初中数学苏科版九下 识别圆形结构 谋定解题策略 教学案（含答案）

识别圆形结构
谋定解题策略
圆，是几何中内涵极为丰富的图形.在初中数学中有一类几何问题，从表面上看不存在圆，但若能依据题目的特点，利用已知条件，借助图形把实际存在的圆找出来，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果，现以各地中考试题为例，分类说明.
一、若一个点到另三个点的距离相等，则这个点必是经过三点的圆的圆心
例1
(2012北京)在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段.
(1)若且点与点重合，线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数;
(2)在图1中，点不与点、重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小(用含的代数式表示)，并加以证明;
(3)对于适当大小的，当点在线段上运动刻某一位置(不与点、重合)时，能使线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围.
解
(1)，(3)略.
(2)作线段的延长线交射线于点，连结、.
，是的中点
又
点是的中心
.
评注
第(2)小题有一定难度，注意到由旋转得到，而，所以是经过、、三点的圆的圆心，利用圆周角与圆心角的关系，问题得解.
二、不在同一条直线上的三点确定一个圆
例2.
(2014武汉)如图2，在四边形中，，，，则的长为
解
作的外接圆⊙，延长交⊙于点，连结、，则
，，
又，
故在中，
.
评注
要求的长度，需构造以为一边的直角三角形，注意到，作的外接圆构造出，使问题得到巧妙解决.
三、到定点的距离等于定长的点的集合是圆
例3
(2015三明)如图3，在中，，，，是上一个动点(与点不重合)，将沿所在直线翻折得到，连结，则长度的最小值是
解
由翻折知,
而为定点，故点在以点为圆心、半径为3的⊙上.又为⊙外一定点，故当落在上时，最小.
,
的最小长度的值是.
评注
题中无圆，注意到为定点，为定长，根据圆的定义，点在以点为圆心、半径为3的⊙上，根据圆的性质，问题得解.
四、直角三角形的斜边是其外接圆的直径
例4
(2015徐州)如图4，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第
二象限，其斜边两端点，分别落在轴，轴上，且.
(1)若.
①求点的坐标;
②若点向右滑动的距离与点向上滑动的距离相等，求滑动的距离.
(2)点与点的距离的最大值=
cm.
解析
(1)略.
(2)由知，点、、、在以12为直径的圆上，而为定点，所气为直径时，取最大值，最大值为12.
评注
题中无圆，注意到，，知动点在直径为12的圆上;而为定点，根据圆的性质，当为直径时最大.
五、对角互补的四边形必有外接圆
例5
(
2012深圳)如图5，中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形对角线交于点，连结，己知，，则另一直角边的长为
解
作，垂足为.
、、、四点共圆，
从而，
故在中,
.
评注
题中无圆，注意到，确定、、、四点共圆，得到，结合，，求出，进而解决问题.
六、在公共边同侧且公共边所对角相等的两个三角形的顶点在同一个圆上
例6
(2014重庆)如图6，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，且，过点作，垂足为，连结，则的长为
.
解
作，交的延长线于，易知
，.
、、、在以为直径的圆上，
，又，
解得.
评注
题中无圆，注意到与在的同侧，且，故点、、、在以为直径的圆上，从而，再构造直角三角形得解.