初中数学苏科版九下 锐角三角函数 考点例析 教学案（含答案）

锐角三角函数考点例析
锐角三角函数是初中“图形与几何”的重点内容之一，也是中考的重要考查内容.本文.采撷几例2016年部分省市的中考试题，进行分类评析，供同学们学习时参考.
一、考查三角函数的的概念
例1
(广东)如图1，在中，，，交于点，以为较短的直角边向的同侧作，满足，再用同样的方法作，，继续用同样的方法作，，若，求的长.
解析
由题意，知
∵
同理
.
点评
本题考查三角形的内角和与三角函数的应用.解题的关键是明确题意，找出关键直角三角形，通过锐角三角函数的定义解决问题.
二、锐角三角函数在四边形中的应用
例2
(福州)如图2,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角为，、、都在格点上，则的值是
解析
如图2，连结，，设菱形的边长为.由题意，得
，
，
故答案为.
点评
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形.本题属于中考常考题型.如图2，连结，，先证明，根据，求出、即可解决间题.
三、锐角三角函数在圆中的应用
例3
(温州)如图3，在中，，是边上一点，以为直径的⊙经过的中点，交的延长线于点，连结
(1)求证:
(2)若，，求的长
解析
(1)如图3，连结.
∵⊙的直径
∵是的中点
∵
∴
(2)
∵
在中
设
则
即
，即.
点评
此题考查圆周角定理与解直角三角形.连结，由⊙的直径，得到，由于是的中点，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论.
(2)根据等腰三角形的判定定理，得到
，
在，根据勾股定理，得到
.
设，
则,
根据勾股定理列方程即可得到结论.
四、锐角三角函数的实际应用
1.方向角问题
例4
(大连)如图4，一艘渔船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔18海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时渔船与灯塔的距离约为
海里(结果取整数)(参考数据:，，).
解析
如图4，作于点.
在中，
，
在中，
，
.
故此时渔船与灯塔的距离约为11海里.
点评
本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，等.解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的间题，解决的方法就是作高线.
变式
(大庆)一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向
航行3小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为
海里/小时
2.仰角俯角问题
例5
(上海)如图6，航拍再人机从处侧得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为90米，那么该建筑物的高度约为
米.(精确到1米，参考数据:
)
解析
由题意，可得
解得
解得.
故该建筑物的高度为
(m)
故答案为208米.
点评
此题主要考查直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键.分别利用锐角三角函数关系得出,的长，进而求出该建筑物的高度.
变式
(聊城)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图7，点是摩天轮的圆心，长为110米的是其垂直地面的直径，小莹在地面点处利用测角仪测得摩天轮的最高点的仰角为，测得圆心的仰角为，则小莹所在点到直径所在直线的距离约为(，)(
)
(A
)169米
(B)204米
(C)240米
(D
)407米