(共15张PPT)
2 探索平行直线的条件
第2课时
1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.
2.会利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论,并能解决一些问题.
3.体验内错角和同旁内角与实际生活的密切联系,感知数学在生活中的应用.
4.重点:利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论的探索及简单应用.
问题探究一
内错角、同旁内角的定义
阅读教材本课时“议一议”上面的内容,回答下面的问题.
1.教材“图2-16”可以看成直线AB、CD被直线l所截,观察图中的∠1与∠2,你能发现他们的位置有什么关系吗
∠1和∠2在截线l的两旁,夹在两条被截直线AB、CD之间.
2.教材“图2-16”可以看成直线AB、CD被直线l所截,观察图中的∠1与∠3,你能发现他们的位置有什么关系吗
∠1和∠3在截线l的同侧,夹在两条被截直线AB、CD之间.
【归纳总结】如右图,直线AB,CD被直线l所截,构成了八个角,具有∠1与∠2这样位置关系的角,可以看做是夹在被截直线
,在截线的
,我们把这样的角称为
;具有∠1与∠3这样位置的角,可以看作是在被截直线
,在截线的
,我们把这样的角称为
.
之间
两旁
内错角
之间
同旁内角
同侧
【预习自测】在右图中,内错角有
,同旁内角有
.
问题探究二
两直线平行的条件
阅读教材本课时“议一议”,解答下列问题.
1.如图,直线AB、CD被直线l所截.
(1)∠3与∠2是直线AB、CD被直线所截得的
角,∠4与∠2是
.
∠1和∠2、∠3和∠8
∠1和∠3、∠2和∠8
内错
同旁内角
(2)当∠3与∠2满足什么条件时,AB∥CD 说明理由.
当∠3=∠2时,AB∥CD.
理由:因为∠1=∠3,∠3=∠2,所以∠1=∠2,
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
(3)当∠4与∠2满足什么条件时,AB∥CD 说明理由.
当∠4+∠2=180°时,AB∥CD.
理由:因为∠1+∠4=180°,∠4+∠2=180°,所以∠1=∠2,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
【归纳总结】1.两条直线被第三条直线所截,如果
,那么这两条直线平行.简称为:
.
2.两条直线被第三条直线所截,如果
,那么这两条直线平行.简称为:
.
内错角相等
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补
同旁内角互补,两直线平行
2.完成教材本课时“做一做”.
解:答案不唯一,例AC∥DE.因为∠ACE=∠CED,所以AC∥DE.
【预习自测】1.如图,若∠1=∠2,则c∥d,其理由是
.若∠1+∠3=180°,则a∥b,其理由是
.
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
互动探究
1
如图,与∠C互为同旁内角的角有
(
)
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
三线八角中,寻找同位角、内错角、同旁内角的前提是得分清楚被截直线和截线.
【方法归纳交流】
C
互动探究
2
如图,请写出能判定CD∥AB的一个条件
.
互动探究
3
如图,∠B=∠C=∠D=∠E,找出图中的平行线,并说明理由.
解:AB∥CD∥EF、CB∥DE.理由:因为∠B=∠C,所以AB∥CD.因为∠D=∠E,所以CD∥EF,所以AB∥CD∥EF.因为∠C=∠D,所以BC∥DE.
∠B=∠BCD或∠A=∠DCE或∠A+∠ACD=180°
物理实验发现:光线从空气射入玻璃中,会发生折射现象,光线从玻璃射入空气中,同样也会发生折射现象.如图所示的是光线从空气射入玻璃中,再从玻璃射入空气中的示意图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,那么光线AB与CD是否平行 并说明理由.
互动探究
4
解:AB∥CD,理由:因为∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°
(平角的定义),又因为∠3=∠4(已知),所以∠5=∠6
(等角的补角相等),又因为∠1=∠2(已知),所以
∠1+∠5=∠2+∠6(等式性质),即:∠ABC=∠BCD,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
互动探究
5
如图1,当∠B与∠D满足
条件时,可以判断AB∥CD.
[变式演练1]如图2,BE、DE分别是∠ABD、∠CDB的角平分线,且∠1+∠2=90°.AB与CD有什么位置关系 为什么
解:因为BE、DE分别是∠ABD、∠CDB的平分线,所以∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.因为∠1+∠2=90°,所以∠ABD+∠CDB=180°,所以AB∥CD.(同旁内角互补,两直线平行)
∠B+∠D=180°
[变式演练2]如图3,当∠B、∠E、∠D满足什么条件时,可以判断AB∥CD 为什么
解:当∠B+∠D=∠E时,AB∥CD.理由:如图,连接BD,在△BDE中,∠E+∠1+∠2=180°,又因为∠B+∠D=∠E,所以∠B+∠D+∠1+∠2=180°,即∠ABD+∠CDB=180°,所以AB∥CD.(同旁内角互补,两直线平行)第2课时
学习目标：
1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.
2.会利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论,并能解决一些问题.
3.体验内错角和同旁内角与实际生活的密切联系,感知数学在生活中的应用.
4.重点:利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论的探索及简单应用.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:内错角、同旁内角的定义
阅读教材本课时“议一议”上面的内容,回答下面的问题.
1.教材“图2-16”可以看成直线AB、CD被直线l所截,观察图中的∠1与∠2,你能发现他们的位置有什么关系吗
∠1和∠2在截线l的两旁,夹在两条被截直线AB、CD之间.
2.教材“图2-16”可以看成直线AB、CD被直线l所截,观察图中的∠1与∠3,你能发现他们的位置有什么关系吗
∠1和∠3在截线l的同侧,夹在两条被截直线AB、CD之间.
【归纳总结】如右图,直线AB,CD被直线l所截,构成了八个角,具有∠1与∠2这样位置关系的角,可以看做是夹在被截直线 之间 ,在截线的 两旁 ,我们把这样的角称为 内错角 ;具有∠1与∠3这样位置的角,可以看作是在被截直线 之间 ,在截线的 同侧 ,我们把这样的角称为 同旁内角 .
【预习自测】在右图中,内错角有 ∠1和∠2、∠3和∠8 ,同旁内角有 ∠1和∠3、∠2和∠8 .
问题探究二:两直线平行的条件
阅读教材本课时“议一议”,解答下列问题.
1.如图,直线AB、CD被直线l所截.
(1)∠3与∠2是直线AB、CD被直线所截得的 内错 角,∠4与∠2是 同旁内角 .
(2)当∠3与∠2满足什么条件时,AB∥CD 说明理由.
当∠3=∠2时,AB∥CD.
理由:因为∠1=∠3,∠3=∠2,所以∠1=∠2,
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
(3)当∠4与∠2满足什么条件时,AB∥CD 说明理由.
当∠4+∠2=180°时,AB∥CD.
理由:因为∠1+∠4=180°,∠4+∠2=180°,所以∠1=∠2,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
【归纳总结】1.两条直线被第三条直线所截,如果 内错角相等 ,那么这两条直线平行.简称为: 内错角相等,两直线平行 .
2.两条直线被第三条直线所截,如果 同旁内角互补 ,那么这两条直线平行.简称为: 同旁内角互补,两直线平行 .
【预习自测】1.如图,若∠1=∠2,则c∥d,其理由是 内错角相等,两直线平行 .若∠1+∠3=180°,则a∥b,其理由是 同旁内角互补,两直线平行 .
2.完成教材本课时“做一做”.
解:答案不唯一,例AC∥DE.因为∠ACE=∠CED,所以AC∥DE.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:如图,与∠C互为同旁内角的角有(C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【方法归纳交流】三线八角中,寻找同位角、内错角、同旁内角的前提是得分清楚被截直线和截线.
互动探究2:如图,请写出能判定CD∥AB的一个条件 ∠B=∠BCD或∠A=∠DCE或∠A+∠ACD=180° .
互动探究3:如图,∠B=∠C=∠D=∠E,找出图中的平行线,并说明理由.
解:AB∥CD∥EF、CB∥DE.理由:因为∠B=∠C,所以AB∥CD.因为∠D=∠E,所以CD∥EF,所以AB∥CD∥EF.因为∠C=∠D,所以BC∥DE.
互动探究4:物理实验发现:光线从空气射入玻璃中,会发生折射现象,光线从玻璃射入空气中,同样也会发生折射现象.如图所示的是光线从空气射入玻璃中,再从玻璃射入空气中的示意图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,那么光线AB与CD是否平行 并说明理由.
解:AB∥CD,理由:因为∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°(平角的定义),
又因为∠3=∠4(已知),所以∠5=∠6(等角的补角相等),又因为∠1=∠2(已知),所以∠1+∠5=∠2+∠6(等式性质),即:∠ABC=∠BCD,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
互动探究5:如图1,当∠B与∠D满足 ∠B+∠D=180° 条件时,可以判断AB∥CD.
[变式演练1]如图2,BE、DE分别是∠ABD、∠CDB的角平分线,且∠1+∠2=90°.AB与CD有什么位置关系 为什么
解:因为BE、DE分别是∠ABD、∠CDB的平分线,所以∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.因为∠1+∠2=90°,所以∠ABD+∠CDB=180°,所以AB∥CD.(同旁内角互补,两直线平行)
[变式演练2]如图3,当∠B、∠E、∠D满足什么条件时,可以判断AB∥CD 为什么
解:当∠B+∠D=∠E时,AB∥CD.理由:如图,连接BD,在△BDE中,∠E+∠1+∠2=180°,又因为∠B+∠D=∠E,所以∠B+∠D+∠1+∠2=180°,即∠ABD+∠CDB=180°,所以AB∥CD.(同旁内角互补,两直线平行)(共16张PPT)
2 探索平行直线的条件
第1课时
1.会识别同位角,并能根据同位角相等的条件,来判断两条直线平行.
2.会借助三角尺过直线外一点,画这条直线的平行线.
3.熟记平行公理及其推论,并能解决一些问题.
4.重点:同位角,两直线平行的条件,平行公里及其推论.
问题探究一
两直线平行的条件
阅读教材本课时“想一想”前的内容,按照第一个“做一做”的要求,亲自做一做,并完成下列问题.
1.木条a在转动的过程中,木条a、b所在直线的位置关系有几种
两种.相交与平行.
2.木条a在转动的过程中,∠1与∠2的大小关系有几种情况
三种:大于、等于、小于.
3.∠1与∠2满足什么关系时,木条a与b所在的直线平行 如果改变∠1的大小,情况又如何 木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小是否有关
∠1=∠2时,木条a与b平行.
只要∠1=∠2,木条a、b就平行.
有关.
4.在教材图2—12中,直线AB、CD被直线l所截,构成八个角.∠1的∠2位置有什么关系
∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方,并且都在直线l的右侧
5.像∠1与∠2这样具有位置相同的一对角称为同位角.在图2—12中还有没有其它同位角
∠5与∠6,∠7与∠8,∠3与∠4.
6.同位角满足什么条件时,两条直线平行 动手操作,验证你的结论.
同位角相等时,两直线平行.
【归纳总结】1.辨别同位角要注意两个“同”字,在第三条直线(截线)的
,被截直线的
.
2.两条直线被第三条直线所截,如果
,那么这两条直线
.简称为:
,
.
同旁
同侧
同位角相等
平行
同位角相等
两直线平行
3.两直线平行,用符号“∥”表示,例如直线a与直线b平行,记作
.
【预习自测】对于图中标记的各角,根据下列条件能够得到a∥b的是
(
)
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠2+∠3=∠4
a∥b
D
平行公理及其推论
问题探究二
1.阅读教材本课时,“想一想”,完成下列问题.
(1)怎样借助三角尺画已知直线的平行线
一落:把三角尺的一边放在已知直线上;二靠:紧靠三角尺的一边放直尺;三推:把三角尺沿直尺的边推到三角尺的一边恰好经过已知点的位置;四画:沿三角尺的这一边画直线.
(2)推三角尺画平行线的理论是什么
同位角相等,两直线平行.
2.阅读教材本课时第二个“做一做”,回答其中的问题.
(1)能画一条.
(2)平行.
【归纳总结】1.过直线外一点
直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线
.
【预习自测】若AB∥CD,AB∥EF,则CD与EF的位置关系是
,理由是
.
有且只有一条
平行
CD∥EF
平行于同一条直线的两条直线平行
互动探究
1
如图,下列条件不能证明直线a∥b的是
(
)
A.∠2=∠3 B.∠1+∠2=180°
C.∠1+∠4=180°
D.∠3+∠4=180°
互动探究
2
若∠1=60°,如图,当∠C=
时,直线AB∥CD.
D
60°
[变式演练]上题中,当∠2+∠C=180°时,直线AB∥CD吗 请说明理由.
解:AB∥CD.理由:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠C=180°,所以∠1=∠C(同角的补角相等),所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
如图,∠EFB=∠GHD=53°,∠IGA=127°,由这些条件,你能找到几对平行线 说说你的理由.
解:IG∥EF、AB∥CD.理由:因为∠IGA=127°,所以∠IGB=53°,所以∠IGB=∠GHD,所以AB∥CD;因为∠IGF=∠EFB,所以IH∥EF.
互动探究
3
【方法归纳交流】找平行线并说明理由类的问题的常规方法是一看,二推,即先观察可能存在的平行线,再根据已知条件推导出与之相关的三线八角中相等的同位角.
如图,是由两块相同的直角三角板拼成的,
(1)请写出图中相等的角;
(2)写出图中平行的线段,并说明理由.
解:(1)∠F=∠A=∠BEC=30°,∠D=∠BCE=∠AEB=60°,∠AEC=∠ABF=∠DBF=90°;(2)CE∥DF,理由:因为∠D=∠BCE,所以CE∥DF(同位角相等,两直线平行).
互动探究
4
如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ与NP平行吗 请说明理由.
互动探究
5
解:因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,所以∠1+∠BMN=∠2+∠DNF,所以∠QMN=∠PNF,所以MQ∥NP(同位角相等,两直线平行).
[变式演练]如上题图,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,MQ平分∠BME,NP
平分∠DNE,那么MQ与NP平行吗 请说明理由.
2 探索直线平行的条件
第1课时
学习目标：
1.会识别同位角,并能根据同位角相等的条件,来判断两条直线平行.
2.会借助三角尺过直线外一点,画这条直线的平行线.
3.熟记平行公理及其推论,并能解决一些问题.
4.重点:同位角,两直线平行的条件,平行公里及其推论.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:两直线平行的条件
阅读教材本课时“想一想”前的内容,按照第一个“做一做”的要求,亲自做一做,并完成下列问题.
1.木条a在转动的过程中,木条a、b所在直线的位置关系有几种
两种.相交与平行.
2.木条a在转动的过程中,∠1与∠2的大小关系有几种情况
三种:大于、等于、小于.
3.∠1与∠2满足什么关系时,木条a与b所在的直线平行 如果改变∠1的大小,情况又如何 木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小是否有关
∠1=∠2时,木条a与b平行.
只要∠1=∠2,木条a、b就平行.
有关.
4.在教材图2—12中,直线AB、CD被直线l所截,构成八个角.∠1的∠2位置有什么关系
∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方,并且都在直线l的右侧.
5.像∠1与∠2这样具有位置相同的一对角称为同位角.在图2—12中还有没有其它同位角
∠5与∠6,∠7与∠8,∠3与∠4.
6.同位角满足什么条件时,两条直线平行 动手操作,验证你的结论.
同位角相等时,两直线平行.
【归纳总结】1.辨别同位角要注意两个“同”字,在第三条直线(截线)的 同旁 ,被截直线的 同侧 .
2.两条直线被第三条直线所截,如果 同位角相等 ,那么这两条直线 平行 .简称为: 同位角相等 , 两直线平行 .
3.两直线平行,用符号“∥”表示,例如直线a与直线b平行,记作 a∥b .
【预习自测】对于图中标记的各角,根据下列条件能够得到a∥b的是(D)
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠2+∠3=∠4
问题探究二:平行公理及其推论
1.阅读教材本课时,“想一想”,完成下列问题.
(1)怎样借助三角尺画已知直线的平行线
一落:把三角尺的一边放在已知直线上;二靠:紧靠三角尺的一边放直尺;三推:把三角尺沿直尺的边推到三角尺的一边恰好经过已知点的位置;四画:沿三角尺的这一边画直线.
(2)推三角尺画平行线的理论是什么
同位角相等,两直线平行.
2.阅读教材本课时第二个“做一做”,回答其中的问题.
(1)能画一条.
(2)平行.
【归纳总结】1.过直线外一点 有且只有一条 直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线 平行 .
【预习自测】若AB∥CD,AB∥EF,则CD与EF的位置关系是 CD∥EF ,理由是 平行于同一条直线的两条直线平行 .
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:如图,下列条件不能证明直线a∥b的是(D)
A.∠2=∠3 B.∠1+∠2=180°
C.∠1+∠4=180°
D.∠3+∠4=180°
互动探究2:若∠1=60°,如图,当∠C= 60° 时,直线AB∥CD.
[变式演练]上题中,当∠2+∠C=180°时,直线AB∥CD吗 请说明理由.
解:AB∥CD.理由:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠C=180°,所以∠1=∠C(同角的补角相等),所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
互动探究3:如图,∠EFB=∠GHD=53°,∠IGA=127°,由这些条件,你能找到几对平行线 说说你的理由.
解:IG∥EF、AB∥CD.理由:因为∠IGA=127°,所以∠IGB=53°,所以∠IGB=∠GHD,所以AB∥CD;因为∠IGF=∠EFB,所以IH∥EF.
【方法归纳交流】找平行线并说明理由类的问题的常规方法是一看,二推,即先观察可能存在的平行线,再根据已知条件推导出与之相关的三线八角中相等的同位角.
互动探究4:如图,是由两块相同的直角三角板拼成的,
(1)请写出图中相等的角;
(2)写出图中平行的线段,并说明理由.
解:(1)∠F=∠A=∠BEC=30°,∠D=∠BCE=∠AEB=60°,∠AEC=∠ABF=∠DBF=90°;(2)CE∥DF,理由:因为∠D=∠BCE,所以CE∥DF(同位角相等,两直线平行).
互动探究5:如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ与NP平行吗 请说明理由.
解:因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,所以∠1+∠BMN=∠2+∠DNF,所以∠QMN=∠PNF,所以MQ∥NP(同位角相等,两直线平行).
[变式演练]如上题图,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,MQ平分∠BME,NP
平分∠DNE,那么MQ与NP平行吗 请说明理由.
解:平行.理由:因为∠BMN=∠DNF,所以∠BME=∠DNM(等角的补角相等),因为MQ平分∠BME,NP
平分∠DNE,所以∠EMQ=∠EMB,∠ENP
=∠END,所以∠EMQ=∠ENP,所以MQ∥NP
(同位角相等,两直线平行).
