初中数学苏科版九下 让根回归方程以退为进解题 教学案（含答案）

让根回归方程以退为进解题
若是方程的根，则。这种变化看起来似乎是倒退了，其实不然，这是一种“以退为进”的解题方法。一些与方程的根有关的数学问题，利用这种方法求解，可以起到避繁就简、化难为易的效果。
例1
关于的一元二次方程的一个根为1，则
；方程的另一个根为
。
解
1是方程的根，
，即。
原方程为
设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得
，故方程的另一个根为。
例2
已知是方程的一个根，求代数式的值.
解
是方程的一个根
1.
.
例3
设是方程的一个根，求代数式的值.
解
是方程的一个根，
.
.
.
例4
（1988年北京市初二数学竞赛试题）方程有两个实数根、;方程有两个实数根、.
求的值.
解
由题设知是两个方程的公共根，
.
两式相减，得
，即.
如果，则两个方程完全相同且无实数根，这与题设矛盾，故
，即，两个方程的公共根为2。
将这个公共根代入任意一个方程，解得，此时，
例5
（1988年无锡市初中数学通讯赛试题）已知关于的一元二次方程的两根和为，平方和为，立方和为，则
。
解
设方程的两根为、，则
，
例6
(1992年全国数学竞赛试题)若是一元二次方程的根，则判别式与平方式的关系式（
）。
B.
C.
D.
不确定
解
是方程的根
，故选B
例7
设是方程的一个无理根，试把分母有理化。
解
是方程的根
，即