( × ) ( × ) ( √ )
【方法归纳交流】对顶角的两个特点:①有 公共 顶点;②两边 互为反向延长线 .
[变式演练]如图,三条线相交于一点所成的小于平角的对顶角有(D)
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
互动探究2:如果一个角等于36°,那么它的余角等于(B)
A.64° B.54° C.144° D.36°
[变式演练]如果一个角的余角是它本身的1.5倍,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,根据题意得,90-x=1.5x,解得x=36.即这个角为36°.
【方法归纳交流】用方程思想解决几何问题是一种良好的方法,此题中要灵活运用余角、补角的性质将已知条件和要求的角联系起来.
互动探究3:如图,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将黑球撞入袋中,此时∠1=∠2,并且∠2+∠3=90°,如果∠3=30°,要保证黑球直接入袋,那么∠1= 60 度.
互动探究4:如图,已知∠AOD=∠BOD=90°,且∠1=∠3,则图中互余的角共有(B)
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
[变式演练1]在上题中,若∠1=65°,则∠2= 25° ,∠BOC= 115° .
[变式演练2]在上题中,与∠3互补的角是 ∠BOC ,与∠AOE互补的角是 ∠2和∠4 .
互动探究5:如图,已知点O是直线AE上一点,OB平分∠AOC,OD平分∠COE.
(1)试写出∠COD的余角和∠AOD的补角.
(2)若∠AOC∶∠COE=4∶5,求∠AOB的度数
解:(1)∠COD的余角是∠AOB和∠BOC,∠AOD的补角是∠DOE和∠COD.
(2)设∠AOC=4x°,则∠COE=5x°,则4x+5x=180,x=20,所以∠AOC=80°,∠COE=100°.因为OB平分∠AOC,所以∠AOB=80°÷2=40°.(共17张PPT)
1 两条直线的位置关系
第1课时
1.会辨认平行线和相交线.
2.知道余角、补角、对顶角的概念,并能在具体情境中进行识别.
3.能推导并归纳对顶角的性质,并会进行有关的简单计算和解决一些简单的实际问题.
4.重点:余角、补角、对顶角的性质及简单应用.
知识梳理一
平面内两条直线的位置关系
阅读教材本课时“议一议”及其上面的内容,完成下列问题.
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有
和
两种.
2.若两条直线
,我们称这两条直线为相交线.
相交
平行
只有一个公共点
3.在同一平面内,
的两条直线叫作平行线.
4.如图1,直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有
,它们的两边
,这样的两个角叫作对顶角.
【预习自测】在图1中,除了∠1与∠2,还有其它的角也构成对顶角吗
∠3与∠4
不相交
公共顶点O
互为反向延长线
问题探究一
对顶角的性质
1.在图1中,∠1与∠2的大小有什么关系 ∠3与∠4呢 为什么
∠1=∠2,∠3=∠4.
理由:因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2.
同理可得∠3=∠4.
【归纳总结】对顶角
.
相等
【预习自测】如右图,MN与EF相交于点O,∠α=30°,则∠β=
,根据对顶角相等.
知识梳理二
补角、余角的定义
阅读教材本课时“想一想”,完成下列问题.
1.如果两个角的和是
,那么称这两个角互为补角.
2.
如果两个角的和是
,那么称这两个角互为余角.
30°
180°
90°
【讨论】互为余角的两个角与它们的位置有关吗
无关.
【预习自测】已知∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为补角,若∠1=42°,则
∠2=
,∠3=
.
问题探究二
补角、余角的性质
48°
138°
1.阅读教材本课时“做一做”,回答其中的问题.
(1)∠1与∠AOC互为补角,∠2与∠BOD互为补角,∠1与∠BOD互为补角,∠2与∠AOC互为补角.∠1与∠3互为余角,∠1与∠4互为余角,∠2与∠3互为余角,∠2与∠4互为余角.
(2)∠3=∠4,理由:由(1)知∠3+∠1=90°,∠4+∠1=90°,所以∠3=∠4.
(3)∠AOC=∠BOD,理由:由(1)知∠3+∠AOC=180°,∠3+∠BOD=180°,所以∠AOC=∠BOD.
2.在教材“图2-3”中,∠2的余角有哪些 它们有什么关系
∠2的余角是∠3和∠4,∠3=∠4.
【归纳总结】同角或等角的补角
,同角或等角的余角
.
【预习自测】1.如果∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则
=
.理由是
.
2.如果∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,则
=
.理由是
.
相等
相等
∠2
∠3
同角的余角相等
∠3
∠4
等角的补角相等
互动探究
1
下图中∠1与∠2是否对顶角 若是在下面的括号里画“√”,不是的画“×”.
( )
(
)
( )
( )
×
×
×
√
【方法归纳交流】对顶角的两个特点:①有
顶点;
②两边
.
[变式演练]如图,三条线相交于一点所成的小于平角的对顶角有
(
)
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
公共
互为反向延长线
D
如果一个角等于36°,那么它的余角等于
(
)
A.64° B.54°
C.144° D.36°
互动探究
2
[变式演练]如果一个角的余角是它本身的1.5倍,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,根据题意得,90-x=1.5x,解得x=36.即这个角为36°
【方法归纳交流】用方程思想解决几何问题是一种良好的方法,此题中要灵活运用余角、补角的性质将已知条件和要求的角联系起来.
B
互动探究
3
如图,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将黑球撞入袋中,此时∠1=∠2,并且∠2+∠3=90°,如果∠3=30°,要保证黑球直接入袋,那么∠1=
度.
互动探究
4
如图,已知∠AOD=∠BOD=90°,且∠1=∠3,则图中互余的角共有
(
)
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
60
B
[变式演练1]在上题中,若∠1=65°,则∠2=
,∠BOC=
.
[变式演练2]在上题中,与∠3互补的角是
,与∠AOE互补的角是
.
互动探究
5
如图,已知点O是直线AE上一点,OB平分∠AOC,OD平分∠COE.
25°
115°
∠BOC
∠2和∠4
(1)试写出∠COD的余角和∠AOD的补角.
(2)若∠AOC∶∠COE=4∶5,求∠AOB的度数
解:(1)∠COD的余角是∠AOB和∠BOC,∠AOD的补角是∠DOE和∠COD.
(2)设∠AOC=4x°,则∠COE=5x°,则4x+5x=180,x=20,所以∠AOC=80°,∠COE=100°.因为OB平分∠AOC,所以∠AOB=80°÷2=40°.(共16张PPT)
1 两条直线的位置关系
第2课时
1.知道垂直概念,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.理解垂线段的概念,知道垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.
3.通过相交线、垂线体现出的一般与特殊的关系,培养辩证唯物主义思想及不断探索发现新知识的精神.
4.重点:两条直线互相垂直的概念、两个性质和画法,点到直线的距离的概念及其简单应用.
问题探究一
垂直的定义
阅读教材本课时“做一做”上面的部分,解决下列问题.
1.两条直线相交成四个角,如果有一个角是
,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条直线的
,它们的交点叫作
.
直角
垂线
垂足
【预习自测】判断以下两条直线是否垂直.
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个是直角.(
)
(2)两条直线相交所成的四个角相等.(
)
(3)两条直线相交,有三个角为直角.(
)
(4)两条直线相交,对顶角互补.(
)
2.垂直用符号“
”来表示,若直线AB与直线CD垂直,记作
.
⊥
AB⊥CD
是
是
是
是
问题探究一
垂线的性质
1.阅读教材本课时“做一做”,解决其中提出的问题.
(1)可以,分别延长三角尺两直角边的线,相交角就是直角.
(2)可以,如图.
2.如图,用折纸的方法过A点,你能折出几条与线段a垂直的直线,怎么折叠
过A点只能折出一条与直线a垂直的直线,过A点折一条线且线段a的一部分与a的另一部重合.
3.阅读教材本课时“想一想(1)”,回答其中提出的问题.
过A点只能作出一条垂线垂直直线l,如果A点在直线l外边也只能作一条垂线.
4.通过以上操作,你能得出什么结论
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5.观察教材“想一想”“图2-8”中,用叠合法或度量法可得PA、PB、PC、PO等线段中,线段
最短.
6.以上发现集中体现了一个事实,怎么表述出来
在连接直线外一点到直线上各点的线段中,垂线段最短,也就是常说的“垂线段最短”
.
PO
【归纳总结】1.平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段
.
3.过直线外一点作直线l的垂线,点到垂足的距离叫点到直线的
.
【讨论】垂线与垂线段有什么区别与联系
垂线段是一条线段,可以测量长度,而垂线是一条直线,不可测量,它是无限延长的;垂线段是垂线上的一部分.
一
最短
距离
【预习自测】线段AB=5
cm,点C为任意一点,当点C位于
时,AC+BC最短,依据是
;在△ABC中,∠ACB=90°,则AC
AB(填“<
”或“=”或“>”),依据是垂线段最短.
线段AB上
两点之间,线段最短
<
互动探究
1
直线l上有A、B、C三点,直线l外有一点P,若PA=5
cm,PB=4
cm,PC=3
cm,那么P点到直线l的距离
(
)
A.等于3
cm B.小于3
cm
C.不大于3
cm
D.大于3
cm而小于4
cm
C
如图,直线AB⊥CD,垂足为点O,射线OP在∠AOD的内部,且∠POA=4∠POD,则∠COP与∠BOP的度数比为
.
互动探究
2
如图,CO⊥AB,垂足为O,过点O作∠AOE=∠COF,EO与FO是否垂直 并说明理由.
互动探究
3
解:垂直.因为CO⊥AB,所以∠AOC=90°,即∠AOE+∠EOC=90°.
因为∠AOE=∠COF,所以∠COF+∠EOC=90°,
即EO⊥FO.
3∶2
[变式演练]对于探究3,若条件不变,∠COE=∠BOF吗
解:∠COE=∠BOF.由探究3可知EO⊥FO,又因为CO⊥AB,
所以由同角的余角相等可得∠COE=∠BOF.
下面题目,三名同学有不同做法,请你判断对错,若你不同意他们的做法,请你写出正确的做法.
题目:如图所示,说明如何量出点C到线段AB的距离.
甲同学:只要量出线段BC的长度即可;乙同学:过点C无法向线段AB作垂线,所以无法量出点C到线段AB的距离;丙同学:过点C作线段AB的垂线,垂线和线段AB不相交,所以不能量出点C到线段AB的距离.
互动探究
4
解:以上三位同学的做法都不正确,正确的做法是过C点向线段AB作垂线,交线段AB延长线于D点,垂线段CD的长度就是点C到线段AB的距离.
如图,P、Q分别是在公路l两旁的两个村庄,现要在公路上建一个购物中心,要使P村的人购物方便,购物中心该建在何处 画图表示,并说明理由;
互动探究
5
解:如图,过P点作PE垂直于公路l,交公路于点E,由垂线段最短可得,点E就是购物中心的位置.
