初中数学苏科版九下 识别问题结构 谋选解题策略 教学案（含答案）

识别问题结构
谋选解题策略
——对一道填空题的拓展与思考
我们知道，对一个问题进行局部改变，老问题将形成新问题.在解决新问题和老问题中，我们考究其因，思索其法，追寻其果，可以明晰新、老问题的区别与联系，识别问题的本质.下面举一例说明.
一、交点法——缘于系数明确
问题
已知关于的一元二次方程的两个实根分别是、，则以、为两根的一元二次方程是
.
分析
本题中一元二次方程的系数都是实常数，因此易求两根，则两根倒数可求，这样便能够求出相应的一元二次方程.这种情况下的两根即为该方程对应的二次函数与轴交点的横坐标，我们称这种方法为“交点法”.
解
,
即,
故有，,
，,
,
化简，得.
所以，以、为两根的一元二次方程是.
二、韦达定理法—缘于有效通用
拓展1
已知关于的一元二次方程的两个实根分别是、，试求出以、为两根的一元二次方程.
分析
如果通过“求原方程的两根——两根相应倒数——建构满足题意的方程”的途径来求解，显然比较繁琐.联想到待求方程与原方程的两根分别互为倒数，因此可以尝试用韦达定理来寻找相应的系数之间的关系.我们称这种解法为“韦达定理法”.
解由题意，得,
而,
,
所以，以、为两根的一元二次方程是.
拓展2
条件同拓展1，求出以、为两根的一元二次方程.
解由题意，得,
而,
,
所以，以、为两根的一元二次方程是.
三、换元法—缘于模式一致
回顾拓展1与拓展2的解题思路，我们发现它们其实是同一种方法.我们能否从中窥探出什么门道 细细思考，其实待求方程的两根与原方程的两根具有模式一致性，即要么分别为原方程两根的倒数，要么分别为原方程两根的5倍.若设待求方程的根为，则上述两个问题中分别有和.既然如此，只需要分别设和，然后用表示，再代入原方程即可求出满足题意的方程.我们称这种解法为换元法.现选择拓展2进行示范.
设，则，代入原方程，
得,
化简，得.
由于用或表示元并不影响方程的解，上述方程也可表示为:
.
所以，以、为两根的一元二次方程是.
拓展3
条件同拓展1，求出以、，为两根的一元二次方程.
分析
设，则'，那么问题来了:这里的取正号还是负号 我们能否避免符号的取舍 为此，我们可对原方程等价变形为，两边平方我们能够得到一个只含有形式的方程，此时矛盾化解，从而问题获得解决.
解
由方程,
得,
,
.
设，则,
即,
把换为，得
.
所以，以、是为两根的一元二次方程.
使用换元法是否比上述韦达定理法的问题解决更简洁一些，读者可自己尝试解决下列问题.
问题
条件同拓展1，请求出，为两根的一元二次方程.(解答过程略)
四、多法协同——缘于题构特征
上述换元法是否能够顺利解决待求方程与已知方程之间的根具备一定关系(比如和、
差、积、商或混合运算关系)的问题 事实上，换元法未必有那么大的功能.
拓展4
条件同拓展1，求出以，为两根的一元二次方程.
分析
待求方程的两根与原方程两根难以用换元来解决，我们回到交点法与韦达定理法进行尝试.
解
由题意，得,
故待求方程的两根分别为
，,
所以，待求方程为
,
化简，得.
把换为，得
,
所以，以，是为两根的一元二次方程.
五、解法反思
在原问题易求方程根的情况下，适宜采取交点法(当然也可以用韦达定理法);拓展1～拓展3可用韦达定理法或换元法轻松解决，而拓展4不便用换元法解决，其根本原因是:拓展1～拓展3都具备模式一致性，而拓展4则不具备模式一致性.这也说明了韦达定理法是通法，而交点法和换元法是特法.因此，在数学学习中，我们要做到对问题的表征模式明察秋毫，仔细甄别，再施以合理有效的策略，进而顺利解决问题.