初中数学苏科版九下 双变量函数问题的探究 教学案（含答案）

双变量函数问题的探究
——剖析一道中考试题
在中考试题中，有一类探究性问题设计得较为简单，入口也宽，但知识含量丰富，值
得我们对此进行探究和拓展.本文对江苏省镇江市2016年中考数学试卷中的一道试题进行剖析.
一、原题呈现
题目
，，是实数，点、在二次函数的图象上，则、的大小关系是
(用“>”或“<”号填空).
本题中、值的大小由变量和所对应的函数值决定，而又是题目中的参变量,
的取值不仅影响函数的对称轴，同时也改变、所对应的自变量的取值，从而使单一的自变量形成了与的双变量函数问题.本题的解法探究和问题拓展探究有如下几个方面:
二、解法探究
1.作差比较法
直接把自变量代入函数关系式求值:
,
.
由.
所以.
2.图象法
,
利用函数图象的性质，函数图象开口向上，在对称轴的右侧，随的增大而增大，因为，所以.
3.特殊值法
令,
则，.
所以.
评注
通过以上方法的探究发现，当使用作差比较法比较、的大小关系时，的值为定值，能直接得出结论;若使用图象法比较、大小关系时，自变量与
在对称轴同侧，利用函数图象的增减性，也能直接得出结论;根据题目特征，用“>”
或“<”号填空，则题目只存在一种可能性，可选择使用特殊值代入法，判断结果为.
三、试题拓展
拓展1
若把二次函数改变为，其他条件都不变，判断
与的大小关系
1.用作差比较法解:
,
,
.
若，则时，;
若，则时，;
若，则时，.
2.用图象法
,
利用函数图象的对称性
，故当，即时，.
又因为图象开口向上，
故当时，;
时，.
3.用特殊值法
当时，
，,
所以;
当时，
,
,
.
当时，
,
,
.
通过问题拓展探究发现:
①当使用作差法比较、的大小关系时，的值为一次函数，由一次函数的性质得，当时，;当时，;当时，.
②若使用图象法比较、的大小关系时，根据二次函数的特征，若、两点的横坐标与到对称轴的距离相离相等且分布在对称轴两侧时，函数值相等，即时，;又因为图象开口向上，当时，随的增大而减小，则;当时，随的增大而增大，则.
③当使用特征值比较、大小关系时，由于、大小关系的不确定性，就很难直接比较与的大小关系，需要多次尝试才能找到与的等量和不等量关系的结论.这也体现了作差比较法和图象法比较大小关系的优越性和普及性.
拓展2
若把二次函数改变为，其他条件都不变，判断与的大小关系
1.用作差比较法解
,
,
.
令,
解得，.
画函数图象如图1所示.
当或时，；
当或时，；
当时，
.
通过拓展探究发现:
当使用作差法比较、的大小关系时，的值是关于变量的二次函数，由二次函数图象的性质，很容易得出结论:
当或时，；
当或时，；
当时，
.
①由于二次函数的二次项系数为，所以不能等于，若时，函数为，，，与时，的结论相符.
②若使用图象法比较、的大小关系时，.由于的不确定性，导致图象可能开口向上也可能开口向下，使问题变得更加复杂，所以不适合直接使用图象比较、的大小关系.
比较两数的大小关系常用方法有多种.本题充分体现了问题的开放性;而把问题拓展以后，更能体现出问题的延伸性.作差比较发现:第一种情况的差值为常量，方法选择具有多样性;第二种情况的差值是一次函数，方法选择具有开放性;第三种情况的差值是二次函数，方法选择具有综合性.